Teoria Analisi 1 (Limiti e derivate) [3/5]

Teorema di Weierstrass

Ipotesi: \( f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \), \( f \in C^0([a,b]) \)

Tesi: \( f \) ha max e min \(\Rightarrow \exists \, m, M \in f([a,b]) \)

Th. Valori Intermedi + Th. Weierstrass

Ipotesi: \( f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \), \( f \) di classe \( C^0([a,b]) \)

Tesi: \( f([a,b]) = [m,M] \) con \( m = \min \, f([a,b]) \), \( M = \max \, f([a,b]) \)

Funzioni Elementari

• Affine: \( f(x) = ax + b \)
• Lineare: \( f(x) = ax \)
• Potenza: \( f(x) = x^m \), \( m > 1 \), \( m \in \mathbb{N} \)
• Esponenziale: \( f(x) = a^x \), \( a > 0 \), \( a \neq 1 \)
• Logaritmiche: \( f(x) = \log_a{x} \), \( a > 0 \), \( a \neq 1 \)

\( f(x) = a^x \)

dom \( \mathbb{R} \)

\( f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}^*_+ \)

dom \( x > 0 \)

\( f(x) = \mathbb{R} \)

- Trigonometria che

P (cos α, sin α)

C: y² + x² = 1

C_e(0,0), r_e = 1

- prime relazioni fondamentali

cos² α + sin² α = 1 ⇄ x² + y² = 1 ∀ y ∈ C

- seconda relazione fondamentale

tg α = ^{sin α}/_{cos α}

- Trigo inverse

Teorema del doppio confronto

f : A → ℝ

g : A → ℝ

x₀ ∈ D(A)

h : A → ℝ

∀ x ∈ U ∩ (A \\ {x₀})

lim_x→x0 f(x) ≤ lim_x→x0 h(x) ∈ ℝ

⇒ ∃ lim_x→x0 g(x) = lim_x→x0 f(x) = lim_x→x0 h(x) = ℓ

Dimostrazione

∀ ε > 0 ∃ U ⊆ D(x₀) : ∀ x ∈ U ∩ (A \\ {x₀}) : |f(x) - ℓ| < ε

∃ U_f ⊆ D(x₀) : ∀ x ∈ U_f ∩ (A \\ {x₀}) : |f(x) - ℓ| < ε

→ ℓ - ε < f(x) < ℓ + ε ∧ ℓ - ε < h(x) < ℓ + ε →

→ ℓ - ε < g(x) < ℓ + ε ⇒ |g(x) - ℓ| < ε

• Osservazione sull'assunto nelle f. asintotiche

1. f(x) = f(-x) => pari

y = -mx + q

lim f(x) x -> +∞ f(-x)

lim f(x) y -> ∞ y

-m =

lim f(x +) lim f(x) - mx + y= 0

x -> x₀ y->∞

2. f(-x) = -f(x) => f dispari

y = mx - q

lim f(x) +∞ q

lim f(x) y->+∞ x

-m =

lim f(x) + mx lim -(f(x) - mx) = -q

x -> +∞

• Simbolo di Landau

f: I-> R x ∈ D(f) 3 lim f(x) = o x ->+∞

⇒ f(x) = o(1) lim f(t) x ->x₀ 1

= o x -> F*

g: A -> R x ∈ D(f) g(t) lim A(x) lim x g(x) = 0 g(t) g(t)

= 0

Se lim = a x -> +∞ f(t)= 0

A(x) = o(g(x))

Se lim f(t) t -> ∞ g(t)

Se lim f(t) t -> ∞ ℓϵ ℝ

= 0 (g(t)) g(t) f(t) ≠∞◯(g(t))

g(t) o (f(x))

• f_i(x₀) = f₁(x₀) → ∃ f₁'(x₀)

In maniera analoga si

lim_h→0 f(x₀+h) - f(x₀) / h = f'(x₀) ∈ R

lim_h→∞ f(t₀+1/h) - f(t₀) / 1/h = f'(t₀) ∈ R

...

Plurale approssimazione lineare in un punto

• f: I → R I intervallo x₀ ∈ I

∃ α₀ ∈ R f(x₀ +h) = f(x₀) + α₀h + o(h) =

(f(x₀ + h) - f(x₀) - α₀h = o(h))

lim_h→0 f(x₀ +h) - f(x₀) + α₀h / h = 0

f derivabile in x ↔ f che maggior approssimare in x₀

• f: I → R, x₀ ∈ I

f derivabile in x ↔ f che miglior avvicin limite α₀ = f'(x)

...

Dimostrazione ↔

lim_h→0 f(x₀ +h) - f(x₀) - α₀h / h = lim_h→0 f(x₀ -h) - f(x₀) - α₀h / h = f(x₀) - α₀ = 0 → f'(x₀) = α₀