Teoria del secondo parziale di Analisi e geometria 2

LI

f e Llano

flxo.Y.tk

uformulediremo flee ftp fuo

fkoth.to yo

E Po gg

D8 L

a E I finto

flx.no

fltomoth

flette

fy

df Pe Gm que K Ifinito

E

una

Consideriamo direzione dare

ora spiccata

a MB

F

ho

goth tigri

E yay

Polano s

te sexo

Hay

a'E

y

lamettapaisantepenPocondinezionerà e

del

r aule

coordinate

htota y punto

yot.pt il del

Chiamo E

nella limite re

derivata calcolato

define

direzionale direzione l'incremento

incrementale

rapporto quando

lungo

tende zero

a EE ftp

line

Defla Pe

IUCM.CI fcxo

y a2

fyflxotat.gotBt

pa.t

I

PIANOTANGENtEmmm

DIFFERENZIAB.INT SIR

AER Yzf y

x

x y A

Po il

rendiamo dominio

dentro nel

Setale liscia

e punto

superficie che e

in

e possiamoimmaginare

gap aaaa aaaa fa

il di

che Pa valori

valore della

cioè abbia Po a

molto

in

un e abbia vicini

nell'interno quelli superficie

piano proprio

allla

formula ftp Z

tfyp ad

fpotfxp xxo candidato

yyo essere

pianotangente µ

del

della

dimostrazione formula pianotangente e

la

lalinea linea

x

coordinata coordinata È

ha ha

equazione Eff equazione

parametrica

parametrica yo zeflx.it

I linee

alledue

vettori

tangenti

a Pa

in

coordinate sono

rispettivamente

fu

Po

µ

la

Cenco b

direzione e a

a a perciò

c ortogonale

6.0 Elio

ftp

c

1 o

a cui

da

6.1 6

c.fi o

a 0 fate

Il ha f fy

ftp.i 1

direttrice flro

pianotangente xoiYo

epaisaper

po

E i

l

quindi p iano

fftp t 4offylpo

y 1

z

a flpd

Z

fy

XXo

flpofxlpo 4Yo

p da la

Se Po

liscia

è

Po è Pa

un

benapprovata

una in

allora in

piano

funzionevicino

a differenziabile ovvero

può

essere funzione

la fà

df inPase

funzione differenziabile

x tono

y

per htfy

Flay ftp.tfxp.k 0

110 42

po 44

x

TE

PIANO cronfascorabile

ftp.lx

I'Y tipo ftp

xo y.yo

ALI y 7

xo y

x

yo dfegGyygyftoth.dotk

ftp ftp.ohfulp ok

Ithaka usata esercizi

quella negli

tra

LEGAMI DIFFERENZIABILITÀ

CONTINUITÀ

C'DERIVABILITA la

la

delle né

derivate

l'esistenza continuità

Norimplicané differenziabilità

parziali di

le il 1 limite

xchè 7

limite

derivateparziali direzionementre e richiedono un

differenziabilità

continuità

verificano

questo lungo

bidimensionale

teorema IIR

AGIR

f

sia È

Eff differenziabilità

lupo

fà inPo allora

se differenziabile I Lxi

Pa

tutte

f le continuità

derivate in

possiede po

inPo

Fe continua

nota

1 Miscrituradfdifferenziabilitarflp

di

dato

chez tratta un

vettore

con

n

si componenti

HEBE

PO

fa t0

ftp.toflp 11x

xXo XoIl

0

Tfdiffenenziale di

fiuto

totale

del

teorema differenziale

YR A

AER

f un

e

sia insiemeaperto

ha le

Sef derivateparzialicontinue in

Aallonafédifferenziabileina

IR

f AGIR

Sia 744

12

XII Poca

Cona

insieme

apertoe Po

Sef è allora

in

differenziabile FMI

fà Po

in

continua

lupo Da

ftp.t ftp.ffxpo.htfypo.B

la del

vale regola gradiente

fa ed allalineadi

livellopento dif

livelli

fa la di

indica direzione massima

della

crescita a

superficie

pOBEMdiOTIMIZZAZONEmm

fa di

max tangente

cuiil

piano alla

ottimo fèorizzontale

punti in

sonoquei

punti superficie

mean fse

di

Foà

off un puntostazionario

Expo O ftp

fylp.to

di

FERMAT

TEOREMA HR

AER

f

Dato azfex

x esca

Pe

Io unptointernoada

a

a Lsaundifferenziabileine

a xoèunptodiottimo ofp.ro

è

allora un nontuttiptistazionari

sono

ptostazionario mare

pria

ottimo stazionario

punto

iohounptodottimosauroavroun

3

tipi di

PT

STAZIONARI I la

ptomaxptod.se

pomi fédiffin

PUNTI

dei

CLASSIFICAZIONE STAZIONARI ad

A

Pe

interno

Poc'stazionario BE

Po conta

nell'interno

f

approssimo

flag to

tfyp xd7

ftp.tfxpo yot

XXo x

yyo 1 y

IkstFamayIAT

Takis tolti

ricavareuna

similitudine data t

roveda per

x pentalxy Polinomio

formula ditaylondiondineadiumafunzioneintraniab

TI

fit

g fltoltfltollt.to

ttYY

TZ t

fltoltfltollt.to tot

di

del PEANO

TEOREMA RESTO

FECIA

A tota t.to

It'TINTO

9,6

f y

à

f

Se flay f It

top

to E

ftp.lx Iy

E

y9tf

1x

x.FI

Takisttalaylt YoI

