Appunti di serie storiche

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F F X X1 1 1 1anomalo. Nel caso si utilizza un valore medio di un certo numero di osservazioni per evitare effetti ditrascinamento tipici dello smoothing esponenziale.: peso da assegnare all'errore di previsione; valore compreso tra (0,1). Se alpha è prossimo a 0 si dà poco peso all'errore di previsione mentre se è prossimo a 1 se ne dà tanto. Per scegliere alpha o si usano informazioni a priori sul fenomeno (spesso non disp) o si ipotizza a priori un valore. La scelta di alpha è comparabile agli effetti della scelta del numero n nelle MM semplici. Se prossimo a zero maggior smoothing se è prossimo a 1 minor smoothing. Se SS stazionarie alpha prossimo a 0 se evolutiv prossimo a 1.

Come si valutano i valori anomali? Una strategia basata sul boxplot. Regola del 1.5 (soglia di Tukey) - 1.5 * La soglia inferiore è stata fissata in Q IQR1 + 1.5 * La soglia superiore è stata fissata in Q IQR3sse-modulo 2 (e 1)

Componenti di una SSI metodi di previsione si basano sul fatto che, se esiste un pattern sistematico, questo possa essere individuato e separato da eventuali oscillazioni accidentali mediante metodi di smoothing. I metodi di decomposizione tendono a individuare due pattern:

1. il trend-ciclo, che può essere diviso a sua volta in componente di fondo (trend) e oscillazioni congiunturali (ciclo).
2. la stagionalità.

I modelli visti fino ad ora non effettuano alcun tentativo di identificarle separatamente, ma si limitano a proiettare nel futuro il modello composto.

Analisi classica delle SS = Stagionalità, Ciclicità, Errore) = Si ipotizza che la SS sia una certa funzione di: eX f(Trend, Xt t, . A, accidentalità. I modelli di scomposizione più utilizzati sono quelli di tipo additivo of(T S, C, A) moltiplicativo.

Trend: è l'andamento di fondo del fenomeno in esame. Componente di lungo periodo (componente secolare), nella teoria classica esso è considerato

di natura deterministica, ossia come funzione matematica della variabile tempo (monotona).

Ciclo: Costituito dalle fluttuazioni di medio periodo attorno al trend. Insieme al trend è considerato la variabile reale di interesse nell'analisi economica che può essere controllato tramite politiche analitiche per limitare le perturbazioni che crea. Caratterizzato da andamento oscillatorio, con alternarsi di fasi espansione e di recessione (qualche anno). Il ciclo può essere stimato su SS annuali e non mensili. Sono meno chiare le cause che lo generano.

Stagionalità: Componente esogena rispetto al sistema economico, non controllabile dalle autorità di politica economica, almeno nel breve-medio periodo. Si distingue:

• dal trend per il carattere oscillatorio
• dal ciclo per il tipo di periodicità
• dalle fluttuazioni irregolari per la sua sistematicità

La componente stag può essere definita come il movimento infra-annuale.

