Serie storiche

MODELLO MOLTIPLICATIVO:

Il modello moltiplicativo può essere ricondotto a quello additivo mediante

trasformazione logaritmica. In questo modello di solito la componente T è

t

espressa nella stessa unità di misura di Y e le altre due sono espresse

t

mediante coefficienti (adimensionali, cioè senza unità di misura)

T

S

E

( ¿¿ t)

=T ∗S ∗E

y (¿¿ )+

t log¿

t t t t (¿¿ )+

t log¿

y log¿

=¿

t 0 ¿

log

Quest’approccio viene chiamato classico, perché l’analisi si concentra su (F ),

t

la parte che rappresenta il futuro, invece s’ipotizza che la parte stocastica (E )

t

sia stata generata da una successione di variabili casuali indipendenti (di

media nulla e varianza costante) e ogni componente agisce in modo autonomo

rispetto alle altre. A volte quest’approccio non porta a risultati soddisfacenti,

perché non è sempre possibile individuare i tre elementi dall’andamento della

serie. Per questo motivo si preferisce l’approccio moderno. Esso si focalizza

sulla modellazione della parte stocastica, ipotizzando che l’andamento della

serie si basi su una certa distribuzione di probabilità

6. STIMA DELLE COMPONENTI

In genere le componenti sistematiche di una serie storica non sono note ma si

possono ricavare in modo approssimativo, attraverso una stima del trend

mediante una funzione analitica, nello specifico la funzione analitica del

tempo. Se NON si possono rappresentare mediante una funzione analitica, si

usano procedure di lisciamento o smussamento (smoothing) mediante le

medie mobili

− Stima del trend mediante adattamento di una funzione

analitica del tempo:

Il TREND Y(t) di una serie storica descrive l’andamento medio della serie storica

riferito a un’opportuna scala temporale. Nella maggior parte dei casi

l’andamento del TREND è considerato lineare su tutto l’intervallo di

osservazione della serie. In questo caso la componente ciclica ha valor medio

nullo su tutto l’intervallo di osservazione:

( )+¿ =T +u

t u (t) (t) (t )

=f

Y ¿

t

in cui:

=T

f è il TREND con t=1,…,n

(t )

t =disturbo

u . Si ritiene che il comportamento di u(t) sia assimilabile a degli

(t )

errori accidentali non osservabili e non controllabili.

Il modello del trend lineare è un polinomio di primo grado della variabile

tempo: =β +

f β t equazione di una retta (Modello lineare)

(t) 0 1

dove i parametri sono costanti, in quanto tale modello vale per ogni t

appartenente all’intervallo di osservazione dei dati e possono essere stimati

risolvendo un problema dei minimi quadrati (Devianza totale =

Devianza di regressione + Devianza Residua)

In casi più generali è possibile che il trend non abbia semplicemente un

andamento lineare, ma segua una legge di variazione temporale più

complessa. In queste situazioni si può ricorrere a un modello polinomiale di

grado più elevato (di secondo grado):

2 equazione di un ramo di parabola(Modello

=β +

f β t+ β t

(t) 0 1 2 quadratico)

− Criterio dell’ R corretto:

2

Per decidere quale modello è migliore potremmo confrontare i rispettivi R ma

2

non è possibile perché i due modelli hanno una unità di misura diversa, si usa,

quindi, l’R corretto.

2

In generale abbiamo:

Devianza di regressione Devianza residua

2 = =1−

R Devianza totale Devianza totale

2

con 0 ≤ R ≥ 1

Indicando con p i parametri, avremo:

Devianza residua

(n− p)

2

R corretto=1− Devianzatotale

(1−p)

Indichiamo con:

− y = valore osservato

t

− Yt = valore stimato (valore fitted)

Per quanto riguarda il valore stimato eseguiamo il “fit”, ovvero, determiniamo

la distribuzione dei parametri che è più vicina alla distribuzione sperimentale.

L’errore di stima (residuo) sarà dato da:

= −Y

r y

t t t

Quindi ricaviamo il MAPE:

| |

n r

∑ t

Y

t=1 t ∗100

MAPE= n

Il MAPE è la media aritmetica dei rapporti tra il valore assoluto degli errori di

previsione e la domanda effettiva verificatasi in n intervalli di tempo (tutti di

uguale durata) fino ad arrivare al periodo t rispetto al rispetto al quale è stata

effettuata la previsione. Il MAPE mette in relazione l’errore (in valore assoluto)

con il valore della domanda, in questo modo è possibile “mediare” l’errore con

la sua rilevanza effettiva: una cosa è sbagliare di 20 unità su 2.000.000

effettive, un'altra è sbagliare sempre di 20 unità, ma su sole 200!