1xhM

h14 4

ydtg

p

p

le

che 4le nella a

derivate sono

secondi MATRICEHESSIAN

scrivo

Segue II

E tà

Fxx

µ In Eye

II gag

di

è una

matrice funzioni

III

E ftp.fxyf

p l'una discalani

matrice

fyyf.hr

È xp

fy

ftp.ffy

feci

che A aiutadatoche

questo

Suppongo fx

FECIA A

fyel fy Penteo

è diff

e totale

e e differenziabile

differenziabile

di

SCHWARZ

TEOREMA A le

fa C A alloranon derivateparzialisono

sue

se E ma

solo

g aperto differenziabili

d

2 VII

EA

aya

OXY p

PO le

Pa

se in

sono miste

derivate

continue seconde coincidono

Hp ftp.lamatnivehessianal'simmetrica

quindi IR

CRITERIO vale

della

MATRICEHESSIANA in dalla matrice hessianainpa

la rappresentata

forma

quadratica

se data

è

Apo Po

in

Pa di

D ftp

è

definita minimolocale valore

positiva punto minimo

Io di

D locale

max

eun

definita punto

negativa di il

l'un la tg

sella

Pe attraversa

D sup

Indefinita punto piano

il

allora non

criterio risolutivo

e

singolare Tann la

baitaper del

natura

decidere pto

stazionario

le

se di

sono 2 variabilicandidate gli allore

2 autovalori Alpo

Hp

per

essere

definita

positiva

detH Eminloc

O III

p

UN o stesso

autovalori segno

Ap

per

essere

definita

negativa tutti

b

detH penale

O

p

NON o stesso

autovalori segno

A per

essere

definita

indefinita

p detHP.co

Monacoautovalori opposto

segno

Sadeth nella

osiamo situazioneindicibile

po

di

TEOREMA delle

WEIERSTRASS funzionicontinue

prop

ACRI IR

f

considero YZfkij

x y

A

Ip limitato

chiuso

compatto

sua

fe

ip continuo

IM Ef E

A

m Mef

su

globale Pn pn

CRITERIOdiSYLIRSTERmm sn

A una

matrice

simmetrica

ncaleemln.nl

Sia le

diil che

della ultime

matrice ottengonocancellando

determinante nirigheenicolonne

di

di i nord

minori

sono cosidetti ovest

A definita

una

forma positiva

quadratica

rappresenta

di o

sse

A definita

una quadratica

forma negativa

rappresenta fai

di

se o

Ti ai

dia

a d

det azz 923 924

as

93 433

032 434

042 043

4 anni VINCOLATA

di

PROBLEMI OTTIMIZZAZIONE

fais

minman Su 8411 trapneadliveliodialtra

superficie agggayama

frizione magagna

da

ottimizzare

gauge

1

CASO

il è

se vincolo esplicitabile

il o

sipuò

vincolo

cioè come

esprimere

gha y

oppure

Allora

sostituisco ha

fix facciouna

restrizione

maximin y

in

di libera

una

variabile

ottimizzazione

problema

2

CASO il è delle

variabili

non auna

vincolo

se esplicitabilerispetto dif

Ivano

I la

Appena devo

vedeneseeilmaxemin vincolo

vincolo schovincolodidisuqualianza

mistovincdonofonazona

inYestocasologestiscospezzandoloindue

ab

interni

liberi

estremi

del

bordo

punti

y alla

diventa

ma

piu'seccante tangente

scivincolosccanteallalincadilivellopossomuovermienaggiungereunlivellodiobiettivotattoilmaxiotrovoquandonone

di

linea livello Dopodiquestoinfattiscendodilivellofaccadeximinimo

IIII

of itìèastaanalisinondapplicaaipuntifeg

guappi

ellgiantituaanuliarsi

il b

guy

Riscrivo maximinflay una

usando obiettivo

modificata

funzione

sogg

FRI Atgay

d 6

Lay

funzione

Lagrangiana tf

ftp. cy

fy

Lo

As do gCxiy

dgy o b

Tg 0

63

di

TEOREMA LAGRANGE vincolato

neccxunproblemadiottimo

condizione

B

f il

sia Reconsideniamo problema

b

sub

max flag

min

che

supponiamo MAIR

fag siano

differenziabili

P siaun interno

punto

ad .guiatalecheoglp.to

Asia del

problemavincolato

unptodiatimo

data

allora

LA A FG 6

ATSUGI

I I

onvalone 0 13105

IR

CALCOLOINTEGRALE in

per

funzioni

I.it artista b

torti

a

taffettà IIIIroptocomuativo

cietti ti

2

Prendoarbitrariamente 1 approssimatotnamiteimoitinerando

EICti ti sl.fccil.sn

nondipendesolodan

RintegrabileofselmàB converge comehofattoportizione

da

moto indipendentemente ho ci

scelto

come

sconfffltislandyda

ho

CALCOLOINTEGRAI apossofaneiroione

del

I'teorema

FONDAMENTALE

IR che

tale

0,6

Staf ha tifa

Tab G G

7

f Htelaib

su

una

primitiva

fà Rintegrabilesutaib

Allora 64

google.it 616

IN

AERE flat

Efa

x y

Ata xe d

6 c'unnettangolo a

g