Stimolazione elettrica

Calcolo analitico del potenziale vettore

Introduzione al potenziale vettore

Mezzo finito e omogeneo dal punto di vista della conduzione. Il termine J sono le correnti che circolano nel volume considerato. R' è il punto in cui si trova la corrente. Se conosco la distribuzione delle correnti posso allora calcolarlo: le correnti le conosco perché sono pari alla corrente che circola nella bobina. Corrente che circola in una bobina che per comodità ho messo nel centro del mio sistema di riferimento. Z è perpendicolare al piano della bobina e la corrente circola solo all’interno della bobina -> so qual è la distribuzione delle correnti e so applicare la formula -> posso calcolare Ap (potenziale vettore) per ogni punto P appartenente al volume.

Distribuzione delle correnti e simmetria

Posso concludere che Ap dipenderà dai piani paralleli alla bobina ma sui piani paralleli avrà una simmetria circolare. Ogni punto equidistante dalla bobina stessa avrà lo stesso potenziale vettore. Sono allora in grado di descrivere le distribuzioni di correnti e posso risolverlo anche analiticamente per questa geometria (bobina con forma circolare).

Parametri e calcolo del campo indotto

Notiamo i parametri che contribuiscono:

• Uo/p
• Sorgente Io (corrente nella bobina)
• Il restante termine molto complesso in cui ho altri elementi complessi come gli integrali ellittici (non mi serve ricordare l’espressione). Sono solo parametri di tipo geometrico della bobina, della distanza del punto P e dell’angolo del piano che considero -> parte fissa quando fisso il punto della bobina. Dipende solo dal punto e mi descrive come può variare il campo.

C’è solo un parametro che varia nel tempo, ovvero la corrente nella bobina. Tutti gli altri termini non variano nel tempo.

Risultato e interpretazione

Il risultato è allora semplice: il campo indotto è proporzionale per un fattore proporzionale G al campo E. Nel caso generico N spire: Ottengo un risultato molto semplice e intuitivo che mi dice che il campo E indotto è proporzionale alla derivata della corrente che circola nella bobina nel tempo. L’interpretazione del risultato è semplice: controllando la corrente della bobina controllo anche E. La corrente deve variare nel tempo per poter generare un campo magnetico indotto.

Caratteristiche del mezzo

Dove finisce il gradiente? Non c’è perché sto trattando un mezzo finito e omogeneo: non ha zone di transizione o confini a diverse conducibilità -> Non ci sono zone in cui si accumulano cariche. La corrente nei tessuti sarà proporzionale alla derivata della corrente che circola nella bobina. Questa corrente stimola allora il tessuto come faceva la corrente indotta ma lo fa senza bisogno di un elettrodo. Posso allora farlo controllando qualcosa che non ha bisogno di contatto col paziente.

Tipologie di correnti di stimolazione

• Corrente monofasica: corrente che ha un massimo e poi diminuisce con una costante di tempo e torna a zero
• Corrente bifasica: dopo il primo picco ci sono una serie di oscillazioni che vanno via via annullandosi. I picchi si attenuano e vanno ad azzerarsi.

Caratteristiche del campo elettrico indotto

Il campo elettrico indotto sarà la derivata della corrente nella bobina:

• Campo E indotto dalla monofase: parte positiva, va a zero al massimo della I e poi diventa negativa. Poi tende a zero dal valore negativo.
• Campo E indotto dalla bifase: E in questo caso sarà una quantità simile a una sinusoide smorzata nel tempo (picchi positivi e negativi). Ho sempre un massimo di stimolazione in t=0 ma poi ho oscillazioni di E che si alternano positivi o negativi.

Stimolazione e reclutamento delle fibre

Nella monofasica ho solo l’istante 0 ottimale per la stimolazione perché E è massimo. Solo in t=0 c’è stimolazione di tutte le fibre. Nella bifasica invece posso stimolare anche in altri istanti: avendo più punti di stimolazione ho più fibre reclutate e quindi la stimolazione è più efficace. Questo perché E ha un segno differente e quindi anche le correnti -> recluto più fibre. Inoltre, stimolando in istanti diversi posso reclutare fibre che prima erano in refrattarietà.

Dipendenza del campo elettrico

Dal punto di vista generale, posso definire alcune forme d’onda diverse (mono o bifasica). Dal punto di vista del campo elettrico, la forma non dipende solo dall’andamento della corrente ma anche dal punto in cui mi posiziono e vedo quanto vale il campo elettrico -> dipendenza temporale e spaziale.

Rappresentazione e variazione del campo indotto

Questa rappresentazione circolare è sezionata lungo i suoi diametri così vedo l’asse della bobina e cerco di capire come varia E indotto lungo la coordinata che mi dice la distanza dal punto all’asse della bobina. Vedo anche come varia nella direzione z (asse y). Curve rappresentative della formula complessa sintetizzata nel parametro G. Il campo indotto al centro della bobina è nullo e aumenta fino a raggiungere il massimo quando mi trovo sotto la bobina e poi decresce esponenzialmente allontanandomi.

