Teorema di Poynting, teorema di unicità nel dominio del tempo per il problema interno/esterno

NOTE: MEZZI NON DISPERSIVI.

Se il volume è illimitato (problema esterno), ma le sorgenti occupano un volume limitato,

alla condizione al contorno va aggiunta la condizione che per ogni t, esista un intorno

dell’infinito nel quale i campi sono nulli.

TEOREMA DI UNICITÀ NEL DOMINIO DEI FASORI (PROBLEMA INTERNO)

Possiamo rimuovere l'ipotesi di mezzo non dispersivo nel tempo e quindi considerare anche

i mezzi dispersivi e quindi avremo sia la possibilità che il mezzo è dispersivo (quindi con

perdite) e mezzo non dispersivo (che vuol dire senza perdite).

Basta l’ipotesi di mezzo normale.

Scrivo le equazioni di Maxwell nel dominio dei Fasori e sostituendo le relazioni costitutive:

(min 1:08:00)

Vogliamo risolvere le equazioni di Maxwell in un volume V limitato la cui frontiera è la

superficie S che ha normale i .

N

IL TEOREMA DI UNICITÀ NEL DOMINO DEI FASORI PER IL PROBLEMA INTERNO CI DICE CHE

SE IL MEZZO È CON PERDITE (QUINDI DISPERSIVO NEL TEMPO) ALLORA LA SOLUZIONE

DELL'EQUAZIONE DI MAXWELL SE ESISTE È UNICA SE SI È FISSATA LA CONDIZIONE AL

CONTORNO

Qui manca la condizione iniziale (CI) perché nel dominio dei fasori il tempo non c'è.

SE IL MEZZO È NORMALE MA È SENZA PERDITE IL TEOREMA DI UNICITÀ DEL DOMINIO DEI

FASORI PER IL PROBLEMA INTERNO DICE CHE SE FISSATA LA CONDIZIONE AL CONTORNO,

LA SOLUZIONE DELL'EQUAZIONE DI MAXWELL SE ESISTE È UNICA A MENO DI SOLUZIONI

RISONANTI, vuol dire che la soluzione è unica oppure se esistono più soluzioni la differenza

tra due diverse soluzioni deve essere una soluzione risonante cioè soluzione delle equazioni

di Maxwell omogenee con condizioni al contorno omogenee.

VEDIAMO IL CASO DI MEZZO NORMALE CON PERDITE in cui l'unicità è dimostrata.

Andiamo a dimostrare che nel caso di mezzo con perdite la soluzione dell'equazione di Max

se esiste è unica e ragioniamo con un assurdo.

Supponiamo che esistono due diverse soluzioni dell'equazione di Maxwell con le stesse

sorgenti e con la stessa condizione al contorno.

Definiamo un campo differenza,andando a sostituire nell'equazione di Maxwell e seguendo

un procedimento perfettamente analogo a quello nel dominio del tempo scopriamo che

IL CAMPO DIFFERENZA SODDISFA L'EQUAZIONE DI MAXWELL OMOGENEE CIOÈ IN ASSENZA

DI SORGENTI (J=Ρ=0) E CC=0.

(parte slide)

DIMOSTRAZIONE TEOREMA DI UNICITÀ NEL DOMINIO DEI FASORI (PROBLEMA INTERNO)

CON PERDITE.

Per la dimostrazione usiamo il TEOREMA DI POYNTING nel dominio dei fasori prendendo la

parte reale:

il flusso del vettore di POYNTING è pari a zero per la CC e poiché J=0,l’integrale sulle

sorgenti è nullo.Ciò che rimane sarà: (ho tutti elementi positivi)

Poiché il mezzo ha perdite uno tra μ” ,ε”, σ è diverso da 0.

Supponiamo che σ>0 (min 1:16:00)

Poiché l’integrale è nullo in questo caso anche l’integrando è nullo.

Consideriamo la prima equazione di maxwell e calcoliamo H d

Abbiamo dimostrato la tesi

Fine.

