Fluidodinamica - teoria completa

A

Se considero volume materiale (non varia nel tempo, ovvero rimangono costanti le particelle di fluido al suo interno):

dove u = u ovvero velocità del contorno = velocità del corpo

A

sarebbe (F u*n dA)

Conservazione della massa

Consideriamo un volume materiale. Se nulla passa attraverso la superficie A e il contorno si muove come il corpo (b=u) allora:

= 0 Rho può variare localmente ma l’integrale non cambia

Per volume qualsiasi scegliamo un tempo in cui v(t) è uguale a v* , allora:

(

+ − ) ∙ = 0

∫ ∫

∗() ∗()

Relazione in forma conservativa:

Relazione in forma convettiva:

In molti casi il primo termine si annulla, perciò per un fluido incomprimibile rimane:

Conservazione della quantità di moto

Consideriamo un volume materiale, allora la quantità di moto può variare a causa di forze di volume e/o forze di superficie:

(seconda legge di Newton)

= + (, , )

∫ ∫ ∫

() () ()

g rappresenta le forze di volume, non solo la gravità (elettriche, magnetiche).

Rendiamo valida l’equazione per un volume qualsiasi usando il teorema del trasporto di Reynolds:

(

+ − ) ∙ = + (, , )

∫ ∫ ∫ ∫

∗() ∗() ∗() ∗()

Forma differenziale (conservativa):

() ()

+ ∇ ∙ − − = 0

dove è un tensore

Forma convettiva, ottenuta sfruttando la conservazione della massa:

= +

Conservazione dell’energia

Equazione scalare, come la conservazione della massa:

2

( + = ∙ + (, , ) ∙ − ∙

∫ ∫ ∫ ∫ dove e = en. potenziale

() () ∗() ()

2

Significa che se l’energia varia allora è per merito di forze di volume e/o forze di superficie e/o contributi termici

Forma differenziale:

2 2

[ ( + )] + [ ( + ) ] − − ( ) + = 0 dove a Tij è stata tolta la parte deviatorica (viscosa)

2 2

Se semplifichiamo anche le forze di volume e gli scambi terminci troviamo la forma conservativa:

2 2

[ ( + )] + ∙ [ ( + ) + ] = 0

2 2

Forma convettiva:

2

(+ )

2 ()

+ ∙ = 0

Riscrivendo l’equazione dell’energia considerando quelle di quantità di moto e massa ottengo:

= 0 L’entropia per una particella di fluido rimane costante lungo una linea di flusso (valida in assenza di fenomeni di

disspazione come e K (viscosità e termico).

Relazione Costitutiva per fluido Newtoniano

= − + 2

2 1

λ ∙

− = ( + ) =

dove . Per un fluido completamente incomprimibile la pressione meccanica è uguale a media.

3 3

Per un fluido comprimibile invece, p e p possono eesere differenti. In particolare differiscono per mezzo del coefficient of bulk

2 + λ

viscosity k = . In linea di principio, k è misurabile, ma per farlo è necessario avere valori di Drho/Dt estremamente grandi,

3

come per esempio nelle onde d’urto. Per questo motivo spesso si fa l’ipotesi di Stokes tale per cui k = 0. Questa ipotesi risulta

essere sufficientemente accurata.

Equazione di Navier-Stokes

Partendo dall’equazione della quantità di moto di un fluido newtoniano:

So che la viscosità ha una forte dipendenza dalla temperatura, ma considero che questa non vari di molto perciò posso

considerare la viscosità costante e portarla fuori dall’operatore di derivazione:

∙ = 0)

Se ipotizzo poi fluido incomprimibile (∇ l’equazione rimanente è l’equazione di Navier-Stokes:

Semplificando ulteriormente (brutalmente) il termine viscoso ottengo l’equazione di Eulero.

Stokes in 2D:

+ = 0

2 2

1

+ + = ( + ) − +

2 2

2 2

1

+ + = ( + ) − +

2 2

Teoremi di Bernoulli

Si parte dall’equazione della quantità di moto nella forma del Crocco per un fluido incomprimibile e inviscido:

1 2 ϕ

ϕ + × = 0

+ ( + + ) dove rappresenta un potenziale di gravità e P è una funzione potenziale che sotto

2 .

= () /

l’ipotesi di fluido barotropico, ovvero che , e nel caso incomprimibile, è pari a

Prendendo il caso stazionario, e moltiplicando per u trovo:

1 2 ϕ = 0 = 0

)

∙ ( + + ) ∙ (…

avendo significa che il termine tra parentesi non varia in direzione perpendicolare a u.

