Teoria Analisi matematica 1

Appunti di teoria, con gli argomenti svolti a lezione per potersi preparare all’esame di Analisi matematica 1. Argomenti trattati: integrali, derivate, funzioni, teoremi, lemmi, definizioni, serie numeriche.

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Gianazza Ugo

Università Università degli Studi di Pavia

Publisher mattiaaffer2001

A.A. 2024-2025

55 pagine

Appunti esame

Vota

Scarica

Estratto del documento

X

Rappresentazione algebrica

iba (n(z)

Re(z)b

z +

= =

= m =

171 -

------- In(t)

In(t) +

Re(t)

ibzz

z1 i)

(

+ +

a =

= (a i(b d)

SOMMA: z1 zz + +

+ +

= (a

DIFFERENZA: i(b d)

z1 zz +

- = -

- ((

(a i(a)

ib) id) i3bt

ib) b)

PRODOTTO: z1 zz in

+ +

de + ac

+ +

+ . = =

. -

(d ib b

ib)(a b21

ib) a

COMPLESSO CONIUGATO i

E

z + +

= = -

. - -

1z) 2

= 6

(z) 02 +

= 1z1

z = ibzz

QUOZIENTE: z1 id

C

a +

= = otbtilb-el ib

lib e-itib-ibd retb e

= +

. = = da

! 22 2

22 -i 22 + +

Esercizi: ;

1 Ze

izz ;

2i 71 z

z1 1 +

+ = -

= - .

i))1

( (i)

z1 1 i

· + - =

- -

= 2i)

i)(1

( 2i

1 1

1 2i Si

z1 zc + +i

· +

= =

- - - =

. ( 2i)

i)(1 3i

ze 1

zz +

· -

- -

= =

zi zi(1 7)5

1) (1 +

- -

LEZIONE 3

EX1

2 Aiz-(Inz)"

(z)

In =

- z y2

I x -

z iY

iY 2ixY

X +

X + =

= =

X y2

y2 iY)

ti(x

2ix) i2xy +

- -

x Aix 14

fixy = -

x x)

ti(xy

+ +

= S x

S x +4

Ay 0 0

+ +

= =

=> 1)

x(y 0

+ +

x 0

xy =

= S Gz

y + =

Oppure 73

2 i

= ;

i -

x 0

+ =

Se 0

z1 =

y = 0

EX2

(e = 5i)

9)(z 1zp 1 0

+ + =

- =

x -

z y 2ixy(z

( 2ix-

x x y

42 2ixy 5i 0

1 +

+ =

- -

24 5)

i(2xy

+ +

- = -

S 0

S

24 Z

115

y =

1 0

+ =

- = 7

= x(11)

2xy 5 5

+ + =

= =

RAPPRESENTAZIONE TRIGONOMETRICA

An a)

(z) b(z

a z ,

Indichiamo con Z la lettera greca 920

IZ1

O D

Chiamiamo l’angolo che deo percorrere in senso antiorario per portare l’asse orientato delle X sulla

distanza orientata & È detto argomento

An z iY

X +

= g(cp isn0)

a (x y) geopz +

= =

S , Iz

organo

genn =9

D

O D

Di un numero complesso costruisco la rappresentazione trigonometrica una volta che conosco 0

9 .

Supponiamo di avere 2 numeri complessi z1 e z2, li scriviamo in forma trigonometrica:

g((00 isv0]

z1 +

= 6(cy isp)

zz +

= 6 (208 g6(c(0 y))

isn0] [cay isny) is(0

ziz + + +

g +

= .

(z1 (2) Prodotto dei moduli

= =

. . y)

AmG(z1 zz) Somma degli argomenti

+ =

LEZIONE 4

Consideriamo i seguenti numeri complessi ijz

7 Bi;z7

73 , 1

zc 3i

zn ; 2 1

3i 2

2 + i

= -

= = = -

- -

= -

Scrivere in forma trigonometrica:

Z1 Ya 28 0

g =

= isr0)

2(cos0

ze +

Zz Y π

f =

= 2(π isuπ]

zz +

= -

x -2 1

Z3 3

Y 8 =

g =

- 3(i

Es =

a X

⑳

Za C 3 0 3π

f =

T -

· 2

-i

(

-3 ca

Si =

Y

Z5 = 0 =

+ i

Zo 2

S =

- -

i a

2(o

Es i

O =

Z7 E8 =? -I

TAND

g =

--------

! O 55((8 is0]

· z7 +

EX:

Calcolare modulo e argomento del seguente numero complesso

(1 Bi)

i))

z 1 +

= isn)

(

1 +

- isi

2((

1 + +

- = i]

+ 2E/

28((( i

z + +

= =

Ex:

Calcoliamo il quoziente di 2 numeri complessi in forma trigonometrica

glemptising] stesytisny]

z zz =

= (colo-y) islo-l

= +

POTENZA DI ORDINE n N DI UN NUMERO COMPLESSO

& zu

Voglio calcolare

NEIN

Ze , iso] Sno]

glesp (cp

z g

z in

+ = +

= . .

