Introduzione ai sistemi lineari

Introduzione ai sistemi lineari

Definizioni: + + ... + =

Equazione lineare: a x a x a x b

1 1 2 2 n n

⎧ + + ... + =

a x a x a x b

11 1 12 2 1n 1

n

⎨ + + ... + =

a x a x a x b2

21 1 22 2 2n n

Sistema di equazioni lineari: ⎩ … + + ... + =

a x am2x a x b

1 2

m1 mn n n

= 0 ∀i =

Un sistema di equazioni lineare è detto omogeneo se e solo se b

i

0, 1, … , n

Sistema compatibile: un sistema di equazioni lineari è detto compatibile se e solo se

ammette almeno una soluzione.

Matrici:

Matrice: una matrice è una tabella di numeri, dove è il numero di righe e è il

mn m n

numero di colonne che compongono la tabella (vedi esempio di matrice 2x3).

(R)

: insieme delle matrici con righe e colonne.

M m n

m,n 1 2 9

[ ]

2 2 5

Matrice quadrata: una matrice è detta quadrata quando presenta lo stesso numero di

righe e di colonne. In tal caso, la matrice è detta di ordine , dove è il numero di righe

n n

e colonne.

(R)

: insieme delle matrici con righe e colonne.

M n

n

Introduzione ai sistemi lineari 1

Matrice a scala: una matrice è detta a scala se il primo elemento non nullo di ogni riga

(non nulla) si trova più a destra del primo elemento non nullo della riga precedente (vedi

esempio). ⎡ ⎤

1 2 3 4

0 0 6 8

⎣ ⎦

0 0 0 1

Sistemi di equazioni lineari in forma matriciale: dato un generico sistema di

equazioni lineare come quello qui descritto,

⎧ + + ... + =

a x a x a x b

11 1 12 2 1n 1

n

⎨ + + ... + =

a x a x a x b2

21 1 22 2 2n n

⎩ … + + ... + =

a x am2x a x b

1 2

m1 mn n n

può essere descritto in forma matriciale utilizzando il prodotto di righe per colonne tra

matrici come di seguito: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⋯

a a a x b

11 12 1n 1 1

⋯

a a a x b

21 22 2n 2 2

= ⇒ =

A

x b ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⋯

a a a x b

m1 m2 mn m m

⎡ ⎤

⋯ ∣

a a a b

11 12 1n 1

⋯ ∣

a a a b

21 22 2n 2

(A∣ ) = : matrice completa associata al sistema

b ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ∣ ...

⎣ ⎦

⋯ ∣

a a a b

m1 m2 mn m

Pivot: il pivot di ciascuna riga (non nulla) è il primo elemento non nullo che la

caratterizza.

Rango righe (prime definizioni) di una matrice: numero di righe non nulle o,

equivalentemente, il numero di pivot della matrice in analisi.

Introduzione ai sistemi lineari 2

≤ ≤ ⇒ ≤

NB: → il rango di una

rk(A) m, rk(A) n rk(A) min(m, n)

matrice è sempre minore del numero di righe e/o di colonne.

Somma di due matrici + + +

[ ] [ ] [ ]

a b c A B C a A b B c C

+ = + + +

d e f D E F d D e E f F

La somma tra due matrici è possibile se e solo se appartengono allo stesso

insieme di matrici, ovvero solo se hanno lo stesso numero di righe e di

colonne!

Prodotto righe per colonne tra due matrici ⎡ ⎤

A B

[ ]

a b c

= = ⎣ ⎦

Date due matrici e , ad esempio e , il prodotto

A B A B C D

d e f E F

righe per colonne tra queste due matrici è così calcolato:

+ + + +

[ ]

aA bC cE aB bD cF

= =

C AB + + + +

dA eC fE dB eD fF

NB: il prodotto righe per colonne tra due matrici è possibile se e solo se il

numero di colonne della prima matrice equivale al numero di righe della

seconda matrice (non è invece necessario che il numero di righe della prima

matrice equivalga al numero di colonne della seconda matrice).

Il prodotto righe per colonne tra due matrici gode inoltre della proprietà associativa e

della proprietà distributiva rispetto alla somma, ma non gode della proprietà

commutativa.

Introduzione ai sistemi lineari 3