Teoria dei biopolimeri

Osservazioni qualitative. Il mt nei vari istanti è dritto e sempre

uguale. L act invece è meno dritta e assume forme molto diverse.

Qunidi mt ha kf e ep maggiori.

Analizzare le immagini in modo quantitativo è andare a vedere

tetha(s) fissato un certo t (poi probabilmente faccio la media nel t),

ovvero andare a scomporre il filamneto in un immagine in tanti

segmentini su cui prendo il punto medio, calcolo i tetha sui punti medi e

ottengo un grafico tetha(s) vs s di punti discreti. La curva tetha(s)

viene scomposta in armoniche, in questo caso coseni a f crescente,

sommatoria di 5 armoniche.

Risultato sperimentale per i mt. Valori della rigidezza flessionale sulle

y, inteso come valori medi con le rispettive deviazioni standard su +mt di

stessa lunghezza, sulle x la lunghezza dei mt usati, i numerini sotto si

riferiscono alle armoniche considerate per le analisi (1,2,3). La rigidezza

flessionale risulta indipendente dalla lunghezza del mt, perché è

una caratteristica intrinseca del mt cioè del tipo di biopolimero.

:

La rigidezza flessionale è inversamente proporzionale a tetha. Da

dove arriva ciò.

La sommatoria di coseni è dovuta solo a semplicità di calcolo, ma

anche con i seni andava bene.

L energia di bending o di deformazione U è una sommatoria dei

valori quadratici dell ampiezza delle armoniche, depurate di an_0

che rappresenta l ampiezza dell armonica del biopolimero a 0 K

cioè se avesse delle curvature intrinseche.

Il teorema di equipartizione dell energia dice che ciascun termine

della sommatoria vale mediamente ½*kb*T. Quindi la varianza

degli an è legata attraverso una proporzionalità indiretta alla

rigidezza flessionale.

Dalla rigidezza flessionale kf, ottenuta con l analisi di immagine e il

tetha(s), calcolo la lunghezza persistente ep e poi Y e k.

L act ha una kf 3 ordini di grandezza inferiore alla kf mt, l act ha una

epsilon di micron e il mt di mm.

Per non stimare i raggi (R), dato che gli errori sui raggi sono elevati

alla quarta e quindi anche se piccoli si amplificanog sul phi, si può

usare un'altra relazione per phi: utilizza la massa per unità di lunghezza

qunidi una densità lineare di massa (lambda_p), che è data dalla

densità volumica di massa della proteine (rho_m)*l area della

sezione, con rho_m simile a quella dell acqua=1000kg/m , da cui ricavo

3

R.

Ho un andamento lineare (su scala logaritmica) tra ep e lp, quindi al

crescere della densità della proteina ho una ep maggiore e quindi una

rigidezza maggiore.

I mt hanno una ep di mm vs L in micron qunidi rigido-asta, l act ep

di micron vs L di micron quindi quasi-flessibile, il dna ep di nm vs

L di cm quindi flessibile-fune. La spectrina non è perfettamente

interpolata, ha una lungh persist leggermente +bassa. E’ quella +

aggomitolato, all estremo opposto rispetto ai mt.

Esperimento per stimare direttamente rigidezza flessionale e

momento secondo d inerzia. Esperimento di bending con afm.

Mt sospeso su una cavità, su un vuoto. Si sfrutta la punta

nanometrica per indentare su un punto nel mezzo, vincolando i

due estremi. Esperimento di bending a tre punti.

Considero il mt come una trave, asta rigida.

Lunghezza L del mt è intesa come lunghezza della parte sospesa.

Come substrato si usano dei mat con dei fori fatti da laser, con

dimensioni da 80 a 200 nm di diametro perché non sono perfettamente

omogenei. Bisogna rendere la superficie adesiva se no gli estremi non

si vincolano, di solito trattando la sup con glutaraldeide. Io poi il test lo

vado a fare sui fori con dimensione giusta cioè 200 micron. Come faccio

a sapere dove sono i fori? Faccio una scansione con l afm. Poi

posiziono i fori sotto il mt.

Come faccio? Polimerizzazione del mt in vitro, con tub alpha e beta +

mg + gtp. Primo creo i mt e poi adatto il substrato con le cavità a dove si

trovano i mt opp prima il substrato e poi i mt?

Applico una forza con la punta e registro la risposta cioè la

deformazione di flessione del mt che corrisponde alla deflessione del

cantilever.ù

La flessione del mt è collegata alla compliance del mt (Eb), all

aumentare di Eb aumenta la resistenza. 1/Eb è la deflessione del

cantilever, che misuro. 10/3 è un fattore di forma. Y e G sono le

incognite. Quindi ho una coppia di dati (lunghezza sospesa,

compliance) per ogni esperimento. Se interpolo le coppie di punti con

una retta ottengo la relazione scritta sotto, quindi la pendenza m della

retta dipende da G e l intercetta c dipende da Y, quindi posso

determinare G e Y.

I filamenti non sono perfettamente diritti ma sono irregolari, qunidi si fa

fatica a studiarli con la meccanica dei sistemi articolati cioè col modello

di asta, quindi devo fare una caratterizzazione diversa +specifica.

Resistenza a trazione: worm-like chain model. Con l afm.

Compressione: in generale mostrano una bassa resistenza se

singoli, migliore quando si organizzano in fasci. Cedono al carico di

punta.

Flessione: rigidezza flessionale kf. Per sollecitazione di bending

dovuto all energia termica.

Taglio. Il modulo a taglio dall esperimento di bending oppure con

viscosimetro, esperimento complesso.

