Teorema sulle radici n-esime di un numero complesso e caratterizzazione dei punti di accumulazione

Teorema di unicità delle radici n-esime di un numero complesso

Sia z ∈ C , z ≠ (0,0), z = r (cos φ + i sen φ)

Sia n ∈ N , n ≥ 2

Allora esistono n radici n-esime complesse distinte di z che indichiamo con w₀, w₁, w_n, ..., w_n-1

In particolare w_k = n√z (cos φ+2kπ/n + i sen φ+2kπ/n) k=0,1,...,n-1

Dimostrazione

Sia w una radice n-esima complessa di z, w = ρ(cos θ + i sen θ)

wⁿ = z Per la formula di De Moivre

wⁿ = e^{[cos(n.θ) + i sen(n.θ)]}

Da z = r (cos φ + i sen φ) per l’uguaglianza dei numeri complessi in forma trigonometrica,

così trovo infinite radici

ma

Quindi, se w è radice n-esima di z, allora:

w = _n√r (cos ^{φ + 2kπ}/_n + i sen ^{φ + 2kπ}/_n), k ∈ ℤ

Attenzione! Se facciamo variare k nell'insieme dei numeri interi otteniamo sì le radici complesse, ma ripetute infinite volte: questa situazione è dovuta al fatto che seno e coseno sono funzioni periodiche, di periodo T = 2π.

Per verificare che ne esistono esattamente n distinte, riscriviamo w_k come segue

w_k = √H ( cos (ψ/n + 2kπ/n) + i sin (ψ/n + 2kπ/n) )

Per k = 0, 1, ..., n−1 i vari w_k

w₀ = √H ( cos (ψ/n) + i sin (ψ/n) )

w₁ = ⁿ√ (cos (ℓ/n + 2π/n) + i sin (ℓ/n + 2π/n))

:

w_n-1 = ⁿ√ (cos (ℓ/n + 2(n-1)π/n) + i sin (ℓ/n + 2(n-1)π/n))

sono numeri complessi distinti. Nel momento in cui k è un numero intero maggiore di n-1, o minore di 0, la periodicità delle funzioni goniometriche farà sì che w_k coincida con uno tra w₀, w₁, ..., w_n-1.

Alla luce di ciò, possiamo concludere che le radici distinte di un numero complesso non nullo sono necessariamente n.