Sistemi lineari e a scala - Dimostrazioni teoremi spiegate

SISTEMI LINEARI

(pt. 1)

Conseguenza: usando l'eliminazione di Gauss il sistema ottenuto è equivalente a quello iniziale (1).

Lemma (vedi pag. 50 libro)

Fatto importante: Facendo combinazioni lineari di equazioni di un sistema lineare le soluzioni non cambiano.

DIMOSTRAZIONE:

Dalla definizione di soluzione, sappiamo che una soluzione di un sistema lineare Ax = b è una n-upla (v₁, …, vₙ) di numeri che sostituite alle incognite (x₁, …, xₘ) soddisfano tutte le equazioni del sistema.

⇒ Quindi, Ax = b equivale a dire { a₁v₁ + … + aₙvₙ = b c₁v₁ + … + tₙvₙ = b

Essendo Āx = b̃ combinazione lineare di Ax = b, allora anche Āx̃ = 0 sarà combinazione lineare di Ax = b. Di conseguenza, Āx̃ = b̃ ha le stesse soluzioni di Ax = b, ovvero Āx̃ = b̃ e Ax = b sono equivalenti.

⇐ Al contrario, se (v₁, …, vₙ) è soluzione di Āx̃ = b̃ ∀h, k ∈ ℝ, h ≠ 0 h(a₁v₁ + … + aₙv₁) + k(b₁v₁ + … + bₙvₙ) = ha + kb allora la soluzione (v₁, …, vₙ) sarà tale anche per a₁v₁ + … + aₙvₙ = b₁v₁ + … + bₙvₙ, ovvero per le equazioni del sistema lineare Ax = b.

Sistemi Lineari (pt.2)

Sistemi a Scala

Lemma

Sia \( S \in \mathbb{R}^{m \times n} \) una matrice a scala con \( r \) pivot.

Poniamo

\( V_r = \left\{ \begin{bmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_r \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^m \mid b_1, \ldots, b_r \in \mathbb{R} \right\} = \text{span}(e_1, \ldots, e_r) \subseteq \mathbb{R}^m \)

Indichiamo, per \( k = 1, \ldots, r \), con \( S^{J_k} \) la colonna di \( S \) con pivot \( p_k \).

Allora:

• Im \( S = V_r \);
• rg \( S = r \);
• \(\{ S^{J_1}, \ldots, S^{J_r} \}\) è una base di Im \( S \).

Spiegazione del lemma (1^a parte)

Se \( S \) è la matrice a scala associata a \( V_r \):

\( S = \begin{bmatrix} b_1 & * & * & * \\ 0 & \cdot & * & * \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & * & b_r & * \\ 0 & \cdot & \cdot & 0 \end{bmatrix} \)

Teorema (!)

Sia Ax=b ∈ℝ^m×n sistema lineare e Sx=c unasua riduzione a scala.

Allora:

1. Lo spazio delle soluzioni di Ax=b è uguale allo spazio delle soluzioni di Sx=c
2. ker A = ker S
3. rg A = rg S
4. Siano S_J1 ... S_Jr dove r = rg S, le colonne corrispondenti ai pivot di S, allora {A^J₁,..., A^J_r} è una base di Im A

Dimostrazione:

1. Siccome S è ottenuta attraverso varie combinazioni lineari, per il lemma sui sistemi equivalenti, Ax=b è equivalente a Sx=0, ovvero possiedono lo stesso spazio di soluzioni.
2. Sapendo che se Bx=d è un sistema lineare qualunque, il sistema Bx=0 è il sistema omogeneo associato al sistema Bx=d. Allora, per il punto (i), possiamo dire che il sistema Ax=0 è equivalente al sistema Sx=0, di conseguenza, per definizione di kernel, ker A = ker S
3. Sapendo che A, S ∈ℝ^m×n allora, per il teorema delle dimensioni sappiamo che per il punto (ii) rg A = n - dim ker A = n - dim ker S = rg S