Teorema di Poynting, dominio nel tempo, potenza, media temporale, teorema di poynting nel dominio dei fasori, relazione tra perdita e dispersività nel tempo

IL VETTORE DI POYNTING È IL PRODOTTO VETTORIALE TRA IL CAMPO ELETTRICO E

CAMPO MAGNETICO (e ed h):

s=exh

Considero le eq di max in forma locale:

×=−

×= + + 0

⋅ = +

0

{

⋅ = 0

E calcolo la divergenza di s sfruttando una delle identità vettoriali

(min 5)

Sostituisco le equazioni di Maxwell

Lascio al secondo membro solo J e

0

Consideriamo un volume V delimitato dalla spf S e consideriamo la normale uscente i N

Integriamo 1° e 2° membro sul volume e applico al primo termine il th della divergenza

L’ identità trovata (soddisfatta se e ed h sono soluzioni delle equazioni di max) è il th di

poyting.

Cerchiamo di interpretare tale identità fisicamente analizzando ogni singolo integrale.

̂

⋅

∯ è il flusso del vettore di POYNTING attraverso la spf che delimita il volume

V

Per capire gli integrali con j ,considero LA DENSITÀ DELLA FORZA DI LORENTZ cioè la forza

per unità di volume che agisce sulla densità di carica ρ e sulla densità di corrente J .

Moltiplichiamo scalarmente f per la velocità con cui si muovono le cariche.

Il ragionamento è:

Dal prodotto di una forza per uno spostamento Δs otteniamo il lavoro fatto dalla forza per

spostare l'oggetto a cui è applicata la forza della quantità Δs,

se dividiamo questo lavoro per Δt (intervallo di tempo che è stato necessario dalla forza per

spostare l'oggetto di Δs) otteniamo una moltiplicazione per la velocità con cui si muove il

punto di applicazione.→Otterremo una potenza.

Nel nostro caso moltiplicando scalarmente f per la velocità,otteniamo

Qui abbiamo f che è una forza per unità di volume,quindi “f scalar v” è la potenza per unità

di volume fornita dalla forza di Lorentz alle cariche .

In altri termini “f scalar v” è la potenza per unità di volume fornita dal campo

elettromagnetico alle cariche. (min 13)

→

Sapendo che j=ρv f∙v=j∙e + (ρv x b∙v) {la quantità tra parentesi viene 0 perché ho un

prodotto vettoriale tra due vettori ortogonali}

Quindi

f∙v=j∙e

j∙e È LA DENSITÀ DI POTENZA FORNITA DAL CAMPO ALLE CARICHE IN MOVIMENTO E

QUINDI ALLA DENSITÀ DI CORRENTE J.

Se J sono le densità di correnti indotte,j∙e (“J scalar e”) è proprio la densità di potenza

fornita dal campo alle densità di correnti indotte.

Le stesse considerazioni valgono per J ,in quest’ultimo caso j ∙e è la densità di potenza

0 0

fornita dal campo alle densità di correnti impresse.

Con il segno “-” cambia il verso della potenza.

-j ∙e è la densità di potenza (potenza per unità di volume) fornita dalle sorgenti (densità di

0

correnti impresse) al campo.

NOTA BENE:

IL SEGNO MENO VUOL DIRE CHE CAMBIA IL VERSO DELLA POTENZA CIOÈ NOI

CONSIDERIAMO POSITIVA SE VIENE TRASFERITA DAL CAMPO ALLE CARICHE ,

SE GLI METTIAMO UN SEGNO MENO VUOL DIRE CHE È UNA POTENZA CHE VIENE

TRASFERITA DALLE CARICHE AL CAMPO (nel nostro caso al campo elettrico magnetico).

Integrando sul volume V si ha che:

è la potenza complessivamente fornita dal campo elettromagnetico alle

densità di correnti indotte (nel volume V)

è la potenza fornita dalle densità correnti impresse al campo

(J sono le sorgenti impresse)

0

Dobbiamo interpretare ora l’integrale centrale,ovvero

(min 18)

Facciamo delle ipotesi sul mezzo.

Ipotizziamo che il mezzo sia normale (quindi lineare continuo, non dispersivo spazialmente,

omogeneo temporalmente e isotropo) e che il mezzo sia istantaneo.

Se il mezzo è normale ,poichè non dispersivo spazialmente, scompaiono nella relazione

costitutiva gli integrali spaziali e se ci aggiungiamo anche la non dispersività temporale

scompare anche l'integrale temporale e le relazioni costitutive diventano molto semplici :

d= εe , b=μh , j=σe dove μ, ε, σ non dipendono da t.

Per le caratteristiche dei mezzi esistenti in natura aggiungiamo l’ipotesi che

μ,ε >0 e che σ>0 (ammettiamo anche la possibilità che il mezzo sia un isolante ma non un

conduttore).

Dobbiamo sostituire le relazioni costitutive negli integrali del teorema di POYNTING e

analizziamo le parti:

1)

poiché sia σ che il modulo di e sono >0 per un mezzo conduttore

>0

Ciò implica che comunque variano i campi elettromagnetici la potenza va sempre dal

campo elettromagnetico al mezzo conduttore e mai al contrario cioè questa è potenza

dissipata sotto forma di calore (potenza che viene fornita al mezzo e non verrà mai

restituita)→effetto joule (un conduttore attraversato da corrente si riscalda)

2)

NEL CASO STAZIONARIO È LA DENSITÀ DI ENERGIA MAGNETICA IMMAGAZZINATA IN UN

SOLENOIDE.

