Sistemi dinamici - parte 1

Sistemi Dinamici

parte 1

Automatica

ἀυτομάτος : che agisce di propria volontà o che si muove da sé

Tre parole chiave dell’automatica:

• Sistema: (ἀν-ίστημι : unire, mettere insieme). È una delimitazione della realtà di analisi (organi) caratterizzata da:
  • Strutture: fatte da un insieme di sottosistemi
  • Scambi: interazione tra sottosistemi ed esterno
  • Processo: funzione che i sottosistemi devono svolgere insieme
• Feedback: retroazione, letteralmente "alimentare dell’indietro". Consiste nel misurare con dei sensori informazioni sullo stato del sistema e controllare per ottenere attraverso un controllore dei segnali che un attuatore rende nuove sollecitazioni al sistema da controllare e così via in loop. Per costruire un feedback positivo è necessario conoscere il sistema con cui si interagisce, usando per esso un buon modello.
• Modello. Usiamo continuamente modelli per semplificare la complessità delle vite che ci circonda. Il modello di un sistema è una sua rappresentazione quantitativa e/o qualitativa in termini di struttura, schema e processo.Ogni sistema ha infiniti modelli e più livelli di rappresentazione; perché ogni modello rappresenta infiniti sistemi. Essendo essi, infatti, sintetici, possono rappresentare funzioni e non solo proprie dello originali che ha ispirato il modello, ma anche di un altro orginale diverso del primo ma con lo stesso modello.

Noi parleremo di Sistemi Dinamici Lineari Tempo-invarianti e Sistemi Dinamici Lineari Tempo-Continuo.

ESAME:

• Scritto: 2 esercizi
• Dominio del Tempo
• Dominio delle frequenze
• Orale: modello su Matlab/Simulink + Teorie

Gradino di ampiezza unitaria

f(t) = {1 t ≥ 0 = (t)

F(s) = ∫₀^∞ e^-st dt = 1/s ∫₀^∞ e^∫ d∫

= 1/s [e^∫]₀^∞ = -1/s (0 - 1) = 1/s

Proprietà di Traslazione Temporale

L [f(t-t_o) 1(t-t_o)] = e^-st_o F(s)

L [1(t)] = 1/s

f(t) ↝ A1(t)

f(t) ↝ A1(t-t_o)

= A_to1(t) - A_to1(t-t_o)

-Dimostrazione della proprietà:

F(s) = ∫₀^∞ f(t) e^-st dt

∫₀^∞ f(t-t_o) 1(t-t_o) e^-st dt = ∫₀^∞ f(∫) 1(∫) e^-s(t_o) d∫

= e^-st_o ∫₀^∞ f(∫) 1(∫) e^-s∫ d∫

= e^-st_o F(s)

L[ e^-1t cos (wt) 1(t)] = ^{s + 1}/_{(s + 1)² + w²}

L[ e^-3t 1(t)] = ¹/_(s+3)

Teoremi sulla Trasformata di Laplace

Teorema della derivazione di una funzione reale

L[ ^d/_dt f(t)] = sF(s) - f(0)

Dimostrazione:

^d/_dt ∫ e^-st f(t) dt = [F(t) e^-st] - ∫ ₀^∞ f(t)_-(-se^-st) dt = - f₀ + s ∫ ₀^∞ f(t) e^-stdt

= sF(s) - f(0)

- Esempi:

• L[ cos wt 1(t)] = L[ ¹/_w d_senwt 1(t)] = 1/_w L[ ^d/_dt sen wt 1(t)]

^d/_dt sin t = cos t

= 1/_w(s ^w2/_{s² + w²} - 0)

^d/_dt sin wt = wcoswt

• L[ sen wt 1(t)] = -1/_wL[ ^d/_dt cos wt 1(t)] = -1/_w(s ^s/_{s² + w²} - )

Dovrei calcolare il valore del cos in 0;

me l(t) = cos(wt)1(t) è nulla prima di 0 e vale 0 per 0^- mentre vale 1 per 0⁺; cioè le derivate della funzione ha una discontinuità. Vediamo nello specifico le derivate:

_f'(t) →

∫[f(t) dt (1 - e^-st)]₀^∞ + 1/s ∫₀^∞ f(t) e^-st dt =

= F(s) + 1/s ∫ f(t) dt/t = 0

F(s)/s + F^-1(0)/s

C.V.D.

