Teoria di Matematica

M D

>

- m]

Se (am//bm-bl

(m 1) lam-al

quindi

entrambi

valgano

relazioni

queste

m max : +

,

Teorema somma dei limiti lim

limbr

limanza

Data bon ha

convergenti (ambu

successioni

am b

due si che

e

e e = m >

- b

a +

DIMOSTRAZIONE : S lam-al

ENE IN

limite

Per def di

la : Se M1

m >

/bm-bl

INzeIN : se mi ma

disuguaglianza

trangolare

b//am

lan max(m

bm-fatbl (am Mc]

(bm

a) E

allora

bm b) E

= E

sem

+

-a +

+ = +

- - =

- ,

Rapporto successione limitata e divergente tende a 0

Considero /bm)

successioni cui

ebn di allora

an

an e limitata

due -

e

,

MOSTRAZIONE

Di limitato

: perché e

an quindi

Vaso :(a tran

/ama

Ine mi so che

e se Ibm

equivale

tan (che

che che

sufficiente

voglio E

e

se E tico 7

per definizione

(bm) Ibn mibasta M

Ma ciol prendere

semm

m

:

- , ,

n

prendere piacimento

grande

ovvero a

posso

Teorema permanenza del segno (

(X successioni

fran

1) Im

lim

se anto

do =

an :

=

· M >

M - fmsn

Im

a0 anco

=> :

~

2) liman

Em

anzo ado

se e =

DIMOSTRAZIONE : Teso

lim la def Limite

di Fa

an-a considero -E anca+E

:

so se mc ma

m L

- analo un

In

=a

prendo :

-

Teorema del confronto

Se man e bm

vale

lim bm

andn e se an

allora se

and e *,

> -

allora an

DIMOSTRAZIONE : liman-limbn

Data am-bn o liman

cm =

= , b

limcm

quindi a - b d >

0 =>

= ,

Teorema dei carabinieri

considero successioni

tre bm

am Sappiamo

Cm che

e .

,

ambm

(1) CM

an--le (n-l

(2) anche l

lim bn

necessariamente =

>

m -

Esistenza limite di successione monotona

FMm lim

Se successione finito

7

crescente

e cioe

an an

an

una 1 d

an

+ I

=> m 2

>

- [an]

liman

precisamente sup

e = mein

DIMOSTRAZIONE :

[a 3 A liman-Supta nel liman

da lasó

ac cui sia

in sup + c

+ c

= =

, ... ↳

, lim finito

finito

in cui

nel sia an

caso sup = Inc

Fe

Consideriamo liman-Lavero

il dim

voglio

quindi che -E anche

supa

secondo L

casó so :

= Se > E

/La

supland

Quindi significa

L

se che

= Anal L

Hp

per quindi -Ed an

in añ

considero mana di

crescente

an Conseguenza

se E

e +

man

se

Teorema di collegamento limiti di successione e funzioni

seesose f(Xm

[XnYne(ab)/(x)

lim succ

F(x) il

e ha lim

Xn-Xo

che

tale se

=

X m D

Xo

-> >

-

Limite notevole

lim 1 f(x)-

DIMOSTRAZIONE di f

: Innanzitutto moto si tratta

che

vo una

per f)

F(x) x)

-

=

- =S

=

X

E lin lim

f(x)

di (

conseguenza = 0-

X +

Posso funzione

la solo

considerare per XLo

Sinx1XItgX SinXO

dato

moto dividere

che

che :

posso

si s

1

Carabinieri

Utilizzo Il dei

Teo :

lim m

line ↳

1 1

1

= =

x

Ot

X - lim

Definizione di funzione continua

F lim F f(x)

in

continua cie

Xo > =

Nero /f(x)-f(x))

FSco E se(X-Xol S

<

: <

In I

intervallo

un : fe

FeC(l) XoXXoE]

continua in

che

intendo

Teorema permanenza del segno

f fe IIIR

continua

Se XoE] f(x)Lo

in definita

e dove intervallo

in

Xo e

un

, , S)n]

f(x(20

7810 Xe(xo G

per

: Xo +

=> - ,

DIMOSTRAZIONE : (f(x)-l

limite lim f(x) l

Dalla def di avró n

allora

scelgo Eco

= l-E l

f(x)

quindi E

< +

19

Scelgo cl

1-1l1

/11 f(x)

avro

E : +

<

e

= l

lo -Il1 2)

f(x)

se 0 - -

= l

lo Il

Se 21 f(x) 0

<

<

> =-

- ls f(x)o

quindi per ,

l f(x) 10

per co ,

Teorema degli zeri

FEC([ab]) f(a). fla)

f(b) f(b)

<o hanno

avvero opposto

e segno

, f(xd)

JXoE(a b) 0

=> : =

,

DIMOSTRAZIONE Flalto

Considero flb)co

: e

di bisezione f(b) il

Si f(a)0 abbiamo

il : intervallo

o

metodo 1

usa = ,

bo b

do a [do bo]

=

=

Finito

S ,

no

0

= I

f(

considero bo

C e da bo do

be de

= = = int

in ho

ogni caso nuovo

un

be=b -

otto

dr

co = [an br)

,

flan (be)

ef

can o o

La dell'int

lunghezza bed

si dimezza br-as be[bo

do ds

=

In intervalli piccoli

più

generale andare aventi

posso sempre :

con n

finito

no

S E I buts]

[ants

F(c) Ho intervallo

Abu am

an con

nuovo

un

bm >

= =

> += -

+

o ,

1

2 F(bm bn

Flamte) o sbm

bn )c0 =

anzan

= bm

an e

< 0 + +s

= +

+ +1

r banan

buts-ants

lungh intervallo

e = 2

Costruisco bmi

successionian

due e flbml

bm-am-a

am Flam co e

crescente

e' e

-a ,

bm decrescente

e

Considero : IX1 lim [a b)

amb an e

=

=> ,

m > Δ

-

7x2

bmt [d b]

bm

lim

a E

=> = .