2 1 2 ϕ = cost

+ +

Significa che lungo le linee di corrente

2

Stesso ragionamento valido per le linee vorticose: moltiplico per w invece che per u e ottengo:

1 2 ϕ = cost

+ + lungo le linee vorticose

2

Queste due ultime equazioni danno vita alla prima forma del teorema di Bernoulli.

Per scrivere la seconda forma del teorema introduco anche l’ipotesi di irrotazionalità, perciò:

1 2 ϕ = 0

( + + ) ovunque, non solo sulle linee di corrente.

2

Esiste una terza forma: considero non più il caso stazionario, ma mantengo l’ipotesi di irrotazionalità. Ottengo:

1 2 ϕ = B(t)

+ + || +

2

=

Dove B = B(t) significa che è un funzione costante nello spazio, varia solo nel tempo.

Approssimazione di Bousinnesq

L’approssimazione si basa sul fatto di usare il modello di fluido incomprimibile quando la variazione di densità dipende solo da

motivi di galleggiamento. Ovvero quando si hanno variazioni di temperatura e di moto, quindi di densità, solo per motivi di

galleggiamento. ∙ = 0

Partendo dalla conservazione della massa: che è usatta per un fluido incomprimibile, ma in questo caso risulta

= ()

un’approssimazione in quanto . Considero però solo piccole variazioni di T (una decina di gradi), allora riarrangiando

l’equazione della quantità di moto ottengo:

ʋ = μ/ = + ′ ′

Dove e p = p + p’ e con deviazione della densità rispetto alla densità statica con scala di

0

0 0

lunghezza .

0

Riassumendo, l’approsimazione di Bousinnesq può essere fatta solo quando il numero di Mach è piccolo, la scala del flusso non è

troppo larga e la temperatura varia di poco nel fluido. Allora la densità può essere trattata come costante tranne che nel termine

legato alla gravità.

Mentre l’equazione dell’energia:

C

dove k = K/ è la diffusività termica

p

Parametri adimensionali

= =

Prendiamo come esempio il num ero di Reynolds: . Immaginiamo di avere un problema descritto e parametrizzato

ʋ

esclusivamente da questo numero adimensionale.Allora posso vare poche valutazioni per differenti Re invece che farne molte di

più facendo variare le varie grandezze una alla volta. In questo modo si ottiene un gran vantaggio in quanto, pur avendo problemi

di diverso tipo, se Re è uguale in entrambi, avrò lo stesso risultato dal punto di vista cinematico e dinamico.

Caratterizzando pochi numeri adimensionali posso descrivere molteplici problemi fluidodinamici e confrontarli tra di loro, si parla

di similitudine fluidodinamica.

Per ricavare questi numeri adimensionali si introducono delle scale di lunghezza,tempo,velocità,densità nelle equazioni di modo.

Questo permette di separare nell’equazione i coefficienti dimensionali dai termini adimensionali, ricavando, oltre a Re:

ΩL

St = Coefficiente di Stewart: confronta l’accelerazione instazionaria rispetto a quella convettiva

- u

Fr = u/√ Froude number: fenomeni ondosi, relazione le forze di inerzia con le forze di gravitazione

- 2

=

- Numero di Mach: nell’equazione della conservazione della massa, dopo alcuni riarrangiamenti, appare come M ,

il quale ci da un valore di qaunto il fluido non è incomprimibile. Ovvero quanto lontano è dalla comprimibilità. Se

M=0.6/0.7 la comprimibilità non è trascurabile

Flusso di Poiseuille

Introduzione: prendiamo le equazioni di massa e moto per fluido incomprimibile, senza forze di volume e superficiali:

∙=0

1 2

(

+ ∙ ) = − + ∇

( ∙ )

Queste equazioni sono esatte ma irrisolvibili. Il termine non è lineare, perciò crea problemi. Allora una strategia può

essere quella di eliminarlo.

Prendiamo 2 pareti solide dentro cui scorre un fluido in 2D. Ipotesi:

- Lati infinitamente lonani.

- Flusso completamente sviluppato, quindi non vedo ne imbocco ne uscita.

- Impongo che qualsiasi funzione dipenda solo da y. Ciò significa che le direzioni x e z sono direzioni di omogeneità, in

questo modo possiamo semplificare il termine non lineare.

Soluzione:

() = ( − ℎ) rappresenta una parabola con B.C. y(0)=0 e y(h)=0

2 ℎ 2

= = ( ) = − ℎ

2 8

La portata: 3

ℎ ℎ

= () = −

∫

0 2 6

Il coefficiente di attrito:

∆

ℎ 24 2

= = = =

dove

1 2 ℎ 3

2

Flusso di Poiseuille-Couette

() = ( − ℎ) + dove U è la velocità con cui si muove la parete. Le B.C. saranno y(0)=0 e y(h)=U