Focalizzazione della stimolazione

Se lo guardo tridimensionalmente ho un vulcano e all’esterno ho le pareti del vulcano stesso: E indotto è massimo sotto la bobina stessa e diminuisce lungo le pareti. Se osservo invece l‘asse z (piano perpendicolare al piano della bobina): man mano che mi allontano, l’effetto di E diminuisce e il picco di valori si allarga. Allontanandomi dal piano della bobina la stimolazione diventa in termini di E indotto meno intensa e la zona che ha il massimo si allarga -> meno intensa e meno specifica allontanandomi.

Considerazioni pratiche sulla stimolazione cranica

Le distanze nei grafici sono normalizzate con il raggio = 1. Se la bobina è vicino al cranio di una persona allora, la corteccia sente il picco per stimolare solo le fibre nella corteccia. Se voglio stimolare fibre più profonde, dovrò far sì che il picco sia superiore alla soglia ma se così è, anche le fibre sopra di loro e quelle della corteccia lo sono. Non sarò in grado di stimolare solo le fibre profonde perché anche quelle superficiali saranno per forza stimolate.

Tecniche di riduzione dell'area di stimolazione

La dimensione della bobina non è trascurabile, ha diametro di alcuni cm -> la distribuzione, anche se penso solo ai punti più vicini, non va bene perché la stimolazione ha questo andamento a vulcano che mi stimola molti più sotto la bobina -> un’ampia zona viene stimolata: non è focalizzata! Cerco di ridurre l’area in cui attivo una risposta celebrale. Come faccio? Utilizzo due bobine a Butterfly (a 8 rovesciato):

• Stesso verso: nel punto di contatto la corrente 1 e 2 saranno dirette in versi opposti -> risultante nullo. Non è allora molto utile questo sistema.
• Verso opposto: se i versi sono apposti, al punto di tangenza le due correnti saranno allora sommate e avrò un punto di massima stimolazione sotto il punto di tangenza. Ho un solo punto in cui le correnti della bobina si sommano in modo costruttivo per avere il massimo delle correnti focalizzate nel punto di tangenza.

Reciprocità e teoremi dell'elettromagnetismo

Il teorema di reciprocità (es. Helmholtz in elettrotecnica: un generatore di corrente e due punti della rete in cui calcolo la differenza di potenziale. Dato un voltmetro e il generatore, scambiando questi di posti, il voltmetro calcola la stessa quantità) viene esteso anche al campo elettrico e magnetico. La formulazione è più complessa e ci sono pedici diversi perché è espresso per un campo magnetico dove m e q sono due punti nel volume di interesse.

• M è la bobina
• Q è un punto qualunque del volume (nella testa nell’esempio)
• Em è il campo indotto dalla corrente in m nel volume
• Eq è il campo indotto dalla corrente in q in tutto il volume
• Jm è la corrente nella bobina
• Jq è una corrente che circola nel volume

Conclusione

Questo teorema vale per qualunque corrente nel volume. Allora scelgo Jq più semplice possibile, ovvero un dipolo di corrente: vale 0 da tutte le parti tranne che in un punto del volume. Se questa quantità è nulla per tutti i punti tranne che in uno, dove ho posizionato la corrente, allora l’integrale si semplifica e si ottiene il valore .Em (RQ) è il campo elettrico indotto dalla corrente nella bobina in un punto particolare RQ, in cui ho messo la sorgente -> cambiando RQ posso calcolare la quantità che voglio.

Q è una costante di proporzionalità: la sorgente è un vettore (come tutti i dipoli), caratterizzato da Q, il quale ha valore di corrente diverso da zero ed è l’unico ad avere valore diverso da zero. Il vettore Q è in uno e in un solo punto -> modulo e ampiezza della mia sorgente. Quello che conta però è solo che è un vettore ma può essere qualsiasi.

Abbiamo allora visto il campo elettrico indotto nel caso della spira e volume finito (geometrie semplici come la sfera). Vediamo ora come semplificare ancora i termini negli integrali: Questo integrale diventerà di linea perché la corrente attraversa solo una sezione s ed l è l’elemento infinitesimo della bobina. Se ipotizzo, e posso considerare questa approssimazione valida, che la corrente nella bobina non varia; allora Jm in s è una corrente che non dipende più da dl e posso allora portarla fuori dall’integrale.

Teoremi dell’elettromagnetismo: Il primo mi permette di trovare il rotore e il secondo mi dice che è la derivata del B nel tempo. L’ultima parte prevede invece un caso specifico: vale solo se B ha un andamento di tipo sinusoidale -> B = e^jwt (La sua derivata è jwe^jwt). I primi tre passaggi sono sempre validi mentre l’ultimo solo se B è sinusoidale. Alla fine, quello che mi interessa è che ho semplificato il primo termine (a dx) dell’integrale.

I = corrente nella bobina
B = campo concatenato dalla bobina e dovuto ad un dipolo Q posto in QR. Em in RQ è allora un calcolo con una sorgente dipolo di corrente e quindi una sorgente semplice. L’integrale diventa allora facile perché si trova in molti problemi dell’elettromagnetismo. Ho allora usato il teorema di reciprocità per trasformare una corrente complessa in un calcolo che prevede il calcolo dell’induzione magnetica generato da un dipolo di corrente.