Statistica per le applicazioni aziendali

NUMERI INDICI E INFLAZIONE:

NI ELEMENTARE : confronta due valori di una stessa serie storic1 relativi a tempi

diversi.

NI SINTETICO : confronta coppie di valori di serie differenti relativi a tempi diversi e

produce una misura di sintesi di tutte le singole variazioni

INFLAZIONE: aumento generalizzato dei prezzi che porta alla diminuzione del potere

d'acquisto della moneta e quindi del valore reale di tutte le grandezze monetarie.

Analogamente: deflazione => diminuzione generalizzata dei prezzi

Inflazione strisciante: aumento dei prezzi, non appariscente, ma continuo.

Inflazione galoppante: quando l’aumento è molto elevato e rapido.

Inflazione programmata dal governo di un Paese mediante la messa in atto

specifiche azioni di politica economia, monetaria, fiscale.

Inflazione importata: causata da aumento dei prezzi di materie importate che

incidono fortemente sui prezzi interni.

Stagflation: presenza di inflazione e stagnazione dell’economia.

Misurare l’inflazione serve per valutare la variazione dei prezzi, fare confronto nel

tempo e nello spazio ( altri paesi).

Le rilevazioni co svolte dall’Istituto nazionale di statistica danno luogo ad un sistema di

indici costituito da: • indice nazionale dei prezzi al consumo per l’intera collettività

(NIC) • indice nazionale dei prezzi al

consumo per famiglie di operai e impiegati (FOI) •

indice dei prezzi al consumo armonizzato per i paesi dell’Ue (IPCA)

La formula è quella di Laspeyres in forma concatenata (n.i. a base mobile) con

continua modifica del paniere di prodotti/servizi.

Il NIC considera l’Italia come un’unica grande famiglia di consumatori; il FOI si riferisce

ai consumi dell’insieme delle famiglie che fanno capo a un lavoratore dipendente (non

agricolo); mentre IPCA misura dell’inflazione comparabile a livello europeo.

Nel paniere vengono inseriti solo alcuni prodotti rappresentativi, i cui pesi sono ricavati

dall’Indagine sulle spese delle famiglie.

ANALISI DELLA QUALITA:

La conformità di un prodotto si vede se è all’interno dei due limiti di specificazione(a

volte può esserci anche un solo limite): LSL ≤ X ≤ USL.

LSL: Lower Specification Limit (limite di specificazione inferiore).

USL: Upper Specification Limit (limite di specificazione superiore).

I limiti di specificazione rappresentano specifiche richieste dal mercato o da esigenze

di progettazione; e sono esterni al processo produttivo nel senso che non esprimono

sue caratteristiche.

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Valore target � = (LSL+USL)/2 .

Per capire se è un processo lavora in qualità, occorre capire in che misura il processo è

in grado di produrre prodotti conformi.

Un modello distributivo (modello Normale per caratteristiche fisiche) è adatto a

rappresentare la caratteristica di qualità X (es. il peso) della popolazione di prodotti

che il processo è in grado di produrre.

Se i parametri sono costanti allora il processo è sotto controllo.

Se uno o due parametri variano( variazioni accidentali o sistematiche) allora il

processo è fuori controllo.

Lo shift(cambiamento del valore del parametro) nel valore del parametro è il

segnale che una causa speciale è in atto.

Il monitoraggio on line è un controllo statistico di processo che si esplica attraverso

la tecnica dei test delle ipotesi sui parametri di processo. Il test è continuo nel tempo e

utilizza un supporto grafico chiamato control chart.

Control chart per variabili Si usano quando la misura di qualità è di tipo. In questo caso

il modello distributivo usato è quello normale.

Control chart per la media: x-bar chart: Si tratta di un test continuo sulla media.

Si estrae, con cadenza prestabilita, un campione casuale di n prodotti dalla

produzione. Si calcola la media campionaria e si verifica che la media di processo sia

rimasta costante e uguale a µ0.

Control Chart graficamente:

in ascissa: gli indicatori di successivi di prodotti estratti dalla produzione del processo

(si rispetta l’ordine cronologico di estrazione);

in ordinata: la media campionaria calcolata su ogni campione estratto

la linea centrale che rappresenta la media del processo sotto controllo (H0 vera)

due linee orizzontali (limiti di controllo) che rappresentano i valori critici del test con

rifermento a: α, n eH0 i punti che rappresentano il valore della media campionaria in

corrispondenza di ogni campione i-esimo una spezzata che

unisce i punti per meglio leggere il grafico.

UCL e LCL sono i valori critici del test corrispondenti a n e α .Il valore α indica la

probabilità dell’errore di I tipo. In questo caso α è detta probabilità di falso allarme.

( deve essere un valore asso).

Linea centrale: LC=µ0 quindi UCL,LCL=LC+-σ/sqrt(n)’

S-chart per il monitoraggio della deviazione standard:

in ascissa: gli indicatori di successivi campioni di prodotti estratti dalla produzione del

processo,si tratta degli stessi campioni usati per l’x-bar chart.

in ordinata: la deviazione standard campionaria

linea centrale che rappresenta il valore atteso di “Si” se il processo è sotto controllo

(H0 vera) due linee orizzontali (limiti di controllo) che

rappresentano i valori critici del test con rifermento a: α, n eH0 i punti che

rappresentano il valore “Si” in corrispondenza ad ogni campione i

una spezzata che unisce i punti per meglio leggere il grafico

4

Linea centrale LC=c4 LCL,UCL=c4*σ+-3 σ *sqrt(1-c4^2)

(c4 è una costante il cui valore dipende da n ed è calcolata sotto l’ipotesi di normalità

di X) Per n<6, LCL<0, quindi viene impostato a 0, poiché σ

è sempre positiva.