Cosa accade se Ne vo

z=gleast isno]

Zen +

z ((

j((( =

50)) 50))

50) is( 50) ism(

+ +

LEZIONE 5

RADICI C

I g((0 isn0]

Fissato

Ze z +

Fissato

NEW

E (((0 is(0 ))k

= 2kπ) 2k + 0

....,

+ 1

+ N

+ = -

TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ALGEBRA

Ogni polinomio di grado n (con n >= 1) a coeﬃcienti complessi ha esattamente n radici nel campo

dei numeri complessi, ovvero ogni equazione polinomiale non costante ammette almeno una

soluzione nel campo complesso

EX1 0z

biz

* C

z w

W" 6iW 9 0

we (3i) &

3iw

2 =

- -

3i)"

(W &

- Bi

z 3iz =

= =

( ) i) =

Zo +

ir] =(il

Ze +

EX2:

z = i)

=(1

28(1 i)

22i 1 i - -

- =

1 i 1 2

+ i

- =

g = 2e

=(1

22i i)

+ =

1 i

= 1

F .,

k 0

= .

Weis

Wo = e

We = e

E

Wa .

= e

=E

LEZIONE 6

L’insieme R è definito dalle seguenti proprietà:

Primo gruppo di proprietà: caratterizzazione della somma RXIR

f : -R

1(x (4

ze(x y) z)

+ +

y =

FoeR VER

2 x

T X

+ o +

c x

= =

. A

VxeRJye

3 2

y 0

T x +x

c = =

f(x yex y y

+ x

Secondo gruppo di proprietà: caratterizzazione del prodotto

x(y

1(x z)

z eR(x y(z

y = .

Fe Ve

2 T

170 1 1

C x x x

= =

3 XFOJyeRT

xe y 1

c x

. =

, .

AXx yeRx y

y x

. .

Terzo gruppo di proprietà

1(x zzR(x y)z z

+ xz +

y = .

, ,

Quarto gruppo di proprietà (ordinamento)

1(x xx Oppure XXX

2(x yeRx YEy1x

= y

= =

, z8Rx

38x z

Y z

= x

y = =

= =

, ,

yeRoxyoxax

A Vx ,

Quinto gruppo di proprietà (ordinamento)

zex

1(x z4

+ z

= x

, , ze

28x Ezx

Y

, ,

Def: Reali positivi

X > Reali negativi

X Reali non negativi

Xy Reali non positivi

= &

X

Proprietà legata all’ordinamento

1x(45Ex248x + 4

2k x

0x30se

+ x

xeR XF0 O

, ,

Vx -IR Indichiamo con lxl la seguente quantità:

Def:

((x x20

XSEXO

Definizione di Maggiorante e Minorante

Dato A R e c R, diciamo che c è un maggiorante per A se A risulta x<=c. Analogamente,

Exe

& E

diciamo che c è un minorante di A, se A risulta x>=c.

Definizione di massimo e minimo

Dato A R, si chiama massimo di A un maggiorante di A che appartiene ad A. Analogamente, si

chiama minimo di A un minorante di A che appartiene ad A

Proposizione

Se esistono, il massimo e il minimo di A sono unici.

Sp 53

A Q 11

= :

5 è un maggiorante, appartiene ad A. Quindi 5 = Max A

1 è un minorante, appartiene ad A. Quindi 1 = min A

Definizione di superiormente e inferiormente limitato 7

Dato A R, diciamo che A è superiormente limitato se ha almeno un maggiorante, ossia se c R

& e

t.c. x<=c x A. Analogamente diremo che è inferiormente limitato se ha almeno un minorante,

V F

ossia se c R t.c. x>=c x A.

T

Infine diciamo che a R è limitato se è contemporaneamente inferiormente limitato e superiormente

limitato. Je ExeAx

Sup. limitato: T C .

. JxeA

Non sup. limitato: d

T c

. .

Proposizione: A R è limitato sse M>0 t.c. x A risulta lxl <= M

E

Definizione:

Dato A R, superiormente limitato, diciamo estremo superiore di A il più piccolo dei maggioranti di

A. Analogamente, dato A R inferiormente limitato, diciamo estremo inferiore di A il più piccolo dei

E

minoranti di A.

LEZIONE 7

Osservazione:

Se A R non è superiormente limitato, diciamo che SupA = + ;analogamente se A R non è in

E E

inferiormente limitato, diciamo che infA = - &

Proposizione: sia A R:

1) se A ha massimo, allora ha anche sup e maxA = supA

2) se A ha minimo, allora ha anche inf e infA = min A

3) se A ha estremo superiore, allora ha massimo sse supA A

F

4) se A ha estremo inferiore, allora ha minimo sse infA A

E

Assioma di continuità

Ogni sottoinsieme A R non vuoto e superiormente limitato ha estremo superiore in R. Ogni

E

sottoinsieme A R non vuoto e inferiormente limitato ha estremo inferiore in R.

Teorema: l’insieme dei numeri reali è unico

Osservazione: questo vuol dire che ogni altro campo ordinato completo si può mettere in

corrispondenza biunivoca con R, di fatto, cioè, coincide con R

LEZIONE 8

Proprietà: N è il piccolo sottoinsieme induttivo di R (naturalmente esistono insiemi molto più grandi).

Principio di induzione

Sia p(n) con n N una famiglia di proposizioni, che dipendono appunto dall’indice n se:

1) p(0) è vera (cioè, se è vera la proposizione che corrisponde al valore n=0)

2) n da p(n) vera segue p(n+1) vera allora, n p(n) è vera

V

F

Osservazione: l’aﬀermazione 2 non dice che p(n) è vera; dice solo che se p(n) è vera, allora è vera

anche p(n+1)

Proposizione:

Dato l’insieme N R, è contraddistinto da queste proprietà:

E

1) se n

Anteprima

Vedrai una selezione di 12 pagine su 55