Strumentazione biomedica e laboratorio

Proprietà della matrice simmetrica

Una matrice simmetrica, o Hermitiana per sequenze complesse, ha le seguenti proprietà:

• Tutti gli elementi della stessa diagonale o subdiagonale sono eguali tra loro.
• È caratterizzata da N numeri.

Invertendo la matrice si ottengono i parametri del modello: infatti essi non sono altro che la prima colonna di R equazioni di Yule-Walker e possono fornire alternativamente:

• Tutti i campioni della sequenza di auto-correlazione di x(n), noti i coefficienti del filtro A(z) e la varianza della sequenza di ingresso u(n).
• I coefficienti del filtro A(z), assegnati p valori della sequenza di autocorrelazione.

Il fatto che l'equazione di Yule-Walker sia definita per tutti i valori di k implica che, assegnata una qualsiasi p-pla consecutiva di valori di R(k), si può determinare A(z) e da quel momento in poi i valori di R(k) per qualsiasi altro valore di k. Il filtro IIR implementato non dipende dalla

varianza del rumore e si può sempre scalare la funzione di autocorrelazione ponendo R (0)=1 e risolvendo poi le equazioni per k=1,... , p.

L'inversione della matrice di covarianza richiede un numero di operazioni pari a R^3 e quindi risulta una procedura di una discreta complessità al cubo di p (p computazionale). Per ordini elevati del filtro la complessità computazionale cresce notevolmente, per questo motivo si usa l'algoritmo ricorsivo di Levinson-Durbin che, sfruttando la struttura di Toeplitz della matrice, permette di abbassare di un ordine il costo computazionale richiesto dall'inversione matriciale.

Algoritmo di Levinson-Durbin

L'algoritmo di Levinson-Durbin sfrutta le proprietà della matrice delle autocorrelazioni per rendere meno complessa la computazione del calcolo dei parametri. Si parte dal caso p=2 e si scrive il sistema sotto forma di matrice.

    ( ) ( ) ( )1 0 1 0α− ⋅ =R R R
    21xx xx xx
    ( ) ( ) ( )2 1 0 0αR R R
    22xx xx xx

Da questo sistema si passa a quello per p=3, con l’accortezza di
uno 0;1. mettere al posto di α 3
22. al posto dello 0 nella matrice a destra dell’uguale, inserire una certa funzione
che più in là vedremo come debba essere fatta.

ψ 23. Non mutare e rispettivamente in
α α α α
21 22 31 32
 ( ) ( ) ( ) ( )20 1 2 3 1
− − − σR R R R 2xx xx xx xx
    ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 2 0α− −R R R R
    211) xx xx xx xx ⋅ =    ( ) ( ) ( ) ( )2 1 0 1 0α−R R R R 22xx xx xx xx
      ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 0 0 ψR R R R      2xx xx xx xx
La deve essere data dal prodotto della riga aggiunta (la

ribaltata e coniugata:

Combinando linearmente la 1) con la 2) otteniamo il vero sistema di Yule-Walker per p=3.

1 α     33e 197   2 *  2σ ψ σ2 2 3     0 0 0     b) + =b     0 0 0        2 0ψ σ     2 2

Cioè otteniamo:  1 2  σ 3   0α   31⋅ =R    0α 32    0α   33

Entrando più nel dettaglio dei calcoli, l’ultima riga della b) della secondaequazione ci dice che: 2 0ψ σ+ ⋅ =b2 2Da cui ricaviamo b ψ 2=−b 2σ 2La prima riga della b) invece ci dice che: *ψ ψ⋅2 2 2* 2 2σ ψ σ σ= ⋅ + = − + =b3 2 2 22σ 2 22  ψ ψ2 2 22 2 1σ σ σ= − = ⋅ −  3 2 22 2σ σ   2 2Dall’ultima riga della a) invece si può calcolare α 33198 ψ 2α = =

( )3 2 1 1,α α −xx k i xx+ ⋅ + ⋅R R R21 22 1xx xx xxα α =i= − → = −33 2 2kkσ σ2 1−k   2 22 2 2 21 1σ σ α σ σ α= ⋅ − → = ⋅ −   3 2 33 1−k k kk* *α α α α α α α α= + ⋅ → = + ⋅32 22 33 21 1, 1,− − −ki k i kk k k i* α α α α= + ⋅31 21 33 22Le condizioni di inizializzazione dell’algoritmo si hanno per p=1: ( ) ( )  0 1 21 − σR R 1xx xx ⋅ =    ( ) ( )1 0 0αR R      11xx xxDa cui: 2( ) ( )0 1α σ+ ⋅ − =R R11 1xx xx( ) ( )1 0 0α+ ⋅ =R R11xx xx200 ( )1Rxxα = −11 ( )0Rxx  ( ) ( )1 1⋅ −R R  22 ( ) ( )0 1 0 1 xx xxσ = − = −R R a 1 112xx xx( )0