Impostazione e utilizzo del control chart per il monitoraggio:

1. Si sceglie la dimensione campionaria n

2. Si impostano i due control chart (x-bar e S) calcolando LC, UCL, LCL in funzione dei

parametri noti di processo µ e σ, e di n

. 3. Si procede all’estrazione del campione mentre il processo lavora.

4. Si calcolano sul campione media e deviazione standard e si riportano i valori sui

rispettivi control chart 5. Si interpretano i grafici guardando prima

all’S-chart e poi all’x-bar chart. 6. Se ci

sono punti fuori limite si interrompe il processo e si va a cercare la causa del

malfunzionamento. Altrimenti si procede nell’estrazione del successivo campione … e

così via

Processo sotto controllo (in senso proprio): processo che mantiene stabili nel

tempo i valori dei parametri. Processo sotto controllo statistico: il processo per il

quale il control chart non evidenzia segnali di fuori controllo. Di fatto noi non sapremo

mai se il processo è sotto controllo ma solo se lo è nel senso statistico.

Il control-chart ha, come qualunque test delle ipotesi, dei margini di errore: la

probabilità di non osservare un segnale quando c’è stato lo shift è la probabilità

dell’errore di II tipo.

Il control chart è in pratica un test delle ipotesi. Se il punto cade fuori dai limiti di

controllo si conclude che il processo è andato fuori controllo (per la media, per la

varianza o per tutti e due i parametri). TUTTAVIA, nella lettura del control chart, si

deve tener conto anche dell’andamento della spezzata dei punti rispetto al tempo.

Occorre usare più campioni successivi che vanno a coprire un sufficiente intervallo di

tempo in modo che si possa verificare che i dati provengano da un processo sotto

controllo; quindi TRIAL CONTROL CHART.

Stima dei parametri con i trial control chart: fasi

1) Si sceglie la dimensione campionaria h (h può essere maggiore della n di prima)

2) Si sceglie il numero m(30-40) di campioni da estrarre in modo da coprire un

sufficiente intervallo di tempo rappresentativo del processo che lavora in situazione

«normale» e cioè non sotto stress 3) Si estraggono gli m

campioni ciascuno di h unità sul processo in corso di lavorazione ( con fattori produttivi

a livelli ottimali)

4) Col trial S chart si verifica che il processo sia sotto controllo per la variabilità e si

ricava la stima di σ. 5) Col trial x-bar chart si verifica che il processo sia sotto

controllo per la media e si ricava la stima di µ

Il punto 4 viene svolto così:

a)calcolo “Si” da ciascun campione e riporto sul trial S-chart.

b) Si imposta la linea centrale che è la media aritmetica �̅degli Si, e si calcolano LCL e

UCL riportando tutto sul trial S-chart.

c) Se non ci sono punti fuori dai limiti di controllo e nemmeno andamenti sospetti della

spezzata, si conclude che il processo appare sotto controllo statistico e possiamo così

ricavare la stima di σ che è data da �/c.

5

Il punto 5 viene svolto così:

a) calcolo le medie di ciascun campione e riporto sul grafico.

b) calcolo la linea centrale che è la media generale � ̿ e i limiti di controllo.

c) Se non ci sono punti fuori dai limiti di controllo e nemmeno andamenti sospetti della

spezzata, si conclude che il processo appare sotto controllo statistico per la media e

possiamo così ricavare la stima di µ che è data da �� ̿ (cioè la linea centrale del trial x-

bar chart).

Le stime sono valide se ottenute da dati di un processo che risulta sotto

controllo statistico.

Se un processo rimane sotto controllo, la distribuzione della caratteristica di qualità X

è stabile nel tempo e i risultati del processo sono prevedibili.

Esempio: Supponiamo che il processo X∼ N(µ=432.5; σ2=16) Il cliente vuole sapere

se siamo in grado di produrre palloni conformi per il peso (LSL=420 g., USL=445 g.).

P(420 ≤ X ≤ 445)=0.9982 (99.82%) proporzione pezzi conformi.

variabilità intorno al target: E(X −τ ) = E(X − µ) + (µ −τ ) =σ + (µ −τ )

Miglioramento della qualità significa realizzare una produzione in cui la variabile X

ha una varianza più bassa possibile e una media il più possibile vicina al target.

indici di capacità di processo: confrontano quello che è richiesto dal mercato con

quello che il processo sa fare.

Quello che è richiesto dal mercato: intervallo dei limiti di specificazione e il suo

punto centrale è il target. Quello che il processo sa fare: intervallo dei limiti di

tolleranza naturale e il suo punto centrale è la media µ di processo.

Per un processo sotto controllo con X∼ N(µ; σ2), i limiti di tolleranza naturale sono:

LNTL: Lower Natural Tolerance Limit : μ-3σ

UNTL: Upper Natural Tolerance Limit: μ+3σ

Per le proprietà della distribuzione normale, l’intervallo (LNTL, UNTL) contiene il