Questa stessa dimostrazione ci permette di dimostrare anche

che:

[∫₀^t f(t) dt] = F(s)/s

questo perciò posso scrivere :

∫₀^t f(t) dt = ∫₀^t f(t) dt - f^-1(0)

per linearità avrò:

[∫₀^t f(t) dt] = [∫₀^t f(t) dt] - [f^-1(0)] = F(s)/s + f^-1(0)/s - f^-1(0)

-Teorema delle derivate di funzioni composte

[t f(t)] = - d/ds F(s)

-Dimostrazione:

∫₀^∞ t f(t) e^-st dt = - ∫₀^∞ f(t) (d/ds e^-st) dt = - d/ds ∫₀^∞ f(t) e^-st dt

= - d/ds F(s)

-Esempi:

[3t (1(t))] = 3 [t 1(t)] = -3 d/ds (1/s) = + 3/S²

[t sen wt 1(t)] = - d/ds sen wt 1(t) = - d/ds (ω/s²+ω²)

=> Ho mix di coseno e seno

L⁻¹[Fs] = (e⁻ᵗ cos(t) + 7e⁻ᵗ sen(t)) 1(t)

coseno modulate dell'esponenziale

Dunque, in generale, se ho una situazione del genere:

in cui a denominatore ho dei poli complessi e coniugati,

- Pol. Reali → Scomposizione in Fratti Semplici

- Pol. Complessi e coniugati → Scomposizione in Fratti Semplici oppure tramite le trasformate di Laplace di seno e coseno:

insomma, eseguo manipolazioni algebriche per ottenere le forme di Laplace di seno e coseno.

- Come disegno la somma di seno e coseno? Una possibilità è quella di disegnare separatamente i termini di seno e coseno per poi sommarli; tuttavia possiamo sommarli in modo più compatto mettendo in evidenza √a²+b² in questo modo:

cos wt + b sen wt = (cos wt + sen wt) = (sen wt cosβ + cos wt senβ) = (sen (wt+β))

così facendo, i termini evidenziati sono entrambi sicuramente compresi tra -1 e +1; infatti, ad esempio, nel primo caso

L'esponenziale è molto più veloce rispetto al periodo delle oscillazione:

Dunque, i modi sono oscillatori ma, a seguito del fatto che la costante di tempo è molto più piccola rispetto al periodo del modo pseudo-periodico (seno), vedrò un andamento di questo tipo perché lo smorzamento dovuto all'esponenziale avverrà molto prima delle oscillazione. Tuttavia se ω fosse stato molto piccolo con una costante di tempo molto grande, avrei visto un situazione di questo tipo:

Se applico un gradino a un sistema in questo modo:

cioè, se applico un gradino a un sistema del secondo ordine con poli complessi e coniugati, mi aspetto una risposta oscillante che tende a un valore costante (vedremo meglio nel corso)...

Cosa succede se l'equazione differenziale non è omogenea?

\(\ddot{x} + 3 \dot{x} + 2 = u\)

\(\dot{x}(0) = \dot{x}_o = 2\)

\(x(0) = x_o = 5\)

In ambito sistemistico, l'equazione differenziale ci indice il portamento del sistema, la "u" rappresenta l'ingresso del sistema, ovvero il forzamento; ciò ci permette di valutare il comportamento del sistema nello specifico ingresso considerato. Se \(u(t): A[1(s)]\) , \(U(s): A[5(s)]; (s^2 + 3s + 2)\overline{X(s) = s^2 + 5 + 3s + (A/5(s+1)(s+2))}\)

Cioè per l'incerte posso scrivere l'evoluzione di un sistema lineare tempo-invariante come le somme dell'evoluzione libera più l'evoluzione forzata, e quindi è la risposta del sistema con forzamento diverso da 0 e condizioni iniziali nulle (non dipende dalle condizioni iniziali).

Funzioni di Trasferimento

Un sistema è schematizzabile in questo modo, ovvero è un mezzoo che "genera" un effetto e una specifica causa d'ingresso. Un sistema dinamico è... sistema che varia nel tempo; affinché non sia una dinamica tra cause ed effetto, ci deve essere una "relazione" tra l'ingresso e l'uscita del sistema, cioè non mi basta più dire che effetto = \(f(cause)\), ovvero che l'effetto è una funzione statica delle cause. C'è qualcosa di più che, appunto...