Anche quello a torsione è complesso, si fanno soprattutto per dna per

vedere come si separano le eliche.

L analisi si concentra principalmente su trazione, compressione e

flessione, poco su taglio e torsione.

Compressione:

Filamenti inadatti, perché il rapporto tra sezione resistente e

lunghezza molto bassa. Cedono sempre a carico di punta.

Infatti si trovano in fasci o a rete, aumenta la sezione resistente e

quindi la resistenza, filamenti tenuti insieme da proteine linker.

Il filmaneto + resistente da solo è il mt perché ha sezione

maggiore.

Resistenza a flessione:

Massima nel mt, negli altri è bassa.

Dipende da:

Sezione resistente: dimensione e forma della sezione del biopolimero;

immaginando mt e act come sezioni circolari vediamo che phi(mt) è circa

100 volte phi(act) qunidi resistenza maggiore.

Ovvero Y.

Per piegare di un certo deltatheta il filamento, serve un energia bassa se

parto da dritto e un energia sempre maggiore con l aumentare dell

angolo raggiunto

La forma del biopolimero dipende dall amb est, dall energia termica, che

lo fa oscillare. I filamenti rigidi si modificano poco, quelli flessibili tanto.

Ho un mt di 10 micron, immerso in soluz a T amb, ha poche oscillaz, con

un angolo di 6°. Una spectrina di 10 micron, allora un gomitolo.

Se applico una forza di stretching sulla molecola lei applica una forza

di richiamo uguale e contraria dovuta all elasticità entropica. Quindi

per abbassare l entropia devo usare una forza perché non sarebbe un

processo spontaneo.

Ho quattro segmenti e due estremità. I segmenti sono collegati da

cerniere, che permettono delle rotazioni relative. La dist è la distanza

tra i due estremi.

L entropia del sistema è il logaritmo naturale del numero di

configurazioni possibili che può assumere in tot.

In presenza di una forza esterna che riduce l entropia, che per es

impedisce la distanza 0, allora devo togliere quelle configurazioni

impedite dal conto. Senza forze esterne: ln(16) = 2.8 In presenza di una

F esterna che impedisce le configurazioni a distanza 0: ln(10) = 2.3

Ho un filamento. Fisso un sistema di riferimento 2d. Quindi ogni punto del

filamento è caratterizzato da un vettore posizione r, un vettore normale n

che punta verso il centro di curvatura e un vettore tangente t. s è l

ascissa curvilinea, compresa tra 0 e la lunghezza tot del filam cioè L.

Se considero due punti sul filamento, a distanza infinitesima pari a ds, l

angolo tra gli n è uguale a quello tra i t e pari a dtheta.

Dim. 3. : Per deltas piccolo quindi infiniteesimale, posso approssimare il

tratto di circonferenza tra due punti come rettilineo.

In s, r e n sono inclinati di tetha. Quindi t(s) è inclinato rispetto all

orizzontale di pi/2 – tetha (in modulo, perché nel disegno sarebbe

negativo), quindi le sue componenti x e y sono date da cos e sen di quell

angolo, per avere un modulo 1 (versore).

C(s) è la curvatura.

Il raggio di curvatura è l inverso della curvatura.

Dim. 5. : Mi metto in un tratto abbastanza piccolo da approssimarlo a una

circonferenza.

Deltatheta è l angolo compreso tra i due t, qunidi se li disegno con l

origine comune, vedo che l angolo che li separa è deltatheta, quindi lo

posso ricavare con la formula dell arco di circ/raggio, dove l arco lo

approssimo a segmento e quindi a deltat in modulo, e il raggio è il

modulo degli t che è 1.

I versori tangenti sono impo perché danno l orientamento. La differenza

dà info sulla curvatura. L angolo sotteso è impo.

A una certa configurazione della deformazione è associata una certa

energia di def, qunidi l energia associata a quella forma.

Parto dal polim dritto a 0 K. L energia è quella che serve per curvare il

filamento fino a una certa forma. Momento flettente che dà una

curvatura.

E_punto è la densità di energia per unità di lunghezza.

Dim:

Questa relazione vale in generale, non solo quando ho una forza

applicata ma anche in caso di agitazione termica. L energia di

deformazione:

La lungh persist è la distanza curvilinea dal punto iniziale in cui il

successivo tratto può avere un orientamento qualunque nello spazio,

quindi non c è più correlazione tra i versori tangenti in questi due punti, l

orientamento di t(s) non dipende è scorrelato da t(0), cioè quando sono

perpendicolari cioè quando il loro prodotto scalare è 0, cioè quando ho

percorso ¼ di circonferenza.

L approssimazione di tetha piccolo, quando tetha è di circa 90°, è un po

così ma si fa così.

Il valore quadratico medio della differenza dei vers tang è una stima della

varianza di tetha quadro, qunidi l entità delle oscillazioni, un valore alto

indica alte fluttuazioni. La radice quad di questo dà l entità di queste

fluttuazioni.

Dim:

L energia associata a un tratto pari alla lunghezza persistente è 1kbT. La

relazione contiene 1.234 che è diverso da 1 qunidi sovrastima un po la

lungh pers. Di solito si usa la 2.

Eventi che richiedono alta energia hanno bassa probabilità di avvenire.

Integro per parti. Uso de l hopital per capire il limite (ma secondo me

basta la gerarchia degli infiniti).

r0 è la distanza lineare tra due punti, L è la distanza curvilinea tra due

punti. Per filamenti corti/rigidi, r0 è paragonabile ad L perché sono dritti.

Per filamenti