Nota: Abbiamo usato la formula inversa della formula di derivazione del prodotto:

3)

NEL CASO STAZIONARIO DENSITÀ DI ENERGIA ELETTRICA IMMAGAZZINATA IN UN

CONDENSATORE

Sostituiamo le espressioni ottenute nell’integrale di volume e otterremo

IL TEOREMA DI POYNTING PER UN MEZZO NORMALE E NON DISPERSIVO NEL TEMPO:

̂

− ⋅ = || + || + || + ⋅

( )

∭ ∭ ∭ ∯

1 1

2 2

|| + |ℎ|

( )

Se il volume rimane fisso nel tempo,nell’integrale possiamo

∭

2 2

portare fuori all’integrale la derivata

|| + ||

( )

∭ (min 31)

(se prima avevo la derivata parziale perché e ed h erano in funzione di r e t , se portiamo

fuori, la dipendenza dalle variabili spaziali scompare perché integriamo sulle variabili

spaziali ma rimane la dipendenza da t)

|| + ||

( ) = W (t)

∭

chiamo em

Nel caso statico abbiamo visto a cosa corrispondono i termini presenti nell’espressione

1 1

2 2

|| + |ℎ|

2 2

sono una densità di energia elettrica ed una densità di energia magnetica ,se fosse così

anche nel caso dinamico , allora la somma di questi due termini integrata sul volume la

possiamo considerare come l'energia elettromagnetica immagazzinata nel volume,

perché l'integrale di volume di una densità di energia magnetica + densità di energia

elettrica cioè di una densità di energia elettromagnetica e quindi l'integrata su V diventa

energia elettromagnetica immagazzinata in V.

Ora affinché una funzione possa essere interpretata come energia elettromagnetica

anzitutto dimensionalmente deve avere dimensioni fisiche di una energia quindi di un

lavoro .

Se calcolo la derivata rispetto al tempo di W ottengo una potenza.

em

W moltiplicata per un tempo da un’energia.

em

Possiamo dire che se in un volume è presente un campo elettromagnetico anche se non c'è

nient'altro ovvero non c'è nessun mezzo materiale all'interno di quel volume,

tale volume è sede di una energia o meglio energia elettromagnetica.

L'IDENTITÀ DI POINTING SOSTANZIALMENTE NON È ALTRO CHE UN'ESPRESSIONE DEL

PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA CIOÈ IL PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE

DELL'ENERGIA :

La potenza che le sorgenti forniscono al campo ovviamente non potrà scomparire ne potrà

aumentare ma dovrà essere la somma della potenza dissipata nel mezzo per effetto joule +

la derivata rispetto al tempo dell'energia interna del sistema (quella elettromagnetica

immagazzinata in V derivata rispetto al tempo) + potenza uscente dal volume V

attraversando la spf S.

In conclusione possiamo scrivere IL TH DI POYNTING :

1 1

2 2 2 ̂

− ⋅ = || + || + |ℎ| + ⋅

( )

∭ ∭ ∭ ∯

0

2 2

IL TH DI POYNTING DICE CHE LA POTENZA FORNITA DALLE SORGENTI (DAL GENERATORE)

AL CAMPO È DATA DALLA SOMMA DELL’ENERGIA DISSIPATA PER EFFETTO JOULE

+VARIAZIONE DELL’ENERGIA ELETTROMAGNETICA IMMAGAZZINATA IN V +FLUSSO DI

POTENZA USCENTE ATTRAVERSO LA SUPERFICIE S.

Ora facciamo un passo indietro e torniamo all' identita di pointing senza ipotesi di mezzo

normale e non dispersivo nel tempo.

Adesso continuiamo a supporre che j= σe ma supponiamo che il mezzo sia dispersivo nel

tempo quindi non possiamo scrivere le relazioni costitutive come:

d= εe , b=μh , j=σe

Il th di POYNTING rimane 1 1

2 2 2 ̂

− ∭ ⋅ = ∭ || + ∭ || + |ℎ| + ∯ ⋅

( )

0 2 2

L’unica interpretazione che cambia è il 3° integrale

Vale comunque il principio di conservazione dell'energia che ci dice che la potenza fornita

dalle sorgenti può essere in parte dissipata e trasformarsi in calore nel sistema considerato

(quindi potenza che dissipata per effetto joule),in parte andare a variare l'energia interna

del sistema e in parte poi uscirà dal sistema stesso .

Questa energia 1 1

2 2

|| + |ℎ|

( )

2 2

potrà essere una derivata rispetto al tempo dell'energia interna che però non possiamo più

chiamare energia elettromagnetica perché non siamo più sicuri di che natura è l'energia

potrebbe anche esserci energia di altra natura oltre quella elettromagnetica +

eventualmente dissipazione di potenza di altra natura che non sia potenza dissipata per

effetto joule.

Quindi non possiamo dire molto di questo termine, però possiamo certamente dire che è

fatto di derivata di energia interna del sistema più potenza dissipata per altri effetti che non

sia l'effetto joule. ̂

⋅

CONSIDERAZIONE DA FARE SUL FLUSSO DEL VETTORE DI POYNTING ∯

Il flusso del vettore di POYNTING attraverso una superficie chiusa S è interpretabile come

flusso di potenza, allora il vettore di POYNTING s non è altro che una densità di fluss