Introduzione ai sistemi lineari

Introduzione ai sistemi lineari

Definizioni

Un'equazione lineare è espressa come: a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = b.

Un sistema di equazioni lineari è descritto come:

• a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁
• a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂
• …
• a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = b_m

Un sistema di equazioni lineari è detto omogeneo se e solo se b_i = 0 per ogni i = 1, …, n.

Un sistema è compatibile se ammette almeno una soluzione.

Matrici

Matrice: una matrice è una tabella di numeri, dove m è il numero di righe e n è il numero di colonne (vedi esempio di matrice 2x3).

(R_m,n): insieme delle matrici con m righe e n colonne.

Esempio di matrice:

Una matrice è detta quadrata quando presenta lo stesso numero di righe e di colonne. In tal caso, è detta di ordine n.

(R_n,n): insieme delle matrici quadrate.

Matrice a scala

Una matrice è detta a scala se il primo elemento non nullo di ogni riga (non nulla) si trova più a destra del primo elemento non nullo della riga precedente (vedi esempio).

Sistemi di equazioni lineari in forma matriciale

Dato un generico sistema di equazioni lineare come quello qui descritto:

• a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁
• a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂
• …
• a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = b_m

Può essere descritto in forma matriciale utilizzando il prodotto di righe per colonne tra matrici:

Da qui si ottiene la forma: Ax = b, dove A è la matrice dei coefficienti e b è il vettore dei termini noti.

Pivot

Il pivot di ciascuna riga (non nulla) è il primo elemento non nullo che la caratterizza.

Rango

Il rango di una matrice è il numero di righe non nulle o, equivalentemente, il numero di pivot della matrice in analisi.

NB: rk(A) ≤ m, rk(A) ≤ n ⇒ rk(A) ≤ min(m,n)