Rango e teorema di Rouche - Capelli

Capitolo 3

Minori di una matrice

Un minore di una matrice A è per definizione una sottomatrice quadrata di A. Un minore si ottiene intersecando n righe ed n colonne opportunamente scelte.

• A = 34 12
• Minore di ordine 1 (coeff. (1,2), (1,3), (2,3), (3,4))
• 1 minore di ordine 2 (3 se stesso)
• A = 123 456
• 6 minori di ordine 1
• 3 minori di ordine 2
  • 13 46
  • 23 56
  • 12 45

Se ho una matrice 2x4

• 1234 5678
• 3 minori di ordine 1
• 6 minori di ordine 2
  • 12 56
  • 13 57
  • 14 58
  • 23 67
  • 24 68
  • 34 78

In generale se ho una matrice 2xn: (n) (2) = n! / 2! * (n-2)!

Rango

Una matrice A m x n ha rango p:

• Esiste almeno un minore di p con det ≠ 0
• Tutti i minori di ordine p + 1 det = 0

Rango è l'ordine massimo di un minore di A avente det ≠ 0.

Se A è quadrata di ordine n, allora rkA = n ↔ detA ≠ 0.

Esempio:

• 13 25 detA ≠ 0 → rango = 2

E_s1 (^{1  2 2  4}) il rango è 1 det = 0.

Se A ha m righe ed n colonne si ha sempre 0 ≤ k ≤ min(m,n).

E_s1 (^{1  2 2  4}) rango 1 perderà tutti i minori.

• ^{1  0 2  4} det ≠ 0

A = (^{1  0  1  2 1  3  0 1 -3  2 2  3  1  2})

|p| = 3 dunque almeno 2, det |A| = 0 → il minore 1 x 4 x 4 è la matrice stessa dunque il rango può essere 2 o 3.

Dato un minore M di ordine p di A, si definisce orlato di M un minore di ordine p+1 che contiene M.

A = (^{1  2  3  4 5  6  7  8})

Consideriamo il minore M = (^1  2)

• A ha 8 minori di ordine 1
• A ha 6 minori di ordine 2

N = (^{1  0 1  3}) ha det ≠ 0

Esercizio

A pag 63 l'ultimo.

\( \begin{cases} x_1 + x_4 \geq 4 \\ x - y + 3 \leq 0 \\ 2y + 6z = 0 \end{cases} \)

\( A' \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & 6 \end{pmatrix} \)

Rango max è 3.

Rango ↔ minore ha det ≠ 0.

Rango ↔ proprio 3.

\( \text{rK } A \neq \text{rK } A' \)

Sistema è incompatibile.

Det \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 6 \end{pmatrix} \)

\( |M| \neq 0 \) l’orlato è la matrice stessa det \([A]\) cofactor => 1·(-4) - 1·(-6) + 1·(-2) = -4 + 6 - 2 = 0

\(|A| = 0\) il rango è 2.

Se avessi voluto risolvere con GAUSS

\( A' \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & 6 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 2 & 6 \end{pmatrix} \)

\( R_2 \rightarrow R_1 + R_2 \) \( R_3 \rightarrow R_3 - R_2 \)

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \)

Esercizio: Quale ammette autosoluzioni

S₁: x - y + 2z = 0

x + y - 4z = 0

ho 2 equazioni in 3 incognite => ammette autsoluzioni

A = ( 1 -1 21 1 -4)

sol (S₁): { ( 2t )t ) : t∈ℝ }( t )

S₂: x - y + 2z = 0

x + y - 4z = 0

y + z = 0 ho 3 eq in 3 incognite

A = ( 1 -1 21 1 -40 1 1)

det A = 81 det ( 1 -4 ) - 1 det ( -1 2 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 5 + 3 = 8