Sperimentazione industriale (ovvero statistica di base)

Teoria degli errori

Qual è la definizione di errore? Durante questo corso approfondiremo meglio l'argomento e vero, tuttavia la sua accezione comune lo inquadra come "infrazione" nei confronti di una regola, di una consuetudine ma anche come azione inopportuna e svantaggiosa, in gergo MISTAKE.

Noi però impareremo che l'errore è una proprietà intrinseca di una misura e lo tratteremo secondo la sua definizione scientifico sperimentale, la quale associa il termine incertezza, e ne fa una insostituibile parte all'interno di una misurazione, difatti ripetendo più volte una di queste, si incappa ne più ne meno, generalmente misure diverse.

Pertanto l'errore è informazione complementare alla misura.

L'incertezza

Trattiamo ora il nostro errore dal punto di vista sperimentale, ad esempio osserviamo il periodo di un pendolo attraverso varie misurazioni e ricaviamo il valore e la sua incertezza:

Es. Risultati: {2,3 s; 2,4 s; 2,5 s; 2,4 s} e consideriamo "la miglior stima" ovvero il valore medio e il suo intervallo di incertezza:

^x = ^x̄ ± δx

Pendolo 25,

t = 2,4 s ± 0,1 s

Osservando l'esempio sopra riportato possiamo vedere come l'intervallo di incertezza rappresenti: t_min < t < t_max e come quest'ultima venga espressa tramite particolare notazione, incertezza generica di misura x ± δ_x.

Adesso che sappiamo a cosa serve e come viene scritto dobbiamo

per capire come utilizzarli ovvero conoscere e saper applicare

la teoria sulle CIFRE SIGNIFICATIVE.

Per ogni misura infatti bisogna indicare solo le cifre "affidabili"

e non andare oltre la precisione dello strumento; insomma:

bisogna arrotondare sempre a 1 cifra significativa (tranne se = 1).

L’ultima cifra significativa della misura è la stessa dell’incertezza

ES:

Velocità misurata di un aereo: V = 875,43 ± 30,43 m/s

1. Arrotondo l’incertezza → V = 875,43 ± 30 m/s
2. Arrotondo la misura stimata → V = 880 ± 30 m/s

DISCREPANZA

Essa è la differenza tra le stime di due misure e può

essere di due tipologie:

• SIGNIFICATIVA: quando i due intervalli di incertezze sulle

  relative misure non sono sovrapposti e ciò indica che le

  misurazioni effettuate sono inconsistenti

• NON SIGNIFICATIVA: quando i due intervalli di incertezze sulle

  relative misure si sovrappongono e ciò indica che le

  misurazioni effettuate sono consistenti e possono avere senso.

Se invece generalizziamo il concetto, ad esempio consideriamo un set di misure da sommare al quale ne va sottratto un altro, quanto varrà l'incertezza?

ESE:

q = ∑_i=1^mx_i - ∑_i=m+1ⁿx_i

SOMMA/DIFFERENZA

L'incertezza totale si ottiene sommando tutte le incertezze (ASSOLUTE) e pertanto la propagazione è lineare

ESE:

δq = ∑_i=1^mδx_i + ∑_i=m+1ⁿδx_i

Se invece consideriamo un set di misure da moltiplicare e poi dividere per altre, la propagazione come avviene?

ESE:

q = (x₁ × x₂ × ... × x_m) / (x_m+1 ... × x_n)

PRODOTTO/QUOZIENTE

L'incertezza totale si ottiene sommando tutte le incertezze (RELATIVE)

ESE:

δq / q = ∑_i=1^m(δx_i / |x_i|) + ∑_i=m+1ⁿ(δx_i / |x_i|)

Consideriamo ora invece una misura moltiplicata per una costante (B)

ESE:

q = B × x → δq / |q| = δB / |B| + δx / |x| → δq = (δB / |B|) × B × δx

Infine possiamo osservare l'elevamento a potenza di grado "n"

ESE:

q = xⁿ = x × x × ... n volte → δq / |q| = (δx / |x|) + (δx / |x|) + ... = n × (δx / |x|)

MODA:

considerando "n" dati (osservazioni) X_i; i = 1, ..., n, la moda è il valore argomentale con la massima frequenza di occorrenza. Ad esempio, osservando (*) notiamo che la moda è 552. Considerando "n" dati raggruppati in "n" classi, la moda è il valore argomentale intermedio appartenente alla classe con la massima frequenza di occorrenza: per esempio 554.85.

Esempi:

• MONOMODALE
• BIMODALE
• ZEROMODALE

Siccome la moda può non essere un valore unico oppure non essere proprio come le precedenti, ne rappresentano le distribuzioni.

MEDIANA:

valore argomentale X_m che divide in due parti uguali l'istogramma, ovvero F_m-1 < 50% e F_m ≥ 50% con X_m-1 e X_m valori argomentali adiacenti. Vale sia per dati singoli che in classi.

Esempio:

dove la "F%" è la frequenza relativa cumulata, ovvero F_i/n e la mediana si troverà dove quest'ultima arriva al 50%, perciò 556,05

Variabili casuali discrete

La caratteristica di questo studio in particolare è che per ogni risultato di un dato evento aleatorio (E) esiste una probabilità finita ≥ 0. Ogni evento corrisponde una variabile casuale (x) che assume un valore assegnato (X) tale che

Es:

E : x = X → Pr (E) = Pr (x = X)

dove "x" può assumere N valori X_i ; i = 1 ... N Potento avremo che ogni valore che assume la nostra variabile avrà una relativa probabilità e che eventi corrispondenti a valori differenti di "X" sono incompatibili

Es:

Pr (x = X_i) = p_i(x) , Pr (x = x_i ; n = x = X_j) = 0 → i ≠ j

Otteniamo così che la somma di tutto sarà l'intero spazio campionario con

Es:

∑_i=1^N p_i (x = X_i) = ∑_i=1^N p_i (x) = 1

Osserviamo l'esempio di prima

Es:

• X
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7

• p(x)
• 1/36
• 2/36
• 3/36
• 4/36
• 5/36
• 6/36

• X
• 8
• 9
• 10
• 11
• 12

• p(x)
• 5/36
• 4/36
• 3/36
• 2/36
• 1/36

(*)

Ora che avremo una distribuzione, come possiamo caratterizzarla? Ovvero come possiamo sintetizzarla e trarre conclusioni a riguardo? Valutiamo così una misura di posizione e una di dispersione