DIMOSTRAZIONE TEOREMA DI UNICITÀ NEL DOMINIO DEI FASORI (PROBLEMA INTERNO)

CASO DI ASSENZA DI PERDITE

Ora nel caso di assenza di perdite non possiamo più considerare la parte reale del

→ →

TEOREMA di poynting μ”,ε”,σ=0 la seguente uguaglianza è banalmente verificata

(min 1:18:00)

E non riusciamo a dimostrare nulla sui campi e ed h.

Usiamo la parte Im.

Al primo membro abbiamo che

È nullo perché J è nullo per il campo differenza (soluzione dell’eq di

0

Maxwell omogenee).

Al secondo membro abbiamo Il flusso della parte immaginaria del vettore di poynting che è

0 (perché il flusso di tutto il vettore di poynting è 0 per il campo differenza ,per il motivo

che avevamo nel dominio del tempo).

Rimane (min 1:20:00)

Poiché siamo nel caso dinamico ω≠0 ,quindi deve annullarsi la parte tra parentesi quadra

che è nulla per E =H =0 o per E ≠0 e H ≠0 purchè

d d d d

Da una parte ho l'energia magnetica immagazzinata nel volume V e dall’altra l’energia

elettrica immagazzinata nel volume V.

Quindi nel caso di assenza di perdite non è detto che la soluzione sia unica, ci possono

essere anche più soluzioni ma la differenza tra due diverse soluzioni è un campo risonante

(perché è soluzione dell’eq di Maxwell omogenee quindi in assenza di sorgenti e con

condizioni al contorno omogenee).

Una soluzione risonante deve soddisfare la condizione in cui l'energia magnetica

immagazzinata nel volume deve essere uguale all’energia elettrica immagazzinata nel

volume V.

Riassumendo (1:22:00)

Nel caso di mezzo con perdite anche nel dominio dei fasori la soluzione dell'equazione di

Maxwell se esiste è unica,fissate le condizioni al contorno.

Nel caso di mezzo normale senza perdite non è più vero che la soluzione è necessariamente

unica, la soluzione potrebbe anche non essere unica ma quello che è certo è che la

differenza tra due diverse soluzioni è una soluzione risonante e quindi possiamo dire che la

soluzione dell’equazione di Maxwell se esiste è unica a meno di soluzioni risonanti,

cioè che la differenza tra due diverse soluzioni deve essere una soluzione risonante.

Una soluzione risonante è caratterizzata dal fatto che l'energia magnetica immagazzinata

nel volume V è uguale all'energia elettrica immagazzinata nel volume V.

NOTA:

In un mezzo con perdite uno tra ε’’,μ’’ e σ è diverso da zero .

I tre motivi per cui ci possono essere perdite sono effetto joule, isteresi dielettrica ed

isteresi magnetica.

Fine nota.

DIFFERENZA DEL TH DI UNICITA’ NEL DOMINIO DEL TEMPO E NEL DOMINIO DEI FASORI

Nel dominio del tempo se fissiamo le CC e le CI la soluzione è unica nel caso di mezzo senza

perdite.

Nel dominio dei fasori la soluzione non è unica.

La soluzione non è più unica perché nel dominio dei fasori manca una condizione,manca la

condizione iniziale e non ci può essere perché non c’è il tempo .

Quindi venendo a mancare la condizione iniziale è possibile che ci siano più soluzioni.

Nel dominio dei fasori consideriamo grandezze sinusoidali ovvero che variano

sinusoidalmente nel tempo da –∞ a + ∞.Nella pratica però non può accadere,le sorgenti

sono accese da un certo istante ,prima del quale i campi possono essere nulli.

Noi risolviamo nel dominio del tempo le equazioni di Maxwell da un certo istante t .

0

→inizialmente

Quindi da un certo istante le sorgenti vengono accese i campi hanno un

andamento non prevedibile avremmo quindi un transitorio,dopo un certo tempo questo

transitorio termina e si passa in uno stato di regime.