D

m >

-

bn-an

considerando by X X2

X X1

che 0

e =

=

1 -

=

Xo

quindi

Chiamo lim

Xo bn

lim

questo tale che

punto am

= =

M > 0 n ->

-

Interviene PERMANENZA

Teo della DEL SEGNO cui

il

adesso :

per

lim bm

lim an 10 >0

>

m 0 O

- n -

Siccome Fel 0[F(x)

tendono

la f(xo) quindi

entrambe

continua 0

0

a -

-

Teorema dei valori intermedi

b])

fec([a [F(a) f(b)] 7 xo

F(b)

f(a) &- f(xo) e

valore

-

= :

= :

e : =

, F(b) fassume

allora

Se la

fla) questi

i

tutti compresi tra

valori

=

DIMOSTRAZIONE : l

f(a) f(b)

F(b)

F(a) =

=

<

f(x) l l

f(x) 0

- =

= Fla)-l

g(x)-([a gla)

b] allora

f(x)

g(x) l 0

=

= - , f(b) l

g(b) 3

-

=

Di conseguenza 7xo l

degli zeri 0 F(xd

il g(xd

per teo : - =

= =

Teorema di Weiestrass

Afferma funzioni

le

di

l'esistenza Min intervalli

assoluto

MAX in

per continue

e

chiusi limitati

e

I

F IR Axe]

finI F(xo) f(x)

Xo di assoluto

dica

si

: - punto max per se Xxe]

Fin] <F(x)

punto F(xa)

Xs min

di

si assoluto

dice se

per

f(x Xx-

f(xm)

JXueXm F(x)

FeC(ab] [ab]

m)

DeF :

: = =

=

Definizione di derivata di una funzione

IR

F (a b)

: >

-

, 7 incrementale

DEDIVABILE del

finità limite

il

Yo :

si in rapporto

dice se

Xo

lim F(d)

oth) F(xd)

- =

h 0

>

-

Se (a b) funzione derivabile

di

tutti la

il limite punti allora è

i

in

esiste ,

Se la funzione é derivabile é continua viceversa)

(man il

detto

è

DIMOSTRAZIONE :

7

Hp lim ) F

Finito =

F quindi

continua :

suppongo

lim lim

che equivale F(xd)

F(x)

F(x) F(xo) 0

a =

= -

Xo

Xo X

X >

> -

-

F(x) #(x)

F(x0)

F(xd) Xo)

(X #0

X

se

=

- -

- .

Xo

X - F(x)

Ex) im(x

lim OMF(X-Fx

lim -x)

F(x) -F(xo) = =

= - .

Xo

* x

x

> -

-

Derivata di una somma

h'(x)

h(x) f(x)

g(xd) derivata

la di

F'

g'(x0) delle derivate

è

(x) la

una

+ somma

somma

+

>

= =

=

DIMOSTRAZIONE :

Hh(x -g F(xg(

=

difg

incrementale

rapporto = h(x)

= 1)

F(x)

E g(x) g(x)

+ + =

= -

Teorema di Fermat

interno

b]

Fe([a (max/min) Fin

(a,b) di b)

Xoe punto di

relativo

estremo (d

, ,

,

derivabile F (x)

Se F in 0

e Xo = =

DIMOSTRAZIONE :

/Geometrica) - F'(x0)

f(x)

Y (X Xo)

I + .

= -

8 I O

=

I quindi

orizzontale coett

perché ang o

=

I

· !

b

lamalitica) Hp F(xd

7510 XXe(Xo-

F(x)

1) xots)

di (ab)

relativo

Xo S

punto : : <

max c

:

7f(Xo F

F (Xot)

(x)

Fe lim F'

derivabile

2) cioel F(x F'(xo)

in avero

Xo = =

= -

h Inl

F(X)

lim f

f(xo+h)

dove 10 se

· -

I

h ot

+

lim 30

· n 0

+ OFF'(xd

=> 0

10

Teorema di Rolle

fec([ab) 7xot Fixol

(ab) /esiste

derivabile F(b)

Fla) (ab) critico)

in punto

0

se almeno

: un

= = =

DIMOSTRAZIONE :

Soddisfatte F(x) [ab]

del

hp assoluti.

Weiestrass

Teo di Sappiamo

le in minimo

massimo

che assume e un

un

,

possibilità

Ci due

sono : tutti

#'(xo) b)

F(x)

1) M (a

quindi 0 di

i

costante

se allora e valori

per

y

m =

= = .

valori

Almeno dei funzione .

due

2) assunto

è dalla in punto (a

Ma m

se b)

in

uno un o ,

F

risulta (x)

di Fermat

Teo

F(xo) 0

Supponiamo il che

M per =

=

Teorema di Lagrange

Fec([ab)) Fxoe(ab) =

(ab)

in F'(x

derivabile che

tale

e =

DIMOSTRAZIONE : E se

(afa)

Geometrica)-- (b

① trov la retta passante per

, e Ha(x

f(a)

= y +

=

F(a) --- , Angolare

coeff

.

S b della retta che

seconte .

Fla)

da (b

(a F(b)

parte e

, ,

② g(x)

Analitica f

retta <

F(d)

g(x)

se