Teoria di Fluidodinamica computazionale

SOMMARIO

1. COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS (CFD) .......................................................................................................................... 3

2. MATHEMATICAL MODELS FOR CFD ..................................................................................................................................... 6

......................................................................................................... 6

2.1. C E I F

ONSERVATION QUATIONS IN NTEGRAL ORM .................................................................................................... 8

2.2. C E D F

ONSERVATION QUATIONS IN IFFERENTIAL ORM

....................................................................................................... 10

2.3. N -C D E

OT ONSERVATION IFFERENTIAL QUATIONS

.............................................................................................................................. 13

2.4. N -S E

AVIER TOKES QUATIONS .......................................................................................... 15

2.5. N -S E

AVIER TOKES QUATIONS IN CURVILINEAR COORDINATES ...................................................................................... 16

2.6. N -S E

AVIER TOKES QUATIONS IN ROTATING CURVILINEAR SYSTEM

......................................................................................................................................... 18

2.7. E ULER EQUATIONS

3. MATHEMATICAL PROPERTIES OF THE EQUATIONS OF FLUID DYNAMICS.......................................................................... 20

4. BASICS OF FINITE-DIFFERENCE METHODS CONSISTENCY, STABILITY, AND CONVERGENCE OF NUMERICAL METHODS ... 26

.......................................................................................................... 27

4.1. C , ,

ONSISTENCY STABILITY AND CONVERGENCE

........................................................................................................... 30

4.2. S TABILITY ANALYSIS OF NUMERICAL SCHEMES ........................................................................................................ 32

4.3. C -F -L (CFL)

OURANT RIEDRICHS EVY CONDITION

......................................................................................................................................... 33

4.4. U

PWIND SCHEMES

5. THE FINITE VOLUME METHOD .......................................................................................................................................... 35

6. COMPUTATIONAL GRIDS ................................................................................................................................................... 38

........................................................................................................................................ 38

6.1. B -

ODY FITTED GRIDS 38

6.1.1. Single block O-type grids....................................................................................................................

.................................................................................................................... 39

6.1.2. Single block C-type grids .................................................................................................................... 40

6.1.3. Single block H-type grids

.................................................................................................................................. 41

6.2. M ESH QUALITY CRITERIA ......................................................................................................... 41

6.3. G ( ) /

RID TOPOLOGIES SINGLE BLOCK PROS CONS

........................................................................................................................ 42

6.4. M ULTIBLOCK STRUCTURED GRIDS

7. BOUNDARY CONDITIONS FOR THE NAVIER-STOKES EQUATIONS ...................................................................................... 43

........................................................................................................... 44

7.1. T

HE TREATMENT OF BOUNDARY CONDITIONS

......................................................................................................................... 46

7.2. I O B

NLET AND UTLET OUNDARIES

........................................................................................................................... 49

7.3. W ALL BOUNDARY CONDITIONS

8. CENTRAL SCHEMES AND ARTIFICIAL DISSIPATION FOR THE EULER AND NAVIER-STOKES EQUATIONS ............................ 50

..................................................................................................................... 51

8.1. S -O C S

ECOND RDER ENTRAL CHEMES ........................................................................................................ 52

8.2. J S A D

AMESON CHEME FOR RTIFICIAL ISSIPATION

9. UPWIND SCHEMES FOR THE EULER AND NAVIER-STOKES EQUATIONS ............................................................................ 54

............................................................................................................................................ 55

9.1. F S

LUX PLITTING

............................................................................................................................................... 56

9.2. R S

OE CHEME ....................................................................................................................... 58

9.3. H -

IGHER ORDER UPWIND SCHEMES ............................................................................... 58

9.3.1. Monotone Upwind Scheme for Conservation Laws

.................................................................................................. 59

9.3.2. Total Variation Diminishing Condition

10. TIME-DEPENDENT METHODS FOR STEADY PROBLEMS .................................................................................................... 62

......................................................................................................................... 62

10.1. T -

HE TIME MARCHING CONCEPT ....................................................................................................................... 63

10.1.1.Runge-Kutta schemes ................................................................................................................. 65

10.2. I -

MPLICIT TIME INTEGRATION SCHEMES ........................................................................................... 69

10.3. B -

LOCK SCHEME TIME DEPENDENT FOR STEADY PROBLEMS

11. CONVERGENCE ACCELERATION TECHNIQUES FOR STEADY PROBLEMS ............................................................................ 70

95

................................................................................................................................... 71

11.1. L T -S

OCAL IME TEPPING

................................................................................................................................................ 72

11.2. M ULTIGRID ................................................................................................................................... 73

11.3. R

ESIDUAL SMOOTHING

12. TIME-DEPENDENT METHODS FOR UNSTEADY PROBLEMS ............................................................................................... 75

................................................................................................................................... 76

12.1. D T -S

UAL IME TEPPING

13. TURBULENCE..................................................................................................................................................................... 78

........................................................................................................................................ 79

13.1. E C

NERGY ASCADE ....................................................................................................................................... 80

13.2. T

URBULENT SCALES .............................................................................................................................. 82

13.3. RANS/URANS METHODS ........................................................................................................... 84

13.4. M ODELS BASED ON TRANSPORT EQUATIONS

...................................................................................................................... 84

13.4.1. One-equation Models ...................................................................................................................... 86

13.4.2. Two-equation Models .................................................................................................................... 93

13.4.3. Reynolds-stress Models

96

1. Discretization of NS equations on unstructured grids

Esaminiamo le proprietà delle griglie curvilinee strutturate, che sono essenziali per la creazione di body fitted mesh.

Queste griglie sono composte da un unico blocco di elementi esaedrici, all'interno del quale è possibile effettuare una

trasformazione, che consente di convertire una distribuzione uniforme di punti da un dominio quadrangolare a uno

curvilineo. Questa metodologia può essere ampliata per includere l'accoppiamento di più blocchi, dando vita a ciò che

viene definito come griglie multiblocco strutturate. L'idea di base è quella di mappare un dominio generico, che sia un

volume o una superficie, utilizzando parallelepipedi trattati come blocchi strutturati individuali.

Questo metodo, sebbene complesso, è stato ampiamente adottato per gestire geometrie intricate. Predominante

nell'ambito industriale, questa tecnica, nonostante la sua capacità di gestire domini complessi, è piuttosto laboriosa.

Infatti, le operazioni di accoppiamento, identificazione dei blocchi del dominio e assegnazione manuale delle tre direzioni

possono risultare onerose. Nonostante questi ostacoli, il metodo è apprezzato per la sua capacità di generare griglie di

alta qualità in ampie aree, ottimizzando lo skewness e l'aspect ratio degli elementi. Tuttavia, la rappresentazione di

caratteristiche geometriche complesse può talvolta introdurre elementi distorti con un elevato aspect ratio in aree non

strettamente correlate a una specifica caratteristica geometrica.

Dall'analisi dell'immagine si evince che la struttura grigliata del gradino

determina un'espansione non necessaria dell'infittimento della mesh in

aree del dominio dove non è richiesto. Questo comporta un inutile

consumo di risorse computazionali, rappresentando quindi uno

svantaggio dal punto di vista del calcolo. In aggiunta, si riscontra la

tendenza a inserire elementi di bassa qualità o con un aspect ratio

elevato, che si traduce in una discretizzazione forzata in direzione

perpendicolare alla parete, anche in punti distanti da essa dove tale

dettaglio non è necessario. Un ulteriore problema emerge quando il

dominio presenta complessità tali da ostacolare una suddivisione

uniforme in elementi esaedrici, portando