Teoremi e dimostrazioni Analisi I

M M

+∞ + ∞

∫ ∫

( ) ( )

⇒

<+∞ <+∞

se f x dx g x dx ,

M M

+∞ +∞

∫ ∫

( ) ( )

⇒ =+∞

se f x dx=+∞ g x dx ,

M M

+∞ + ∞

∫ ∫

)dx =+∞⇒ (

se g( x f x) dx=+∞ ,

M M +∞

∫ | |

Criterio della convergenza assoluta: Se converge ,

( )

f x dx

14. c

+∞

∫ converge

( )

f x dx

c { }

( )=− ( )

−¿ x f x ,0 ≥ 0

Dim: Se , allora

{ }

( )=max ( )

+¿ x f x , 0 ≥0, e f ¿

f ¿

( )

−¿ x →

( )+

+ ¿ x f ¿

| |

( ) ( )

−¿ =f

x → f x ¿

( )−f

+¿ x ¿

( )=f

f x ¿

| |

( ) ( )

+¿ x ≤ f x

¿

f + ∞

∫

| |

( ) ( )

+¿ x dx ≤ f x dx<+∞

c

¿ ,

+∞ +∞

∫ ∫

¿ f +∞

∫ | |

( ) ( )

−¿ x dx ≤ f x dx<+∞

c c c ⇒ ¿

f f | |

¿ ( ) ( )

−¿ x ≤ f x

¿ f +∞

∫

( )−¿

+¿ x f ( )<

−¿ +

x ∞

c + ∞

∫

( ) =¿ ¿

f x c

+∞

∫

( )

−¿ ¿

x → c

f ¿

b

∫ ¿

dato che c ¿

f lim

( )−¿

+¿ x b →+∞

b

∫ ¿

c

b

∫ ( )=¿ ¿

f x lim

b→+ ∞

c ( )

−¿ ¿

x → lim

b →+∞

( )

+¿ −f

x ¿

( )=f

f x ¿

Serie Numeriche

Criterio del confronto: Siano {a } e {b } successioni tali che

1. k k

, allora:

∀

0 ≤ a ≤b , k

k k

+ +∞ + +

∞ ∞ ∞

∑ ∑ ∑ ∑

Se , Se

⟹

=+∞ =+ <+∞⟹ <+∞

a b ∞ b a

k k k k

k=1 k=1 k=1 k=1

Criterio del confronto asintotico: Siano {a } e {b } successioni

15. k k

a + +∞

∞

∑ ∑

k

tali che a > 0, b > 0, e (asintotiche), allora

=1

∀ lim

k a e b

k k k k

b

k →+∞ k k=1 k=1

hanno lo stesso comportamento, ovvero convergono entrambe o

divergono entrambe

Criterio della radice: Sia {a } una successione tale che a >0 ∀ k

16. k k

√

k

L= lim a

e , allora:

k

k →+∞

se L<1, la serie converge; se L>1, la serie diverge; se L=1, non

possiamo concludere nulla usando questo criterio

√

k

L= lim a √

Dim: , k

∀ ∃

>0 >0 < <

ε M t . c . se k ≥ M :L−ε a L+ ε →

k k

k →+∞ , dato che è una serie geometrica

k k k

< <( )

→(L−ε) a L+ ε ( )

L+ε

k + ∞

∑

convergente per L<1 allora per il criterio del confronto a k

k=1

+ ∞

∑ k

converge, mentre se L>1, visto che è maggiore,

a

( ) =+∞

L−ε , k

k=M

+ ∞

∑ diverge

a k

k=1