Specifiche di progettazione di un sistema di controllo

Specifiche dei sistemi di controllo

Stabilità

Si studia la stabilità robusta (quanto "lontani" si è dalla stabilità).

Precisione

• Statica → Valutata con sistemi a regime (transitorio esaurito).
• Dinamica → Capacità del sistema di inseguire un ingresso di riferimento variabile.

Rapidità di risposta

La rapidità di risposta è un parametro fondamentale per valutare le prestazioni di un sistema di controllo.

Reiezione dei disturbi

La capacità di un sistema di controllare e ridurre l'impatto dei disturbi esterni.

Insensibilità alle variazioni parametriche

Importante per garantire la robustezza del sistema a fronte di variazioni nei parametri.

Stabilità (dominio frequenze)

Se due sistemi hanno passo di campionamento diverso non si può confrontare la stabilità. Riducendo il passo di campionamento, il polo tende all'instabilità e per T → ∞ il polo sarà sulla CU. All'aumento della frequenza di campionamento, la differenza tra i campioni sarà sempre più piccola e il sistema sembrerà più lento, e convergerà in più tempo, dunque diminuisce la stabilità. Si possono confrontare solo sistemi aventi stesso T.

Margini

Margine di ampiezza

M_a = ¹⁄_|G(e^jωTT)|

Se M_a > 1 ⟶ AS. L'ottimale è che 2 ≤ M_a ≤ 6. Tanto più è grande il margine di ampiezza tanto più si può aumentare il guadagno del sistema evitando che diventi instabile.

Margine di fase

M_F = φ + Χ_p G(e^jωT)

40° ≤ M_F ≤ 60°.

Picco di risonanza

ξ ha a partire da sistemi di secondo ordine:

• M_R = ¹/_{2ξ√(1-ξ²)}
• ω_R = ω_n √(1-ξ²)

Per ξ → 0 il sistema è meno stabile → il picco aumenta al diminuire di ξ. Di solito M_R ≥ 3dB ↔ ξ ≃ 0,4.

Sovraelongazione percentuale (overshoot)

O_S% = ^{y(t_p) - y(∞)}/_y(∞) ∗ 100

Aumenta all'aumentare di ξ. 10% ≤ O_S% ≤ 25%.

ξ_p ≃ 0,6. ξ_p ≃ 0,4.

All'aumentare del guadagno il sistema sottosmorzato si stabilizza a regime più rapidamente ma con overshoot notevole.

Funzioni e diagrammi

Risulta che F(z) = D(z) - 1. Invece che contare i giri di D(z) intorno all'origine, posso valutare il numero di giri di F(z) intorno a -1. F(z) deve essere valutata lungo tutta la circonferenza unitaria.

\(z=e^{j\omega t} \ \ \omega \epsilon [0;\pi r]\Rightarrow z = e^{j\omega T}\)

Funzione di risposta armonica associata della F(z).

Quindi, conoscendo i poli in audio aperto possiamo stabilire quelli in audio chiuso.

Tracciare il diagramma di F(z). Data F(z) ave z=e^{j\omega T}\rightleftarrows e^{-j\omega T} (complesso coniugato di z).

Calcolando F(z)=Me^{j\varphi}=F(z)

z_1 \quad z^-1 hanno stesso modulo e fase opposta.

! Possiamo tracciare il diagramma di F(z) con \(\omega\) \(\epsilon [0;\omega s2]\) e poi "ribaltarlo" rispetto l'asse reali.

Quindi, per valutare la stabilità di G0(z) è necessario calcolare F(z) = L(z) : H(z) \quad z=e^{j\omega T}

Tracciare il diagramma polare di F(e) di verione di \(\omega\) \(\epsilon [0 , \omega s 2 ]\) e ribaltato.

Applicare il principio dell'argomento.

OSS: Qualora G(z) avesse poli sul cerchio unitario (stabilito sempre), deve valere D(z) = 1 + F(z)\rightleftarrows\quad con z.O cerchio unitario allora F(z)= -1\rightleftarrows\quad F(e^{j\omega T} =-1 avremo il diagramma passa da -1.