Esercitazioni di Tecniche e strumenti per la sperimentazione

GUIDA AGLI

ESERCIZI DI

STATISTICA

1

Distribuzione

Gaussiana

CASO 2

Ci viene chiesto di determinare le probabilità cumulate dell'intera popolazione dato \((\bar{X}, Sx, N)\) di una serie di misurazioni. Le probabilità cumulate sono del tipo:

• P(n ≤ x1)
• P(x1 ≤ x ≤ x2)

1. Possiamo dal campione alla popolazione:

   • M = \(\bar{X}\)
   • \(\sigma = \frac{Sx}{\sqrt{N}}\)

2. Calcoliamo i valori di \(z\):

   • \(z_1 = z(x_1) = \frac{x_1 - M}{\sigma}\)
   • \(z_2 = z(x_2) = \frac{x_2 - M}{\sigma}\)

   Entriamo nelle tabelle e troviamo:

   • z₁ (in) → P(z ≤ z₁) (out)
   • z₂ (in) → P(z ≤ z₂) (out)

   e tenendo conto di:

   • z ≥ 0 → P = 1-α
   • z < 0 → P = α

3. Calcoliamo \(P(x_1 ≤ x ≤ x_2) = P(z_1 ≤ z ≤ z_2)\):

   P(z₁ ≤ z ≤ z₂) = P(z ≤ z₂) - P(z ≤ z₁)

   Mentre invece \(P(n ≥ x_1) = P(z ≥ z_1)\) era stato già calcolato in 2).

Metodo X² (quantitativo)

Serve a verificare se una certa distribuzione sperimentale corrisponde o meno al modello matematico di una funzione teorica di densità di probabilità normale (gaussiana) permettendo inoltre di valutare la bontà dell’approssimazione.

Applicazione:

1. Ordinare il campione in modo crescente _{[x1, x2, ..., xn]};
2. Calcolare _x̄ di Sx del campione;
3. Suddidivere i dati del campione in classi. Bisogna scegliere il numero k di gruppi in cui dividere il campione. I gruppi devono avere per quanto possibile dimensione simile ed altri elementi uguali devono stare nello stesso gruppo;
4. Determinare in classe le frequenze assolute osservate _no e le frequenze assolute teoriche _ne mediante tabelle o mediante integrazione numerica.

Più nello specifico, immaginiamo che nel 3 pt. abbiamo una situazione del genere:

• Gruppo 1: Intervallo (-∞, x₁), No: numero di osservazioni presenti all'interno di ogni gruppo
• Gruppo 2: Intervallo (x₁, x₂)
• Gruppo 3: Intervallo (x₂, x₃), e.g. tutti i gruppi da selezionati, No = 5
• Gruppo 4: Intervallo (x₃, +∞)

ne: vediamo calcolati indirettamente utilizzando una distro normale quindi una variabile standardizzata.

3) Calcoliamo ora i valori z_j = ^{x_j - X̄}/_Sx ∀ elemento j del campione e scarteremo tutti quei valori tali per cui z_j < -z* ∧ z_j > z*

A questo punto considereremo il nuovo campione con l'esclusione dei valori e possiamo decidere di fermarci o di continuare in maniera iterativa con i nuovi valori di X̄ e Sx del nuovo campione.

(x̄) (V_ini) (P%)_.

RISULTA = NUMERO ± INCERTEZZA [u.m] (livello di confidenza)

numero = valore più probabile del misurando, ovvero il valore medio.

incertezza = costringe l’osservatore nei valori che potrebbe essere

ragionevolmente attribuiti al misurando.

livello di confidenza = rappresenta la possibilità che il valore vero cada

nell’intervallo specificato dall’incertezza di misura.

SISTEMA ISO:

• Incertezza di TIPO A: è l’incertezza che può essere ottenuta dall’osservazione
• diretta della distribuzione statistica dei risultati
• di una serie di misurazioni, usando o determinare
• la deviazione standard.

[V_A(i)]

• Incertezza di TIPO B: è l’incertezza ottenuta assumendo arbitrariamente
• una distribuzione statistica per i dati

[U_B(i)]

• INCERTEZZA ESTESA: intervallo dei valori entro il quale si può
• ragionevolmente ritenere che si trovi incluso il
• valore vero, con un grado di confidenza.

[U_ini]

U(ni) = K√U²_A(ni) + U²_B(ni)

ρ(K, V(P%), livello di confidenza)

CALCOLO INCERTEZZA DI TIPO A

U_A(cn) = S_x / √N

N: numero elementi campione

Bisogna associare un fattore di copertura. Possiamo avere 4 casi:

1. Conosciamo solo S_x: in questo caso assumiamo una distribuzione gaussiana ed un coefficiente del 95% (K = 2);
2. Conosciamo S_x e p%: scegliamo il Gaussiano per det. k;
3. Conosciamo S_x e N: si assume p% ≃ 95% e si usa un distr. t di Student;
4. Conosciamo S_x, N e p%: abbiamo tutte le info per det. K.

EX 4:

• Ci viene dato un campione di misure [m₁, m₂, ... mn]
• Ci viene data la incertezza (δ) dello strumento
• Ci viene chiesto di esprimere la misura con una p%.obb.
• Calcola X e S_x
• Calcola U_A(mis) = ^S_x/_√N
• Calcola U_B(mis) con uno distro rettangolare

U_A(mis) = δ/2√3

• Calcola l'incertezza estesa U_(mis) = √(U_A(mis)² + U_B(mis)²)
• Calcola K nel caso di N>30 o nel caso di N