Teorema nullità pù rango - Algebra e geometria lineare

Tosetti Luca 22/10/2020

Teorema nullità più rango

⃗ ⃗

w , … , w ImF

Dimostriamo che costituiscono una base di .

1 r ⃗ ⃗

w , … , w ImF

Per iniziare dimostriamo che , generano il sottospazio .

1 r

∈ ∈V

⃗ ⃗

w ImF v

Sia . Dunque, esiste .

⃗ =x ⃗ +…+ ⃗ + ⃗ + ⃗

v v x v y v …+ y v

+1

1 1 k k 1 k r k+r

⃗ =F(⃗ )

w v

Tale che . Allora:

( )=F(

⃗ =F ⃗ ⃗ +…+ ⃗ +…+ ⃗ +…+ ⃗ )

w v x v x v y v y v

1 1 k k 1 k+1 r k+r

( )

¿ ⃗ + )

y F v …+ y F(⃗

v

1 k+1 r k+ r

¿ ⃗ + ⃗

y w …+ y w

1 1 r r

( ) ( )

⃗ =…=F ⃗ =0, ⃗ ⃗

v v v , … , v

(Infatti: F in quanto appartengono al

1 k 1 k

F

nucleo di ). ⃗ ⃗

w , … , w ImF

Dunque generano lo spazio .

1 r ⃗ ⃗

w , … , w

A questo punto dimostriamo che sono linearmente indipendenti.

1 r

Supponiamo:

⃗ = ⃗ + ⃗

0 y w …+ y w

1 1 r r

( )

¿ ⃗ + )

y F v …+ y F(⃗

v

1 k+1 r k+ r

¿ ⃗ + ⃗ )

F( y v …+ y v

+1

1 k r k+r ∈

⃗ +…+ ⃗ =z ⃗ + ⃗

y v y v v …+ z v kerF

Allora . Dunque:

1 k+1 r k+r 1 1 k k

⃗ +…+ ⃗ =z ⃗ + ⃗

y v y v v …+ z v

1 k+1 r k+r 1 1 k k

Ossia: ⃗

⃗ +…+ ⃗ − ⃗ −…− ⃗ =

z v z v y v y v 0

1 1 k k 1 k+1 r k+r

⃗ ⃗

v , … , v ,⃗

v , … ,⃗

v

Poiché sono linearmente indipendenti (ovvero formano

1 k k+1 k+ r

una base di V),

tutti i coefficienti della combinazione lineare sono nulli. In particolare

=…= =0

y y .

1 r ⃗ ⃗

w , … , w

Dunque sono linearmente indipendenti.

1 r 2

Tosetti Luca 22/10/2020

Teorema nullità più rango

INVERTIBILITÀ

Una funzione F che va da un insieme A, ad un insieme B, viene definita invertibile

quando esiste una funzione G, che va dall’insieme B all’insieme A, e tale che la

funzione composta (F◦G)(b) = b per ogni elemento dell’insieme B, e tale che la

funzione composta (G◦F)(a) = a, per ogni elemento dell’insieme A.

∃G

F : A→B :B → A

invertibile se tale che:

F ◦G=I G◦ F=I

B A

( )( )=b ( )( )=a

∀ ∈ ∀ ∈

B si ha che F ◦G b B si ha che G ◦ F a

b b

Inoltre una funzione è invertibile se è biiettiva, ovvero se è contemporaneamente

iniettiva e suriettiva (Una applicazione lineare sarà invertibile dunque quando la

dimensione della sua immagine sarà uguale a quella dello spazio di arrivo e il nucleo

sarà quello banale di dimensione 0).

Infine l’inversa di un’applicazione lineare è sempre una applicazione lineare, mentre

l’inversa di una funzione NON lineare, NON può essere lineare.

ISOMORFISMO

Una applicazione lineare invertibile, viene definita isomorfismo.

Due spazi vettoriali invece si definiscono isomorfi quando esiste un isomorfismo del

≃

F :V →W V W

tipo . Tale relazione ha la seguente denotazione: .

=DimW

F :V →W DimV

F F F

è iniettiva se e solo se è suriettiva e se e solo se è un

isomorfismo =DimKerF +

DimV DimImF 3

Tosetti Luca 22/10/2020

Teorema nullità più rango

F DimKerF=0

Nel caso in cui sia iniettiva si ha che e quindi l’equazione

diventa: =DimImF è suriettiva

DimV F



Le funzioni lineare biiettive, sono tutte le funzioni che trasportano un vettore da uno

spazio vettoriale di partenza ad uno di arrivo, e tali spazi hanno ugual dimensione.

Si ha quindi il teorema per cui due spazi vettoriali V e W finitamente generati, si

=DimW

DimV

definiscono isomorfi se e solo se .

Da questo si ha inoltre che ogni spazio vettoriale reale V, con dimensione pari a “n”, è

n

isomorfo allo spazio vettoriale R n

≃

V R

*COMPLETARE EVENTUALMENTE CON DIMOSTRAZIONE ISOMORFISMO* 4