Teoria dei corpi continui deformabili

Indernizione e vettori

L'indernizione riguarda l'applicazione di trasformazioni ai vettori. Tenendo presente la componente di base, è fondamentale scegliere correttamente il vettore da proiettare. Ad esempio, per il vettore X, la proiezione avviene con una scelta ponderata delle componenti F_ij, F_ai. Scegliendo tra i F_ai e i componenti di X, si applica una matrice di trasformazione adeguata.

Esempio pratico

Consideriamo la matrice rappresentativa F per una base canonica. La differenziazione di questa matrice, quando è applicabile, permette di calcolare il trasporto rigido e le trasformazioni ortogonali, mantenendo invariata la distanza tra i punti. Questo avviene utilizzando la derivata lineare e il gradiente.

Trasporto rigido e tensori

Nel caso del trasporto rigido, si verifica che la matrice differenziale rappresenta un'operazione che mantiene invariate le distanze. Pertanto, la trasformazione è detta ortogonale. Un esempio di questo è il tensore ortogonale, che, dopo il trasporto, mantiene l'angolo inalterato rispetto alla rotazione e riflessione.

Condizioni per il tensore ortogonale

Un tensore ortogonale deve avere un determinante specifico, che esclude una riflessione se il determinante è negativo. Se il tensore non rispetta questa condizione, non rappresenta un trasporto rigido valido. Questo è fondamentale quando si parla di unione di rotazioni e riflessioni.

Esercizio di pratica

Un esercizio tipico consiste nel calcolare il determinante del tensore per confermare la sua validità come matrice di trasporto rigido. I calcoli devono tenere conto delle componenti della matrice per determinare se mantiene le proprietà ortogonali richieste.