Rango e teorema di Rouche - Capelli

Capitolo 3

Un minore di una matrice A è per definizione una sottomatrice quadrata di A. Un minore si ottiene intersecando n righe ed n colonne opportunamente scelte.

1. A = 34 12 Minore di ordine 1 (coeff. (1,2), (1,3), (2,3), (3,4))
   • 1 minore di ordine 2 (3 se stesso)
2. A = 123 456
   • 6 minori di ordine 1
   • 3 minori di ordine 2
     1. 13 46
     2. 23 56
     3. 12 45

Se ho una matrice 2x4 1234 5678 3 minori di ordine 16 minori di ordine 2 12 56 13 57 14 58 23 67 24 68 34 78

In generale se ho una matrice 2xn (n) (2) = n! / 2! * (n-2)!

RANGO

Pag. 53-54 STUD.

Una matrice A m x n ha rango p:

1. esiste almeno un minore di p con det ≠ 0 ▯ Show proof
   • NP!!
2. tutti i minori di ordine p + 1 det = 0

RANGO è l’ordine massimo di un minore di A avente det ≠ 0

Se A è quadrata di ordine n, allora rkA = n ↔ detA ≠ 0

Esempio: 13 25 detA ≠ 0 → rango = 2

E_{s1 (} ^{1  2 2  4} ₎ il rango è ¹ det = 0

Se A ha m righe ed n colonne si ha sempre

(o) ≤ k ≤ min (m,n)

E_{s1 (} ^{1  2 2  4} ₎ rango 1

perderà tutti i minori est ^{1  0 2  4} det ≠ 0

A = ₍ ^{1  0  1  2 1  3  0 1 -3  2 2  3  1  2} ₎

|p| = 3 dunque almeno 2

det |A| = 0 → il minore 1 x 4 x 4 è la matrice stessa dunque il rango può essere 2 o 3

Dato un minore M di ordine p di A, si definisce orlato di M un minore di ordine p+1 che contiene M

A = ₍ ^{1  2  3  4 5  6  7  8} ₎

consideriamo il minore M = ₍ ^1  2 ₎

A ha 8 minori di ordine 1 A ha 6 minori di ordine 2

N = ₍ ^{1  0 1  3} ₎ ha det ≠ 0

Esercizio a pag 63 l’ultimo.

\( \begin{cases} x_1 + x_4 \geq 4 \\ x - y + 3 \leq 0 \\ 2y + 6z = 0 \end{cases} \)

\( A' \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & 6 \end{pmatrix} \)

rango max è 3

Rango ↔ minore ha det ≠ 0

rango ↔ proprio 3

\( \text{rK } A \neq \text{rK } A' \)

Sistema è incompatibile.

Det \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 6 \end{pmatrix} \)

\( |M| \neq 0 \) l’orlato è la matrice stessa det \([A]\)

cofactor => 1·(-4) - 1·(-6) + 1·(-2) = -4 + 6 - 2 = 0

\(|A| = 0\) il rango è 2

Se avessi voluto risolvere con GAUSS

\( A' \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & 6 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 2 & 6 \end{pmatrix} \)

\( R_2 \rightarrow R_1 + R_2 \) \( R_3 \rightarrow R_3 - R_2 \)

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \)

Esercizio: Quale ammette autosoluzioni

S₁:

• x - y + 2z = 0
• x + y - 4z = 0

ho 2 equazioni in 3 incognite => ammette autsoluzioni

A = (

• 1 -1 2
• 1 1 -4

sol (S₁):

• { ( 2t )
• t ) : t∈ℝ }
• ( t )

S₂:

• x - y + 2z = 0
• x + y - 4z = 0
• y + z = 0

ho 3 eq in 3 incognite

A = (

• 1 -1 2
• 1 1 -4
• 0 1 1

det A = 8

1 det ( 1 -4 ) - 1 det ( -1 2 )( 1 1 ) ( 1 1 )

5 + 3 = 8