Teoria di Statica e scienze delle costruzioni

MISURE DI DUTTILITÀ:

La misura standard della duttilità di un materiale è l’allungamento percentuale a rottura:

−

0

= 100 ∙

, dove è la lunghezza del provino a rottura.

0

Alternativamente la duttilità può essere misurata con la riduzione percentuale dell’area della sezione trasversale:

−

0

= 100 ∙

0

DIAGRAMMA SFORZO-DEFORMAZIONE NEI MATERIALI FRAGILI:

Nei materiali FRAGILI la ROTTURA avviene APPENA SUPERATO IL

LIMITE DI ELASTICITÀ, oltre il quale restano deformati

permanentemente.

DIAGRAMMA SFORZO – DEFORMAZIONE DEI MATERIALI FRAGILI:

Nella parte del diagramma corrispondente alla trazione, si nota inizialmente un

TRATTO ELASTICO-LINEARE, nel quale le DEFORMAZIONI SONO

PROPORZIONALI ALLE TENSIONI. Dopo che è stato raggiunto il punto di

snervamento, la DEFORMAZIONE AUMENTA PIÙ VELOCEMENTE DELLA

TENSIONE, fino alla rottura. Il comportamento del materiale in compressione è

differente. Innanzitutto, il TRATTO DI ELASTICITÀ LINEARE è significativamente

PIÙ LUNGO. In secondo luogo, la ROTTURA NON SI VERIFICA in

corrispondenza del VALORE MASSIMO della tensione: al contrario, il valore della

tensione decresce mentre la deformazione aumenta fino alla rottura.

N.B:

I materiali fragili, a differenza di quelli duttili, hanno comportamenti diversi in trazione

e compressione. τ, σ.

I materiali DUTTILI collassano per TENSIONI TANGENZIALI mentre quelli FRAGILI per TENSIONI NORMALI

LEGGE DI HOOKE: Ambrogio Colombo Ing. Chimica 56

σ = ∙ ε

Sotto la tensione di snervamento vale la relazione , dove E è detto

.

MODULO DI ELASTICITÀ NORMALE o di YOUNG e si misura in

La resistenza cambia con i processi di lega, i trattamenti termici e i processi

di fabbricazione (laminazione, estrusione) ma la rigidezza (modulo di Young)

non è influenzata de questi fattori.

La legge di Hooke esprime in termini matematici la LINEARITÀ esistente tra

SFORZI NORMALI E DEFORMAZIONI in CAMPO ELASTICO nella prova a

trazione monoassiale:

σ

ε = ; σ = σ = τ = τ = 0

MATERIALI ISOTROPI:

Un materiale ISOTROPO è un materiale che presenta lo STESSO COMPORTAMENTO MECCANICO in TUTTE LE DIREZIONI,

mentre un materiale OMOGENEO presenta lo STESSO COMPORTAMENTO MECCANICO in TUTTI I PUNTI.

COEFFICIENTE DI POISSON :

In una barra snella caricata lungo il suo asse vale quanto appena detto per la prova a trazione monoassiale: l’allungamento lungo

ε , ε

l’asse è accompagnato da una contrazione nelle altre direzioni. Lavorando con materiali isotropi sono non nulli, mentre

⃗

τ⃗ = 0 ν

. Il coefficiente di Poisson si definisce come:

ε

ε

ν= =− =−

ε ε

ε > 0 ⟹ ε = ε

Se

Considerando tra stati di sforzo monoassiali distinti in cui un solo sforzo normale è non nullo si ha:

≠ ≠

≠

σ

ε = −ν

= = −

σ

σ

ε = −ν

= − ε =

σ

σ

ε =

= − = −ν

LEGGE DI HOOKE GENERALIZZATA:

Per un elemento soggetto a un carico PLURIASSIALE, le componenti normali di deformazione generate dalle componenti di

tensione possono essere determinate tramite il PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI. Questo necessita delle

seguenti condizioni:

• La deformazione varia linearmente con la tensione

• Le deformazioni sono piccole

Alle seguenti condizioni vale: νσ

νσ σ

= − + − ε = − − +

= − −

Ambrogio Colombo Ing. Chimica 57

SCORRIMENTI ANGOLARI:

Un elemento CUBICO soggetto a TENSIONI TANGENZIALI tenderà a deformarsi divenendo un PARALLELEPIPEDO obliquo.

τ = (γ )

La DEFORMAZIONE TANGENZIALE è definita in termini di SCORRIMENTO ANGOLARE:

τ − γ σ − τ,

Il diagramma ha lo stesso andamento di quello eccetto per il fatto che la RESISTENZA È CIRCA LA METÀ.

Per piccole deformazioni si ha:

= τ = γ τ = γ

è detto modulo di elasticità tangenziale del materiale (unità di misura GPa).

