Appunti Teoria Analisi matematica 1

CAPITOLO 1

Teoria degli insiemi

• INSIEME = COLLEZIONE D'OGGETTI (ELEMENTI)
• ∅ = INSIEME VUOTO
• A ⊂ B = SOTTOINSIEME di B se ogni elemento di A è anche elemento di B A ⊂ B
• A sottoinsieme sia B, se a non coincide con B A ⊂ E PROPRIO
• ASSONIA DI ESTENSIONALITÀ: A ⊂ B ∧ B ⊂ A ⇒ A = B
• ∅ ⊂ A   e   A ⊂ A   SEMPRE

Nuovi insiemi:

• INSIEME DELLE PARTI DI A
• UNIONE
• INTERSEZIONE
• PRINCIPIO DI SPECIFICAZIONE
• DIFFERENZA
• COPPIA ORDINATA

Funzioni

Legge che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B

• f : A → B   A = DOMINIO
• a → f(α)

IMMAGINE

Se f : A → B una funzione tra A e B è se C ⊂ A, Diciamo immagine di C secondo f e l'indimeno con f(C) è l'insieme

• f(C) := {b ∈ B : ∃ c ∈ C ; f(C) = b}
• e il sottinsieme di B generato da tutti gli elementi di f(C) al valore di c in C, cioè l'insieme di tutte le immagini deglielementi di C secondo le leggi f.

PREIMMAGINE Sia : → una funzione tra e , e sia ⊆ . Diremo preimmagine di secondo il insieme: ^-1() := { ∈ : () ∈ }

formato dagli elementi del dominio che vengono trasformati in elementi di .

INVERTIBILE Sia : → una funzione tra e . Diremo che è invertibile se per ogni ₁, ₂ ∈ si ha: (₁ = (₂)

AD ELEMENTI DISTINTI DI vengono associati elementi distinti di

INVERSA Sia : → un'applicazione tra e . Diremo inversa di una qualsiasi di applicato : () → associata ad ogni ∈ ( = ()^-1) unico elemento a tale che () =

SURIESTIVA Sia : → un'applicazione tra e . Diremo che è suriettiva se = (') = o Im()

SE OGNI ELEMENTO DI PROVIENE TRAMITE da un elemento di , cioè coincide con l'immagine di

BIETTIVA Sia : → una funzione tra e . Diremo che è BIETTIVA se è al contempo iniettiva e suriettiva

RESTRIZIONE Siano : → e ⊆ ⊆ . Allora la funzione

→ ⇀ ()

si dice restrizione di ad e si indica con |

COMPOSIZIONE Siano , , , quattro insiemi e siano : → e : → due funzioni tali che () ⊆ . Allora diremo composta di e la funzione () → definita tale che: o : → ⇀ (())

La composizione di e non è altro che la legge ottenuta concatenando le funzioni e .

certe tra loro. L'intersezione grafico si un solo pts estituzione vari,

g al variare di una funzione:

- grafico di f: f(E)→R ri ottiene pecando le

funzioni: riempire rimfrto alla retnire e x =

F. SOMMA

F. PRODOTTO

F. DIFFERENZA

fun. elementari

• POLINOMI ob grados ne nella marisnilit x
• FUNZIONI RAZIONALI FRATE
• POTENZE E RADICI
• F. MODULO
• F. ESPONENZIALE
• F. LOGARITMICA
• F. CIRCOLARI
• F. IPERBOLICHE

ESTREMI DI UNA FUNZIONE

Sislo E⊆IR e g:E→R uio frunzione

x₀ ∈ E ix un pto di minimo di g iv E se

∀x∈E g(x₀) ≤ g(x)

in tal sog g munitire inimum nx e il calore

connespondente è unici con unii f

x₀ ∈ E i xi un pto di massimo di g iv E se

∀x∈E g(x₀) ≥ g(x)

in tal cso g amuitte massimo Tu E il valore

corrispandente e multo can UUF

I PT DI MAX E MIN di fonc f vo s h dicuno PT DI ESTREMO dis f(x)

Sevo E ⊆ R un insiem lì i:E→R mio funt. e z₀∈E

1. x₀ pto di MINIMO LOCALE per g se escite Ǝxt.c.
2. ∀x ∈ ]x₀-, x₀+[ ∩E ⧍ f(x₀) ≤ f(x)

1. x₀ pto di MASSIMO LOCALE per g se escite Ǝx>0
2. ∀x ∈ ]x₀-, x₀+[ ∩E ⧍ f(x₀) ≥ f(x)

