Teoria completa di Meccanica aerospaziale

DEF. CORPO RIGIDO

Per qualsiasi punto:

AB² = (B-A)(B-A)

AB = costante nel tempo ∀AB,

questa è condizione fondamentale, da qui derivano altre proprietà:

B' = cost nel tempo

AB² = AB² + AC² - 2ABACcosΘ _{FORMULA DI CARNOT}

cosΘ = \(\frac{BC² - AB² - AC²}{-2ABAC}\) { }cost

la velocità sull'interasse è uguale in tutti i punti

\(\overline{V}_A = \frac{(B-A)}{AB} = \overline{V}_B = \frac{(B-A)}{AB}\)

_VERSORE

\(\frac{d}{dt}\)AB² = 0 ⟺ \(\frac{d}{dt}\)(B-A)(B-A) + (B-A)\(\frac{d}{dt}\)(B-A) = 0

2\(\frac{d}{dt}\)(B-A)(B-A) = 0

2(\(\overline{V}_B - \overline{V}_A\))(B-A) = 0

(\(\overline{V}_B\))(B-A) = (\(\overline{V}_A\))(B-A)

ATO DI MOTO RETTOTRASLATORIO C.R.

\(\overline{V}_B\) = \(\overline{V}_A + \overline{ω} \land (B-A)\)

Con \(\overline{ω}\) che può dipendere dal tempo ma non dai punti scelti

Dim per c.r. 2D:

(B-A) = (ABcosΘ, ABsinΘ)

derivo:

\(\overline{V}_B - \overline{V}_A\) = ( -\(\dot{\overline{Θ}}ABsinΘ, \dot{\overline{Θ}}ABcosΘ\))

scelgo \(\overline{ω}\) = \(\overline{k}\), se faccio \(\overline{ω}\land(B-A)\) ottengo la stessa espressione di \(\overline{V}_B - \overline{V}_A\):

\(\overline{ω} \land (B-A) = \dot{\overline{k}} \land (ABcosΘ\overline{i} + ABsinΘ\overline{j})\)

= \(\dot{\overline{Θ}}ABcosΘ\overline{j} - \dot{\overline{Θ}}ABsinΘ\overline{i}\)

Dim che \(\overline{ω}\) è uguale per tutti i punti:

Prendiamo quindi in considerazione altri due punti C e D:

analizzo AHC:

B + α - Θ + φ = π

derivo:

\(\dot{B} + \dot{α} - \dot{Θ} + \dot{φ} = 0\)

β e α sono cost. per def. di C.R. quindi: \(\dot{β} = \dot{α} = 0\)

\(\dot{Θ} = \dot{φ}\)

Teorema di Eulero

Un corpo rigido piano che non trasla ruota (non fermo).

Si suppone B fermo vogliamo mostrare che ZC f.e. VE0

(c−a) = ω_ZA × arc

ωZA = (AB×AC)

ω_AB ACT (ωC−_Z×AB)

ωZA = 1/2

ωZA = ωZAC

(c−a) = ωZAB ([c−a])

(C−A) = ωA [ω(A−C)]₁ /ωZA

Teorema di Chasles

Ostacolazione (per individuare P_CR)

Ip: VA non //_IB Note (V¬A.vsIB)

VA Per C AB −C

ω · [C −A] → se C è c_AC ωZA VA

(VA ≡ ωZA° perché u è perpend. al foglio) (V)

Il punto C per essere ω·VA deve essere SUL aangeven in VA

Vincoli

V_B = V_A + V_BA

• 3 coordinate libere
• 3 gradi di libertà

Vincolo oggetto che limita le possibilita di movimento di un sistema

• fi(P₁, …, P_N, V₁, …, V_N, t) = 0
• F(V_R, P₁, V₁, …, f_i, tn)il = 0

Legge Intera: Ogni vin био gradi di libertà

Vincolo Unilatero/Bilatero

f_i(P₁, …, P_N, V₁, …, V_N, t) ≥ 0

Vincoli Fissi/Mobili

f_i(P_I, …, P_N, V₁, …, V_N, t) = 0

f_j(Fi, Fii, Vi, …, Va, Vn, Xaw, T)

Teorema dell'energia cinetica in forma integrale

ΔT = L_c: lavoro delle forzevariazione di energia cinetica

L = ⨀Fdp

L = ∫_a^b Fdp ?>

∫_a^b dv

T(b) - T(a) = ΔT

Sistema soggetto a forze posizionali conservative

FORZE CONSERVATIVE ⟺ F = grad U

POSIZIONALI ⟹ F(x, y, z) =

U(b) - U(a) = ΔU

ΔT = L - ΔU

T(b) - T(a) = U(b) - U(a)

E = T - U

energia meccanica E = cost.

Teor di König

T = Σ m_iV_i² = Σ m_iV_i•V_a

┣ =

Tk con energia cinetica

Q_X = Y_X eq. di Lagrange k = 1,..., n = g.d.l. T: en. cinetica

Y_k = Σ_i m_i a_i • ∂q_i / ∂q̇_k = d ( ∂T / ∂q_i ) - d ( d/dt ( ∂T / ∂q̇_i ) )

Dim.: Y_j = Σ_i m_i ( dv_i / dt • ∂q_i / ∂q̇_k ) = Σ_j m_i v_i • ( ∂q_i / ∂q_k )

= d/dt ∂q_i / ∂q_k ( m_i • v₂ / m_i • v_i ) = Σ_i m_i v_i • ∂q_i / ∂q_k

= d/dt ( ∂q_i / ∂q̇_k ) + d/dt ( Σ_i m_i v_i - m_i v̇_i • ∂q_i / ∂q̇_j ) • ∂q_i / ∂q_j

forse Σ_i m_i v_i • ∂q_j / ∂q_j • + Σ_i m_j v_i • ∂q_j / ∂q̇_k

∂v_i / ∂q̇ = a_k - ∂q_i / ∂q̇_j

Σ m_i v_i • d / ∂q_k ##### = Σ m_i v_i - Σ m_i v̇_i • ∂q_i / ∂q̇_k

= d/dt ( m_i v_i ) = 2 m_i v_true = Σ| m_i v_i | ( Σm_i v̇_i ) • ∂q_i / ∂q̇_k

Σ: Σ m_i v_i • ∂q• ∂q_i / ∂q

Σ m_i • v₂ / 2 • d ( ∂q_i / ∂q̇_k )

Σ m_i v_i • d / ∂q_i / ∂q̇_k

------------ Σ m_i v_i • ∂q->

Σ m_i v_i d ∂q_i / ∂q̇_k

------------ Σ m_i v_i • m_i v_i 1/2 Σ • ∂q_i / ∂q

Σ m_i v_i • d / 1/2 Σ int Σ m_i v_i ²

Corpo vincolato a terra con cerniera sferica in O. soggetto a forze attive di momento nullo rispetto a O.

1. Q é costante?

   dQ/dt = R¯ext → M_A = M_O + R¯ (A - O) → per Hp R_A(A-O) • M

   se R¯ ≠ 0 ➔ dQ/dt ≠ 0

2. Il momento delle quantità di moto I_O é costante?

   dE¯_O / dt + V_O ∧ Q = M_O per hp: V_O = M_O

   dL¯ / dt = 0 → I_O é cost

3. L’en. cinetica T é costante?

   dT/dt = Π ➔ Π = R¯ • V_O = 0

   dT/dt = 0 → T é cost

4. ω é costante? NO

   T = ¹/₂ I_p ω² oppure