Fisica matematica - Teoria

Equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti

_{f(t) = 0} Omogenea

_{f(t) ≠ 0} Non omogenea

Omogenea

ẍ(t) + a ẋ(t) + b x(t) = 0

λ² + a λ + b = 0

λ_1,2 = (-a ± √Δ)/2

Δ = a² - 4b

1. Δ > 0

x(t) = C₁ e^λ₁t + C₂ e^λ₂t

2. Δ = 0

x(t) = C₁ e^λt + t C₂ e^λt

3. Δ < 0

x(t) = e^αt (C₁ cos βt + C₂ sen βt)

Non omogenea

ẍ(t) + a ẋ(t) + b x(t) = f(t)

1. Risolvere l’equazione omogenea associata e trovare la soluzione particolare X_o(t)
2. Integrore particolare dell’equazione non omogenea X_p(t)

X(t) = X_o(t) + X_p(t)

m ẍ + k ẋ = G_o

X_part = G_o / k

1) Il momento di una forza non dipende dal suo punto di applicazione

Ma = (P - Q) x F

Prendo ora in considerazione (P - Q')

(P - Q') = (P - Q) + (Q - Q')

Calcolo ora il momento con Q'

Ma' = (P - Q') x F = [(P - Q) + (Q - Q')] x F

Per il vettore (P - Q') è parallelo a F passando il loro prodotto vettoriale vale 0

=> (Q - Q') x F = 0

(P - Q) x F = (P - Q') x F = Ma = Ma'

0 = (P - a) x F = O, ma (P - a) = 0^i

Sostituisco l'equazione:

O = Ma + (Q - Q') x F

=> Ma = (a - Q) x F = (Q - a) x F

Ma = (P - Q) x F = (Q - a) x F

Con ciò abbiamo dimostrato che il momento rispetto ad un polo è indipendente della distanza tra il polo e la retta di applicazione

2) Sistema di vettori

• {(a_i, F_i)}; i = 1, ..., N

R = (Σ_i=1^N) F_i

Ma = (Σ_i=1^N) (ρ_i - a) x F_i

Sistema equilibrato o bilanciato se R = 0 e M_a = 0

3) Trasformazione di coordinate

(x, y) → (ρ, φ)

• {X = ρ cos φ Y = ρ sen φ}

Il punto non viene più univocamente determinato

Eleviamo tutto al quadrato e sommiamo => x² + y² = ρ² cos² φ + ρ² sen² φ

x² + y² = ρ² => ρ = √(x² + y²)

Dividiamo la seconda espressione per la prima => y/x = ρ sen φ / ρ cos φ

Y / X = tan φ => φ = arctan y / x

(x, y, z) → (ρ, φ, θ)

• {X = ρ cos φ sen θY = ρ sin φ sen θZ = ρ cos θ}

Eleviamo tutto al quadrato e sommiamo

x² + y² + z² = ρ² cos² φ sen² θ + ρ² sen² φ sen² θ + ρ² cos² θ

x² + y² + z² = ρ² [cos² θ + sen² θ (cos² φ + sen² φ)] = ρ²

ρ = √(x² + y² + z²)

Divido la seconda per la prima => Y / X = ρ sen φ sen θ / ρ cos φ sen θ => φ = arctan Y / X

Dividiamo la prima e la seconda per la terza

6) CINEMATICA RELATIVA

3l sistema relativo è un sistema che può traslare e ruotare, ovvero si tratta di un moto ROTO TRASLAZIONALE, rappresentato da un vettore _ω in cui valgono le seguenti proprietà:

d/dt _ωk = _ωk ∧ _lk n k = 1, 2, 3

(^P−^O) = x₁ ^î₁ + x₂ ^î₂ + x₃ ^î₃

(^P−^O) = x₁ ^î₁ + x₂ ^î₂ + x₃ ^î₃ +(^O′−^O) +(^O′−^O)

di conseguenza:

v_r = d/dt (^P−^O) = d/dt [x₁ ^î₁ + x₂ ^î₂ + x₃ ^î₃ +(^O′−^O)] =

= d/dt x₁ ^î₁ + x₁ d/dt ^î₁ + d/dt x₂ ^î₂ + x₂ d/dt ^î₂ + d/dt x₃ ^î₃ + x₃ d/dt ^î₃ + d/dt (^O′−^O) =

= ẋ₁ ^î₁ + x₁ ω ∧ ^î₁ + ẋ₂ ^î₂ + x₂ ω ∧ ^î₂ + ẋ₃ ^î₃ + x₃ ω ∧ ^î₃ + v_O′.

= v_r + ω ∧ (^P−^O′) + v_O′ = v_r + v_c

a_r = d/dt v_r = d/dt [ẋ_i ^î_i + x_i d/bt ^î_i] + ω ∧ (ẋ_i ^î_i + x_i ẋ₃) + d/dt (^O′−^O) =

= ẍ_i ^î_i +̇ẋ_i ^î_i + ẋ_i ẋ₃ + ω ∧ (ẋ_i ^î_i + x_i ẋ₃) + ω ∧ (ẋ_i ^î_i + ẋ_i ^î_i + ẋ₃ ^î₃ + x₃ ẋ₃) +

+ ω ∧ [ẋ_i x_i + ẋ₃ ẋ₃ + ẋ₃ x₃] + d/dt (^O′−^O) + d/dt ω ∧ (^O′−^O) =

= a_r + ẋ ω ∧ v_r + ω ∧ (ω ∧ (^P−^O′)) + d_t ω ∧ (^P−^O′) + a_c =

= a_r + a_c + e ω ∧ v_r + a_r + a_c

VINCOLI

TEOREMA 6.

In presenza di vincoli bilaterali tutti gli spostamenti virtuali sono reversibili.

TEOREMA 7.

In presenza di vincoli unilaterali sono reversibili tutti gli spostamenti effettuati a partire da una posizione ordinaria mentre sono irreversibili quelli effettuati a partire da una posizione di confine.

d/dt K_Ω = M_Ω - v(Ω) ∧ Q

Questa formula esprime come varia il momento della quantità di moto e la quantità di moto:

1) Ω è un punto fisso (Ω ≡ 0)

• v(Ω) ≡ 0 → d/dt K_Ω = M_Ω
• F ≡ 0 → M_Ω = 0
• d/dt K_Ω = 0 → K_Ω è costante

2) Q = 0 allora anche v = 0

3) v(Ω)/Q → d/dt K_Ω = M_Ω

Supponiamo che nel punto P agisca la forza F e il lavoro elementare sia pari a

dL = F ds t ma essendo m una curva ds varia lungo il vettore tangente

dL = F ds = F v dt = d/dt Q v dt = d/dt m v v dt = m v dv

Vediamo ora la relazione tra il lavoro e l'energia cinetica

T = 1/2 m v v

dT = 1/2 m dv v + 1/2 m v dv = m v dv

dL = dT TEOREMA delle FORZE VIVE

Il lavoro infinitesimo di un corpo in cui agisce una forza è uguale alla variazione di energia cinetica

E = T + V Energia meccanica totale = Energia cinetica + Energia potenziale

E_A = E_B

LEGGE di CONSERVAZIONE dell'ENERGIA