Statistica per le applicazioni aziendali

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6.1 Variabili aleatorie continue

Per ottenere la probabilità che una variabile continua “X” assuma valori in un

determinato intervallo, proviamo la differenza tra i valori della funzione di

ripartizione nel limite superiore e nel limite inferiore dell’intervallo.

Per le variabili aleatorie continue non esiste differenza tra le espressioni

“minore di b” e “minore o uguale a b”, perché la probabilità che X sia

esattamente uguale a b vale 0. Abbiamo visto che la probabilità che una

variabile aleatoria continua assuma valori in un intervallo qualunque può

essere espressa ricorrendo alla sua funzione di ripartizione. Questa funzione

contiene tutte le informazioni sulla struttura probabilistica della variabile

aleatoria. La funzione di probabilità di una variabile aleatoria discreta esprime

la probabilità che la variabile aleatoria discreta assuma un determinato valore.

Poiché nel caso delle due variabili aleatorie continue la probabilità di assumere

un determinato valore è 0, questo concetto non si può applicare direttamente.

Anche per le variabili continue è possibile definire una funzione, chiamata

funzione di densità di probabilità, che permette di calcolare la probabilità che X

appartenga ad un determinato intervallo e che ha un’utile rappresentazione

grafica.

6.2 Valori attesi di variabili aleatorie continue

Per una variabile aleatoria continua la probabilità associata ogni singolo valore

in un intervallo è 0.

La media e la varianza sono due importanti misure di sintesi di una

distribuzione di probabilità. La media è una misura di tendenza centrale, dal

punto di vista della fisica si può intendere come il baricentro della

distribuzione. La varianza, o la sua radice quadrata, lo scarto quadratico medio,

fornisce una misura della dispersione di una distribuzione.

6.3 Distribuzione normale

Alcuni motivi per applicare la distribuzione normale:

1. La distribuzione normale a prossima molto bene la distribuzione di

probabilità di un numero elevato di variabili aleatorie. Ad esempio, le

dimensioni di certe parti meccaniche o i pesi delle confezioni dei prodotti

alimentari seguono spesso la distribuzione normale e questo conduce

all’applicazione nell’ambito del controllo di qualità;

2. In presenza di campioni grandi la distribuzione delle medie campionaria

è approssimata dalla distribuzione normale;

3. Il calcolo delle probabilità è immediato e schematico;

4. La ragione più importante è che la distribuzione normale è un ottimo

supporto per le decisioni in molti problemi applicativi.

La distribuzione normale ha numerose caratteristiche importanti per le analisi

applicative: in primo luogo è simmetrica e differenti baricentri sono indicati da

differenti valori della media; per contro, diversi valori della varianza

determinano funzioni di densità con diversa dispersione. Variando i valori della

media e della varianza possiamo definire una numerosa famiglia di funzioni di

densità. Differenze nella scelta della media si traducono in traslazioni

dell’intera distribuzione, differenze nella varianza, invece, determinano

distribuzioni con dispersioni diverse.

6.4 Approssimazione della distribuzione binomiale con distribuzione normale

In questo paragrafo mostreremo come la distribuzione normale possa essere

utilizzata per approssimare la distribuzione binomiale, molto usata in problemi

applicativi. Questa approssimazione può essere utilizzata per calcolare le

probabilità per grandi campioni, quando le tavole della binomiale non siano

disponibili e comporta anche molti vantaggi nella soluzione dei problemi

applicativi. Una regola pratica afferma che la distribuzione normale fornisce

una buona approssimazione della distribuzione binomiale quando np(1-p)>9.

6.5 Distribuzione esponenziale

Risulta particolarmente utile nei problemi delle code di attesa. In molti

problemi riguardanti i tempi di servizio, questi possono essere modellati

usando la distribuzione esponenziale. La distribuzione esponenziale differisce

dalla normale per due importanti aspetti: si tratta di una variabile aleatoria che

assume solo valori positivi e la sua distribuzione non è simmetrica.

CAPITOLO 7- CAMPIONAMENTO E DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE

7.1 Campionamento da una popolazione

Spesso si usano i campioni al posto dell’intera popolazione perché i costi e i

tempi delle rilevazioni su tutte le unità della popolazione sarebbero proibitivi.

Ci sono due importanti ragioni perché è più preciso scegliere di analizzare in

modo accurato un campione piuttosto che spendere risorse nel cercare di

misurare tutta la popolazione:

- In primo luogo spesso è molto difficile ottenere e misurare ogni unità

della popolazione e qualora fosse possibile il costo sarebbe molto

elevato;

- In secondo luogo si possono usare campioni opportunamente selezionati

per ottenere stime di caratteristiche della popolazione che sono molto

vicine ai veri valori registrati nella popolazione. Il campione ideale per

raggiungere questo scopo è il campione casuale semplice.