sistematico anche se non necessariamente regolare (variazioni di calendario, o indirettamente attraverso le decisioni di consumo e di produzioni fatte dagli agenti economici). - Calendario: vacanze di natale ed estive influenzano la serie di produzione. Questa componente può creare correlazioni spurie tra serie diverse. - Decisioni temporali: scelta dell'allocazione delle vacanze scolastiche. Esse non sono legate a precisi momenti dell'anno ma sono tradizionalmente collocate sempre nello stesso periodo. - Tempo meteorologico: Cambiamenti nella temperatura e piogge hanno effetti sulla produzione. Secondo Granger questa è la vera componente stagionale. Componente Accidentale Irregolarità: residuo o componente accidentale. Componente "non spiegabile" attraverso i modelli per le altre componenti, pertanto generata dal caso, non stimabile né prevedibile. Il primo passo da fare nell'analisi di una SS è la rappresentazione grafica per vedere seÈ possibile intuire un trend di lungo periodo oppure se il livello della serie è un'immaginaria retta orizzontale. L'approccio classico Esistono vari metodi per scomporre. L'approccio tradizionale muove dal presupposto che le singole osservazioni siano risultati dell'azione combinata di movimenti (non direttamente osservabili) che si sommano o si moltiplicano nei singoli tempi considerati. È legittimo quindi scomporre in componenti elementari. Ciclo Tipologie di SS con stagionalità recapsse-modulo 2 (e 1) 13 Modello additivo = X + T + S + e Modello moltiplicativo = X * T * S * e. Tale modello è indicato se l'ampiezza delle oscillazioni stagionali cambia al variare del livello della serie. Seasonal Plot Per controllare la presenza di variazioni stagionali è utile. I valori della serie originaria sono suddivisi per anno e perogni anno si rappresenta un grafico con i valori delle vendite riferiti ai tempi di quell'anno. Metodo di scomposizione La scomposizione avviene in diverse fasi: Calcolo del trend di prima approssimazione. Passaggio intermedio che non produce una stima definitiva del trend. Calcolato con medie mobili. Media mobile di k termini e si ottiene una nuova serie per equata. Se k è dispari, il termine ottenuto con la media mobile si riferisce al tempo centrale su cui la media mobile è stata calcolata. es per k = 3: ⁺_{xt-1 + xt + xt+1 MMx3^t} = ------------------------ ₃ Se k è pari, il risultato della media mobile non può essere assegnato ad un tempo di osservazione della serie storica originaria. È necessario calcolare la media di due medie mobili consecutive per centrare il risultato effettivamente. es per k = 4: ⁺_{xt-2 + xt-1 + xt + xt+1 MMx4^t-1} = ------------------------ ₄ ⁺_{xt-1 + xt + xt+1 + xt+2 MMx4^t} = ------------------------ ₄ (x ) (k - 1)/2 E poiViene fatta una media tra le due per trovare k. Se k è dispari si perdono termini MM4 all'inizio della serie e altrettanti alla fine. Se k è pari, si perdono k/2 termini all'inizio e altrettanti alla fine. L'applicazione delle medie mobili ad una serie storica ha come effetto generale quello di riprodurre un lisciamento della SS. Permette di eliminare le oscillazioni stagionali che hanno un periodo pari al numero x dei termini coinvolti nella MM. (es. se dati trimestrali, oscillazioni rimosse con MM4, chiamata stima di Tt'). Tt' è la prima approssimazione del trend. Si calcola la componente stagionale mista a quella accidentale sottraendo alla serie originaria Tt' (S, = Tt - Tt'). Tali differenze sono dette differenze lorde di stagionalità perché includono anche la componente accidentale. Nel caso di modello moltiplicativo la componente stagionale mista a errore si dice coefficiente lordo di stagionalità: (S, = e * Tt.

′T t (S,La stima della componente stagionale si ottiene calcolando la media delle differenze lorde deiS e)t tvari anni per ogni trimestre. Si ottiene una differenza netta di stagionalità per ciascun trimestre (uncoefficiente netto nel modello moltiplicativo). La componente stagionale è quindi assunta costante perS t= = = ⋯ogni trimestre dei vari anni: S S St t+k t+2kStimata la componente stagionale per ogni t, si ottiene la serie destagionalizzata sottraendo a nelS xt tx= − =modello additivo: nel modello moltiplicativo:D x S D tt t t t S t = +La serie destagionalizzata contiene il trend e la componente accidentale: e si stimaD D T e Tt t t t t= + +con OLS, quindi . Resta da stimare i parametri di :D β β t e β0 1t t^ ^ ˉ ^Codev ( ,t ) ˉD= = −t e .β β D β t1 0 1Dev(t) ^ ^= + (t +La stima del trend per il tempo t+m come segue: a questo si aggiunge laT β β m)0 1t+m ^ = +componente stagionale stimata in precedenza

Per avere una migliore approssimazione:
.x T St+m t+m t+msse-modulo 2 (e 1) 15
Una volta stabilito a quale trimestre appartiene t+m si trova immediatamente dato che hanno valoreS t+mcostante tra i trimestri o cmq periodi.
La bontà di adattamento e la bontà della previsione sono le due misure di valutazione. Per otteneretali misure si suddivide la serie storica delle oss in due sotto serie:, … , con t-n osservazioini è usata per stimare il modello e dalla differenza tra il datox x1 t-n = - ^ossevato ed il dato fornito dal modello (per j = 1, .., t-n) si misura l'errore dir x xj j jadattamento., … , con n osservazioni è usata per misurare la capacità predittiva del modello calcolandox xt-n+1 t = - ^gli errori di previsione (per k = t-n+1, ...., t) .ep x xk k kGli indicatori:
MSE: 2t-n∑ rMSE(r) = j=1 j per valutare la bontà di adattamentot-n 2t∑ ep= k per valutare la bontà di

nelle mm lineari, il fattore di correzione per ritardo.α α^′ ′′ ′ ′′ ′ ′′^ = 2S − − ( − ) = ( − )a S t S S b S St tt t t t t t