Specifiche di progettazione di un sistema di controllo

SPECIFICHE dei SISTEMI di CONTROLLO

LEZIONE 22 - 13/12/2022

• STABILITÀ: Si studia la stabilità robusta (quanto "lontani" si è dalla stabilità)
• PRECISIONE: STATICA → Valutata con sistemi a regime (transitorio esaurito)
• DINAMICA → Capacità del sistema di inseguire un ingresso di riferimento variabile
• RAPIDITÀ DI RISPOSTA
• REIEZIONE DEI DISTURBI
• INSENSIBILITÀ ALLE VARIAZIONI PARAMETRICHE
• STABILITÀ (dominio frequenze)

Se due sistemi hanno passo di campionamento diverso non si può confrontare la stabilità:

Reducono il passo di campionamento, il polo tende all'instabilità e per T → ∞ il polo sarà sulla CU.

Sia data la seguente uscita:

All'aumento della frequenza di campionamento, la differenza tra i campioni sarà sempre più piccola e il sistema sembrerà più lento, e convergerà in più tempo, dunque diminuisce la stabilità.

Si possono confrontare solo sistemi aventi stesso T.

MARGINI

• Margine di ampiezza

M_a = ¹⁄_|G(e^jωTT)|

• Se M_a > 1 ⟶ AS
• L'ottimale è che 2 ≤ M_a ≤ 6

Tanto più è grande il margine di ampiezza tanto più si può aumentare il guadagno del sistema evitando che diventi instabile.

Margine di Fase

M_F = φ + Χ_p G(e^jωT)

• 40° ≤ M_F ≤ 60°

Picco di Risonanza

ξ ha a partire da sistemi di secondo ordine

• M_R = ¹/_{2ξ√(1-ξ²)}
• ω_R = ω_n √(1-ξ²)

• Per ξ → 0 il sistema è meno stabile → il picco aumenta al diminuire di ξ
• Di solito M_R ≥ 3dB ↔ ξ ≃ 0,4

(dominio del tempo)

Sovraelongazione Percentuale (overshoot)

• O_S% = ^{y(t_p) - y(∞)}/_y(∞) ∗ 100

Aumenta all'aumentare di ξ

• 10% ≤ O_S% ≤ 25%
• ξ_p ≃ 0,6
• ξ_p ≃ 0,4

All'aumentare del guadagno il sistema sottosmorzato si stabilizza a regime più rapidamente ma con overshoot notevole.

risulta che F(z) = D(z) - 1

Invece che contare i giri di D(z) intorno all'origine posso valutare il numero di giri di F(z) intorno a -1

F(z) deve essere valutata lungo tutta la circonferenza unitaria

\(z=e^{j\omega t} \ \ \omega \epsilon [0;\pi r]\Rightarrow z = e^{j\omega T}

\omega c=[\omega s 2 ,\omega s 2 ]\)

\(F(z) \rightleftarrows e^{j\omega T} = F(e^{j\omega T}\)

FUNZIONE DI RISPOSTA ARMONICA ASSOCIATA DELLA F(z)

Quindi, conoscendo i poli in audio aperto possiamo stabilire quelli in audio chiuso.

TRACCIARE IL DIAGRAMMA di F(z)

Data F(z) ave z=e^{j\omega T}\rightleftarrows e^{-j\omega T} (complesso coniugato di z)

calcolando F(z)=Me^{j\varphi}=F(z\)

z_1 \quad z^-1

hanno stesso modulo e fase opposta.

! Possiamo tracciare il diagramma di F(z) con \(\omega\) \(\epsilon [0;\omega s2] \)

e poi "ribaltarlo" rispetto l'asse reali

Quindi, per valutare la stabilità di G0(z) è necessario

• calcolare F(z) = L(z) : H(z) \quad z=e^{j\omega T}\
• Tracciare il diagramma polare di F(e) di verione di \(\omega\) \(\epsilon [0 , \omega s 2 ]\) e ribaltato
• Applicare il principio dell'argomento

OSS

Qualora G(z) avesse poli sul cerchio unitario (stabilito sempre), deve valere

• D(z) = 1 + F(z)\rightleftarrows\quad con z.O circhio unitario
• allora F(z)= -1\rightleftarrows\quad F(e^{j\omega T} =-1
• averno il diagramma PASSA da -1