Campione casuale semplice

Un campione casuale semplice è caratterizzato dal fatto che le unità vengono

estratte una ad una, rimuovendo dalla popolazione la singola unità estratta, e

attribuendo di volta in volta, la stessa probabilità di essere estratte alle unità

rimanenti. Il campione casuale semplice risulta il modo più naturale e perciò

più utilizzato per estrarre informazioni da una popolazione. Inoltre riveste

una straordinaria importanza poiché interviene nell’ambito della costruzione

di altri campioni più complessi e perché costituisce il termine di paragone per

misurare l’efficienza relativa di tecniche che utilizzano altri tipi di

campionamento.

Il campionamento casuale semplice può essere realizzato in molti modi. La via

più immediata consiste nel ricorrere ad un’urna: alle unità della popolazione si

fanno corrispondere altre tante palline quanta è la popolazione, una dopo

l’altra, senza reimmissione faranno parte del campione le unità individuate dai

numeri delle palline estratte. Nella realtà il processo di estrazione descritto

viene simulato mediante le tavole dei numeri casuali. Con il campionamento

casuale si evita il rischio di ottenere un campione non rappresentativo della

popolazione. Se infatti si estraessero dalla popolazione molti campioni casuali

nessun particolare sottogruppo della popolazione sarebbe sovrarappresentato

o sottorappresentato nel campione.

La distribuzione di tutte le possibili medie campionarie costituisce una base per

i risultati inferenziale sul campione. Allo stesso modo si possono costruire altre

funzioni dei dati del campione, che chiameremo statistiche campionarie.

Distribuzioni campionarie

Data una popolazione, si consideri una sua caratteristica, ad esempio la

μ

media . Estratto della popolazione un campione, per fare inferenza sulla

caratteristica si dovrà scegliere una statistica campionaria: la media

X

campionaria nell’esempio in questione. L’inferenza è basata sul fatto che

x

ogni campione casuale determina un diverso valore della media e quindi

ognuno di essi può essere visto come una realizzazione della variabile

X

aleatoria . La distribuzione campionaria di questa statistica e la

distribuzione delle medie campionarie ottenute su tutti i possibili campioni,

della stessa ampiezza, estratti della popolazione.

7.2 Distribuzione della media campionaria

La media della distribuzione delle medie campionarie coincide con la media

della popolazione.se da una popolazione vengono estratti, in modo ripetuto è

indipendente, dei campioni di n osservazioni casuali e indipendenti, allora,

man mano che il numero di elementi del campione aumenta, la media delle

medie campionarie tende alla vera media della popolazione. La media

campionaria su un singolo campione può essere maggiore o minore della

media della popolazione, tuttavia, in media, non c’è nessun motivo per

attenderci che sia più elevata o più bassa della media della popolazione.

σ

2 2 N

σ σ −n

σ

X X

Var( )= = Var( )= x

X N−1

n

n n

√

Intervalli di accettazione

CAPITOLO 7- CAMPIONAMENTO E DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE

7.1 Campionamento da una popolazione

Spesso si usano i campioni al posto dell’intera popolazione perché i costi e i

tempi delle rilevazioni su tutte le unità della popolazione sarebbero proibitivi.

Ci sono due importanti ragioni perché è più preciso scegliere di analizzare in

modo accurato un campione piuttosto che spendere risorse nel cercare di

misurare tutta la popolazione:

- In primo luogo spesso è molto difficile ottenere e misurare ogni unità

della popolazione e qualora fosse possibile il costo sarebbe molto

elevato;

- In secondo luogo si possono usare campioni opportunamente selezionati

per ottenere stime di caratteristiche della popolazione che sono molto

vicine ai veri valori registrati nella popolazione. Il campione ideale per

raggiungere questo scopo è il campione casuale semplice.

Campione casuale semplice

Un campione casuale semplice è caratterizzato dal fatto che le unità vengono

estratte una ad una, rimuovendo dalla popolazione la singola unità estratta, e

attribuendo di volta in volta, la stessa probabilità di essere estratte alle unità

rimanenti. Il campione casuale semplice risulta il modo più naturale e perciò

più utilizzato per estrarre informazioni da una popolazione. Inoltre riveste

una straordinaria importanza poiché interviene nell’ambito della costruzione

di altri campioni più complessi e perché costituisce il termine di paragone per

misurare l’efficienza relativa di tecniche che utilizzano altri tipi di

campionamento.

Il campionamento casuale semplice può essere realizzato in molti modi. La via

più immediata consiste nel ricorrere ad un’urna: alle unità della popolazione si

fanno corrispondere altre tante palline quanta è la popolazione, una dopo

l’altra, senza reimmissione faranno parte del campione le unità individuate dai

numeri delle palline estratte. Nella realtà il processo di estrazione descritto

viene simulato mediante le tavole dei numeri casuali. Con il campionamento

casuale si evita il rischio di ottenere un campione non rappresentativo della

popolazione. Se infatti si estraessero dalla popolazione molti campioni casuali

nessun particolare sottogru