Se gli sforzi restano al di SOTTO DEL LIMITE DI PROPORZIONALITÀ, la LEGGE DI HOOKE GENERALIZZATA ci fornisce le

deformazioni prodotte dal più generale stato di sforzo in un MATERIALE ISOTROPO:

+ − −

τ

yz

− + −

τ

zx

− − +

LIMITI DI VARIAZIONE DELLE COSTANTI ELASTICHE :

Da prove sperimentali si hanno le seguenti osservazioni:

• Una barra snella caricata assialmente si allunga in direzione assiale e si contrae nelle direzioni trasversali.

• L’elemento con facce perpendicolari a x e y si deforma in un parallelepipedo rettangolo. Il carico assiale produce una

deformazione normale.

• L’elemento cubico orientato in maniera diversa si deforma divenendo un rombo. Il carico assiale produce uno

scorrimento angolare.

• La relazione tra le componenti di deformazione normale e tangenziale implica una relazione tra le costanti elastiche nei

(

= + )

MATERIALI ISOTROPI:

In uno STATO DI SFORZO PIANO con SFORZI PRINCIPALI UGUALI IN MODULO E DI SEGNO OPPOSTO :

σ = σ = −σ = −σ; σ = 0

1 2 3

Nel piano si hanno dunque le seguenti deformazioni:

σ σ σ σ σ

1 2 (1

ε = − ν = + ν = ∙ + ν) = ε

1

σ σ σ σ σ

1 2 (ν

ε = −ν + = −ν − = − ∙ + 1) = −ε

2

Le altre deformazioni sono tutte nulle.

1 ν

ε = σ ( + )

Si ha quindi che

= = = ⟹

A 45° dalle direzioni principali degli sforzi: tensioni tangenziali con e deformazioni

2

1

= = = 2 = 2 ( + ) =

e

2(1+)

Le DIREZIONI PRINCIPALI DI SFORZO e DEFORMAZIONE COINCIDONO.

MODULO DI VOLUME: Ambrogio Colombo Ing. Chimica 58

La VARIAZIONE DI VOLUME per unità di volume , detta DILATAZIONE, generata dallo stato tensionale è:

1 − 2

)(1 )]

= [(1 + + )(1 + − 1 = [1 + + + ] − 1 = + + = ( + + )

−

Per un elemento soggetto a una pressione idrostatica uniforme pari a

Δ 3(1 − 2)

= = − =−

=

Dove K viene detta COSTANTE DI VOLUME ed è definita come: 3(1−2)

Se il volume è soggetto a una PRESSIONE UNIFORME, allora presenta una DILATAZIONE DELLO STESSO SEGNO o al più

NULLA: 1

> 0 ⇔ 1 − 2 > 0 ⇔ < 2

LIMITE SUPERIORE DEL COEFFICIENTE DI POISSON

, ,

Si consideri un volume di spigoli in uno stato di sforzo e deformazione

1 2 3

uniforme: 2

= = = , = = = ⟹ = −

1 2 3 1 2 3

= ∙ ∙

Il volume iniziale 0 1 2 3

Il volume finale invece è dato da: 3

2

3

(1 ) (1 ) (1 ) (1

= + ∙ + ∙ + = + ) = (1 + − )

1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3

3 3

2 2 2 2

> ⟹ (1 + − ) > ⇔ (1 + − ) >1⇔1+ − >1⇔ >

Se 0 1 2 3 1 2 3

1

⟹< 2 ε

||

= − / ⟹ = | | ; ν = 0 ⇔ ε = 0

Ricordando che (ossia non ci sono contrazioni trasversali)

ε

(1

= + ν)

Inoltre, ricordando che nei MATERIALI ISOTROPI si ha che:

2

ν = 0 ⟹ =

Se 2

1 1 3

ν = ⟹ = +1= ⟹ =

Se 2 2 2 2 3

∈ [ , ]

Quindi 3 2 1

> 0 ⟹ −1 < ν < , > 0

Da CONSIDERAZIONI ENERGETICHE si ottiene che se 2

Dal LEGAME DIRETTO SFORZO DEFORMAZIONE, e dalla RELAZIONE TRA LE COSTANTI ELASTICHE:

σ ε

1−ν ν ν

σ ε

[ ] = [ ] [ ]

ν 1−ν ν

(ν + 1)(1 − 2ν)

σ ε

ν ν 1 − ν

= 2(1+ν) ν = −1

si ha che se ENTRAMBE LE RELAZIONI RISULTINO INDETERMINATE .

ν < 0,

In natura non esistono materiali con ma possono essere ricreati e prendono il nome di MATERIALI AUXETICI ed hanno

la proprietà di dilatarsi in senso trasversale alla sollecitazione di trazione applicata, inoltre hanno importanti proprietà

elettromagnetiche.

COMPORTAMENTO PLASTICO (ACCENNO): Ambrogio Colombo Ing. Chimica 59

Il comportamento PLASTICO è caratterizzato dalla presenza d