“ ^"xxxxo₁ ”

sono date dalla formula

^μ/_m^δ·2kπ/_m

w = √ρ e

k = 0, 1, ..., n-1

intorno geometrico. Sia ℛ² = {w_i, w_j} l’insieme delle radici m-esime di z ≠ 0. Moltiplico ciascun termine di z^2kπ/_m

w₁ = w₂ = w₁, w₁ = -w₂, w₁ = w₂ = -w₁

tutte le radici di n-esime si

ottengono a partire da w₁ ruotando

a partire da ↻

2kπ

_m

appartengono tutte alla

circonferenza centro origine e

raggio |γ| = √^π/₃ mai trascurati nei versi di

un poligono regolare di m lati

CAPITOLO 4

Funzioni continue e limiti

INTORNO: Siano x_o ∈ ℝ ⊆ ℝ ▵

• se x_o ∈ ℝ diciamo che U è intorno di x_o se esinte δ > 0 t.c. ]x_o - δ, x₊δ[⊆ U
• se x_o ∈ ω diciamo che U è intorno di x_o se esinte ↓> 0 t.c.|m↓,+∞[⊆⊆ U
• se x_o=±∞, diciamo che U è intorno di x_o se esinte M > 0 t.c.[-∞,M[⊆ U

Proprietà:

1. Per ogni intorno U di x_o ∈ ℝ, esiste intervallo t.c. I, intorno di X _o e U⊂I.
2. Es x₁,x₂ ∈ R con x₁≠x₂.
3. esistono altri loro U₁ di x₁ e un intorno V₂ di x₂ t.c. per ogni a ∈ U₁ e b ∈ U₂, no a=b. In particolare U₁ ∩ U₂ = _o⊆⊆ disgiunti
4. Se U₁, U₂ sono 2 intorni di x_o ∈ ℝ, allora anche U₁ ∩ U₂ è intorno di x_o

Forme indeterminate

operazioni tra limiti, che non sono definiti

0⁰ ∞⁰ 0∞ ∞/∞ 0/0⁰

CRITERI CONFRONTO LIMITI

Confronto I

Siano f,g ∈ ℝ, f,g ≥ ℝ e x₀ ∈ ℝ punto di accumulazione per ε. Supponiamo che f e g ammettano limite per x → x₀ < ε. le

• Se lim f(x) = l₁
• Allora si ha
• lim g(x)

Confronto II e di 2 costanti

Siano f,g ∈ ℝ, f,g ∈ ℝ e l ∈ ℝ

x_∞ e x₀ ∈ ℝ punto di accumulazione per ε. Supponiamo che per ogni x ∈ ε

• SE lim f(x) = lim g(x) = l ∈ ℝ
• allora anche g ammette limite per
• x → x₀ e in tal caso lim g(x) = l

REGOLA INFINITESIMO PER LIMITATO

Siano f,g ∈ ℝ, f,g : ε → ℝ e x₀

ε x₀ è un punto accumulato per ε. Supponiamo che lim g(x) = 0 e g sia limitato.

Allora

lim x^x₀ g(x)f(x) = 0

Se f e g stesso ordine ⇒ f(x) = f_g(x) + o(g(x)) con f∈ℝ, f≠0

e f_g è mR principale di f rispetto a g per x→x₀

Δ se f e g infinito stesso ord di g2 al e f2 di g2 li∈

λ^g(x)

SOTTO

SUCESSIONE INSIEME SOLO PER n→+∞ quindi si può estendere definizione di successione regolamente breve con discreto n{n∈ℕ: n>n₀} che ammettono almeno un punto primo campagne

SOTTOUCCESSIONE

→ compromettiamo fig il sueccessione dando (geniali)

→ se una successiva e convergenza

→ diverge allora tutte le sottosucc. diverge

→ pos prazo v nell’ultima e la sottosucc. potrà bisogna essere

I T. BOLZANO-WEIERSTRASS

Sia (a_n)_n∈ℕ una successione limitata. Allora sono ammette una sottosuccessione convergente.

geometria: significa che l’intervallo dei pti della successione e

contenuto in un intervallo compatto [a m₁ , b m₂ ]

• succ. monotona cresc. se ∀n∈ℕ a_n = a_n+1
• succ. monotona dec₂₀ re(x) m₁ = a_n

geometria: numerat S.C., se si incano di n i pti si potulano a destro

su altre rucolete

→ numerat decres. se si conoscia di m i pti si tastuoto a sinistro

→ su altre rosette

Si dice che la secc. di n_i reeli (a_n)_n∈ℕ:

1. CONVERGE se existe finita lim _n→∞ a_n
2. DIURGE POS. se lim a_n→+∞
3. DIURGE NEG. se lim a_n→-∞
4. OSCILLA se non existe lim a_n

n→∞⟳