Fisica matematica - Teoria

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE A COEFFICIENTI COSTANTI

_↤ x(t) + a x_̇(t) + b x(t) = f(t)

f(t) = 0f(t) ≠ 0

OMOGENEA

_↤ x(t) + a x_̇(t) + b x(t) = 0

λ² + a λ + b = 0

λ_1,2 = ^{-a ± √Δ} / ₂

Δ = a² - 4b

1. Δ > 0

x(t) = C₁ e^λ₁t + C₂ e^λ₂t

2. Δ = 0

x(t) = C₁ e^λ_tt + t C₂ e^λt

3. Δ < 0

d = -^α / ₂

β = ^√-Δ / ₂

x(t) = e^dt ( C₁ cos βt + C₂ sin βt )

NON OMOGENEA

_↤ x(t) + a x_̇(t) + b x(t) = f(t)

1. ricorrese l'equazione omogenea associata e trovere la soluzione particolare x₀(t)
2. integrare pert. oltre dell'equazione non omogenea x_p(t)

x(t) = x_o(t) + x_p(t)

m x_̇̇ + k x = G₀x_part = ^G₀ / _k

m x_̇̇ + k x_̇ = G₀x_part = ^G₀ / _k

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DI SECONDO ORDINE A COEFFICIENTI COSTANTI

X^¨(t) + a X^˙(t) + b X(t) = f(t)

f(t)=0 OMOGENEA

f(t)≠0 NON OMOGENEA

OMOGENEA

X^¨(t) + a X^˙(t) + b X(t) = 0

si costruisce l'equazione caratteristica associata al sistema

λ² + a λ + b = 0

λ_1,2 = ^{-a ± √Δ}/₂

Δ = a² - 4b

1. Δ > 0 λ₁ ≠ λ₂

X(t) = C₁ e^λ₁t + C₂ e^λ₂t

2. Δ = 0 λ

X(t) = C₁ e^λt + t C₂ e^λt

3. Δ < 0 soluzioni complesse α = ^-a/₂ β = ^√-Δ/₂

X(t) = e^αt (C₁ cos βt + C₂ sin βt)

NON OMOGENEA

X^¨(t) + a X^˙(t) + b X(t) = f(t)

1. risolvere l'equazione omogenea associata e trovare la soluzione particolare X₀(t)
2. integrare particolare dell'equazione non omogenea X_p(t)

X(t) = X₀(t) + X_p(t)

m X^¨ + k X˙ = G₀

X_part = ^G₀/_k

1) IL MOMENTO di una FORZA non dipende dal suo PUNTO di APPLICAZIONE

Ma = (P - Q) x F

Prendo ora in considerazione (F-Q')

(P-Q') = (P-Q) + (Q-Q')

Calcolo ora il momento in A:

Ma = (P-Q') x F = (P-Q) x F + (Q-Q') x F

pero il vettore (P-Q') è // a F pertanto il loro prodotto vettoriale è nullo Ma = 0

riscrivo così l'equazione:

0 = Ma + (Q-Q') x F

Ma = (P-Q) x F = (Q-Q') x F

Con ciò abbiamo dimostrato che il momento rispetto ad un polo E dipende della distanza tra il polo e il reto di applicazione

2) SISTEMA di VETTORI

{(p_i; F_i)} i = 1,...,N

R̄ = Σ_i=1^N F_i

M̄_a = Σ_i=1^N (p_i - a) x F_i

SISTEMA EQUILIBRATO o BILANCIATO => R̄ = 0 & M̄_a = 0

3) TRASFORMAZIONE di COORDINATE

(x,y) → (ρ,φ)

Il punto non viene piu univocamente determinato

eleviamo tutto il quadrato e sommiamo → x² + y² = ρ² cos² φ + ρ² sen² φ

x² + y² = ρ² → ρ = √(x² + y²)

dividiamo la secondo espressione per la prima → y/x = sen φ/cos φ

Y/X = tan φ → φ = arc tan Y/X

(x,y,z) → (ρ,φ,β)

{X = ρ cos φ sen β

Y = ρ sen φ sen β

Z = ρ cos φ

eleviamo tutto il quadrato e sommiamo → x² + y² + z² = ρ² cos² β sen² φ + ρ² sen² φ sen² β + ρ² cos² φ cos² β

x² + y² + z² = ρ² → ρ = √(x² + y² + z²)

divido le seconde per la prima → y/x = φ sen β cos φ

dividiamo la prima e la seconda per la terza → β = arc tan Z/√(x² + y²)

CURVA REGOLARE

Una curva è regolare se:

1. X: I di classe ^C∞
2. X' è invertibile