Questo è quello che accade per un mezzo con perdite.

Ora l’unicità (del teorema di unicità) è dimostrata se la soluzione delle equazioni di Max

omogenee con CC omogenee è nulla.

Consideriamo un problema in cui le sorgenti sono nulle e le CC sono nulle ma non diciamo

niente sulle condizioni iniziali (CI) ovvero quello che accade nel dominio dei fasori.

Quindi esisterà inizialmente un campo diverso da 0 anche in assenza di sorgenti e con CC

nulle.

Se sono presenti perdite nel mezzo,il campo varia sinusoidalmente nel tempo e si andrà ad

attenuare per le perdite.Quando arriviamo alla soluzione di regime il campo,in assenza di

→quindi

sorgenti e con CC nulle,sarà nullo a regime la soluzione risonante non può

esistere,cioè la soluzione dell’eq di maxwell omogenee e con CC nulle (quindi omogenee)

sarà nullo perché anche se inizialmente i campi erano diversi da 0 a causa delle perdite a

regime diventano nullo.

Se invece le perdite non ci sono,anche in assenza di sorgenti, se inizialmente i campi erano

diversi da 0, il loro andamento sinusoidale rimane anche a regime perché non abbiamo

attenuazione.L’andamento dei campi dipende da come erano i campi negli istanti iniziale e

→abbiamo

se non fissiamo le CI il campo sarà diverso da 0 anche a regime una soluzione

risonante diversa da 0.

Ecco il motivo per cui nel dominio dei fasori nel caso di senza perdite possono esserci

diverse soluzioni.

TEOREMA DI UNICITA’ NEL DOMINIO DEI FASORI PER IL PROBLEMA ESTERNO (min 1:36:00)

Per problema esterno si intende che stiamo risolvendo le equazioni di Maxell in un volume

V illimitato cioè che non può essere racchiuso in una sfera di raggio finito, per esempio il

volume che sta all'esterno di una superficie chiusa S.

(c’è una spf tratteggiata nel disegno che si vede male)

PER IL PROBLEMA ESTERNO LA SOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DI MAXWELL SE ESISTE È

UNICA, INDIPENDENTEMENTE DAL FATTO CHE IL MEZZO ABBIA PERDITE O MENO, SE

SONO SODDISFATTE LE CONDIZIONI AL CONTORNO E VALE IL PRINCIPIO DI CAUSALITÀ.

Nel caso del dominio del tempo abbiamo potuto ragionare con un istante iniziale in cui

vengono accese le sorgenti per cui qualunque sia l’istante di tempo t, esisterà sempre una

sfera di raggio grande che su quella sfera i campi sono ancora nulli perché ancora non è

arrivato l'effetto delle sorgenti.

Nel dominio dei fasori non possiamo fare più questo discorso perché non c'è un istante

iniziale, siamo nel dominio dei campi puramente sinusoidali che sono sinusoidali da -∞ a

+∞.

Nel dominio dei fasori imporre la causalità significa dire che il flusso di potenza deve

andare dal finito verso l'infinito cioè se ci mettiamo su una sfera di raggio molto grande

che tende all'infinito,su quella sfera il flusso di potenza attiva deve essere uscente

non ci può essere potenza che arriva dall’infinito verso le sorgenti (le sorgenti stanno al

finito).

Supponiamo che il volume V in cui vogliamo risolvere le equazioni di Maxwell è illimitato

ma le sorgenti stanno in un volume finito e allora se le sorgenti stanno al finito il flusso di

potenza può solo andare verso l'infinito ma non è che può venire potenza dall’infinito verso

le sorgenti (questo implica la causalità se siamo nel dominio dei fasori).

Se consideriamo una spf sferica con raggio che tende all’infinito allora il flusso di potenza

attiva uscente deve essere >0 perché la potenza deve andare dalle sorgenti verso l’infinito e

non può andare dall’infinito verso le sorgenti.

Imporre la causalità implica imporre le cosiddette condizioni di irradiaz