Teorema di Rouchè-Capelli

Teorema di Rouche - Capelli

A che cosa serve?

Il teorema di Rouché - Capelli è un efficace strumento per determinare se un sistema lineare è compatibile, se cioè ammette almeno una soluzione.

Cosa afferma?

Il teorema di Rouché - Capelli afferma che condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema lineare di m equazioni in n incognite Ax = b sia compatibile è che il rango della matrice A dei coefficienti sia uguale a quello della matrice completa (A|b).

Rango: il rango di una matrice A è la dimensione del sottospazio vettoriale di K^m generato dalle colonne di A.

Per calcolarlo si pone la matrice A a scala e se ne determina il numero di righe linearmente indipendenti tra loro (determinare il numero di righe linearmente indipendenti tra loro o il numero di colonne linearmente indipendenti tra loro non cambia in quanto il rango di una matrice è uguale al rango della sua trasposta).

Quali casi prende in esame?

Il teorema di Rouché - Capelli stabilisce che

1. Se rg(A) < rg(A|b), cioè se il rango della matrice dei coefficienti è minore del rango della matrice completa, allora il sistema lineare è impossibile, cioè non ammette soluzioni e quindi è incompatibile.
2. Se rg(A) = rg(A|b), cioè se il rango della matrice dei coefficienti coincide con il rango della matrice completa, allora il sistema lineare è compatibile, cioè ammette una o infinite soluzioni.
   • se rg(A) = rg(A|b) = n, allora il sistema lineare ha una ed una sola soluzione.
   • se rg(A) = rg(A|b) < n, allora il sistema lineare ha infinite soluzioni che dipendono da n - rg(A) parametri.

Notiamo che r_g(A) > r_g(A|b) non può esistere in quanto la matrice dei coefficienti A non potrà mai avere più pivot della matrice completa.

Riassumendo:

• r_g(A) = r_g(A|b) = n => S.L. compatibile (teorema di Rouché-Capelli)
• r_g(A) = r_g(A|b) < n => n - r_g(A) soluzioni
• r_g(A) < r_g(A|b) => ⊥

Dimostrazione:

Sapendo che sia Ax = b un sistema di m equazioni di ordine n a coefficienti in K, esso è compatibile se e solo se b ∈ Span (A⁽¹⁾, ..., A⁽ⁿ⁾) ⊂ K^m

Dimostrazione:

Sia s₁ ... s_n ∈ Kⁿ una soluzione di Ax = b, quindi si ottiene il sistema lineare As = b. Dalla definizione di prodotto righe per colonne, si ha che As è una combinazione lineare delle colonne di A, esplicitamente si ha b = A^(*1)s₁ + A^(*2)s₂ + ... + A^(*n)s_n da cui segue che b ∈ Span (A^(*1), A^(*2), ..., A^(*n))

■

Span:

Lo Span(v₁, ..., v_k) è un sottoinsieme di V formato da tutte le combinazioni lineari di v₁, ..., v_k, quindi Span(v₁, ..., v_k) = {λ₁v₁ + ... + λ_kv_k ∈ V, λ_i ∈ K∧k}. Lo Span(v₁, ..., v_k) ⊆ V è un sottospazio vettoriale di V.

Segue che b ∈ Span(A^(*1), A^(*2), ..., A^(*n)) se e solo se Span(A^(*1), A^(*2), ..., A^(*n)) = Span(A^(*1), A^(*2), ..., A^(*n), b)

Lemma:

Siano u₁, ..., u_k ∈ V e sia u ∈ Span(u₁, ..., u_k), allora Span(u₁, ..., u_k) = Span(u₁, ..., u_k, u)

SICCOME { v₁ , . . . , v_n } È UNA BASE DI Ker(f),

ESISTONO λ₁ , . . . , λ_n ∈ K TALI CHE

λ₁v₁ + . . . + λ_nv_n = λ_nv_n DA CUI

λ₁v₁ + . . . + λ_nv_n = 0

SEGUE CHE λ₁ , . . . , λ_n = 0.

È SICCOME v₁ , . . . , v_n SONO LINEARMENTE

INDIPENDENTI, GLI SCALARI λ₁ , . . . , λ_n DEVONO ESSERE

NECESSARIAMENTE TUTTI NULLI.

FISSATA UNA BASE v₁ , . . . , v_n-z DI W, ALLORA OGNI SOLUZIONE SI

PUÒ SCRIVERE NELLA FORMA

S = S̅ + λ_zv_z + . . . + λ_n-zv_n-z

AL VARIARE DEI PARAMETRI λ_z, . . . , λ_n-z ∈ K. QUINDI LE SOLUZIONI

DI Ax = b DIPENDONO DA n - rg(A) PARAMETRI, QUESTO SIGNIFICA

CHE Ax = b HA ∞ SOLUZIONI.

DIMOSTRAZIONE IN BREVE.

1. Ax = b È COMPATIBILE ⟺ b ∈ Span(A⁽⁴⁾, . . . , A⁽ⁿ⁾)
2. b ∈ Span(A⁽⁴⁾, . . . , A⁽ⁿ⁾) ⟹ Span(A⁽⁴⁾, . . . , A⁽ⁿ⁾) = Span(A⁽⁴⁾, . . . , A⁽ⁿ⁾, b)
3. Span(A⁽⁴⁾, . . . , A⁽ⁿ⁾) = Span(A⁽⁴⁾, . . . , A⁽ⁿ⁾, b) ⟹ rg(A) = rg(A|b)
4. TEOREMA DI STRUTTURA PER LE SOLUZIONI DEI SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI: S = S̅ + W
5. TEOREMA DELLA DIMENSIONE dim(W) = n - rg(A) = n - z
6. S = S̅ + λ_zv_z + . . . + λ_n-zv_n-z