Guida agli esercizi di statistica 1
Distribuzione gaussiana
La distribuzione di Gauss è espressa dalla funzione di densità:
f(z) = 1/√2π e-z2/2
Dove:
z = x - μ/σ
L'area sottesa rappresenta la probabilità che un valore qualsiasi z cada in un determinato intervallo.
Esempio:
- P = ∫z1z2 f(z) dz
- P = ∫-∞z1 f(z) dz
Nota: AREATOT = ∫-∞+∞ f(t) dt = 1
Per determinare questi integrali ci serviamo di tabelle, dove mediante il valore di z ci verrà restituito un valore α. In base al segno di z, vogliamo P = α se z > 0.
Caso 1
Ci viene chiesto di determinare una P(X̄₁ ≤ n ≤ X̄₂) oppure P(X ≤ X̄₂) dato un campione oltre n valori [X̄₁, X̄₂, ..., X̄n]. Queste probabilità vengono richieste per il campione in esame e non per l'intera popolazione.
-
Calcolo X̄ e SX:
- X̄ = ^(xi)/SX = √[∑(ni - X̄)² / ]
- Per n ≥ 30 si usa ()
- Per n ≤ 30 si usa (n-1)
-
Calcolo Z₁ e Z₂:
- Z₁ = z(X̄₁) = (X̄₁ - X̄) / SX
- Z₂ = z(X̄₂) = (X̄₂ - X̄) / SX
Entro nelle tabelle con i singoli valori e per ognuno calcolo la probabilità accumulata, ovvero:
- ∀ z (in) → α (out) da cui
- Z₁ (quando Z > 0) P(z₁ ≤ z) oppure P(z ≤ Z₂) / α (quando Z)
- Se (verso più piccolo individuato ab una retta verticale z)
- Se Z > 0 α è a dx
- Se Z > 0 P(Z₂ ≤ z Z₁) = 1- α
- Nota: quando il valore di z arriva fino alla terza cifra decimale, ad esempio z=0,725, all'interno della tabella avremo solo valori fino alla seconda cifra decimale e dunque dovremo fare un'interpolazione di valori:
Se come nell'esempio z=0,725 allora:
0,725 - 0,720---------- = α - α10,730 - 0,720 α2 - α1 con d1 e d2 noti(noti) α2(out) α(noti) α1
z1 z z2(0,720) (0,730)(in)
-
Calcolo P(x1 ≤ x ≤ x2) ≡ P(z1 ≤ z ≤ z2) come:
- P(z1 ≤ z ≤ z2) = P(z ≤ z1) - P(z ≤ z2)
-
Calcolo P(x ≤ x1) ≡ P(z ≤ z1) come:
- P(z ≤ z1) con il valore prima trovato nella tabella.
Caso 2
Ci viene chiesto di determinare le probabilità cumulate dell'intera popolazione dato (x̄, Sx ∧ N) di una serie di misurazioni. Le probabilità cumulate sono del tipo:
- P(x ≤ xn1)
- P(xn1 ≤ x ≤ xn2)
-
Passiamo dal campione alla popolazione:
- μ = x̄
- σ = Sx / √N
-
Calcoliamo i valori di z:
- z1 = z(xn1) = (xn1 - μ) / σ
- z2 = z(xn2) = (xn2 - μ) / σ
-
Entriamo nella tabella e troviamo:
- z1 (in) ⟶ P(z ≤ z1) (out)
- z2 (in) ⟶ P(z ≤ z2) (out)
-
E tenendo conto di:
- z > 0 ⟶ P = 1 - α
- z
-
Calcoliamo P(xn1 ≤ x ≤ xn2) ≡ P(z1 ≤ z ≤ z2):
- P(z1 ≤ z ≤ z2) = P(z ≤ z2) - P(z ≤ z1)
-
Mentre per P(x ≥ xn):
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