− Stima mediante le medie mobili (Metodi per le serie economiche)

Uno dei metodi per “scomporre” una serie storica è la media mobile.

(I metodi per le serie storiche economiche servono per:

− La previsione in campo economico: la previsione condizionata, la

previsione con poca informazione, la previsione qualitativa, l’uso

congiunto di più previsori, la valutazione della previsione

− L’analisi del ciclo: indicatori compositi, indicatori qualitativi, le inchieste

congiunturali, le funzioni di trasferimento)

La media mobile è una media aritmetica che viene applicata ai dati per un

periodo della serie storica che consente di lisciare la serie stessa, ovvero di

eliminare le oscillazioni tipo quelle stagionali e erratiche.

Esempio: media mobile a 3 termini

Y

t mm(3 termini) m

t m

1 3 Y

2 4 4.

3

(¿ ¿t +1)

( )+4 (Y )+6 ¿ /3

3(Y −1

t t

3 6 5.

(4 +6(Y )+7) /3

t 7

4 7 7.

(6+7 (Y )+8)/3

t 0

5 8 8.

(7+8 (Y )+ 10)/3

t 3

6 1

0

7 1

2

(Y +Y +Y )

+1

t−1 t t Y

con t=2,…n-1 e l’elemento centrale della

( )=

Y 3 t

t 3 serie

Se invece avessimo avuto a che fare con una serie storica giornaliera, che

descrivesse un fenomeno dotato di stagionalità settimanale, avremmo allora

dovuto utilizzare una media mobile a sette termini:

+Y +Y +Y +Y +Y +

Y Y

−2 +1 +2 +3

t−3 t t−1 t t t t

¿ con t=4,…,n-3

¿

( )=¿

Y 7

t

La media mobile di ampiezza 7 smussa in misura notevolmente maggiore la

serie originaria rispetto a quella di ordine 3. D’altra parte porta a una perdita di

valori più consistente (sei contro due)

Le spigolosità di questo

tipo sono state

eliminate

In definitiva, la media mobile è il dato aggiustato al tempo dell’elemento

centrale della media.

Ad esempio media mobile a 3 termini (K=3):

(Y +Y +Y )

−1 +1

t t t

=

mm cont=2, … , n−1(media mobile con K dispari)

t 3

mm è il dato smussato

t

Y è il dato centrale della media t

t

t è il tempo del datocentrale

Se la media mobile è a 4 termini (K=4 media mobile con K pari) si posiziona fra

il tempo 2 e il tempo 3 che non corrisponde ad un effettivo punto temporale di

osservazione.

+ + +

y y y y

1 2 3 4

4

E’ necessario centrare la media mobile

Esercizio: Calcolo di una media mobile con un periodo di 5 anni

I seguenti dati rappresentano le entrate realizzate da una società negli 11 anni compresi fra il

1987 e il 1997. 4. 5. 7. 6. 8. 9. 5. 2. 3. 5. 6.

0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5

Si calcolino le medie mobili di periodo 5 per questa serie. Le 7 medie si ottengono nel modo

seguente: +Y +Y +Y +Y

Y 4.0+5.0+7.0+6.0+ 8.0 6.

1 2 3 4 5

=

mm 5 0

5 5

+Y +Y +Y +Y

Y 5.0+ 7.0+ 6.0+8.0+ 9.0 7.

2 3 4 5 6

=

mm 5 0

5 5

+Y + + +

Y Y Y Y 7.0+ 6.0+8.0+9.0+ 5.0 7.

3 4 5 6 7

=

mm 5 0

5 5

+ + + +Y

Y Y Y Y 6.0+ 8.0+9.0+5.0+ 2.0 6.

4 5 6 7 8

=

mm 5 0

5 5

+Y +Y +Y +Y

Y 8.0+9.0+5.0+2.0+ 3.5 5.

5 6 7 8 9

=

mm 5 5

5 5

+Y +Y +Y +Y

Y 9.0+5.0+2.0+3.5+5.5 5.

6 7 8 9 10

=

mm 5 0

5 5

+Y +Y +Y +Y

Y 5.0+ 2.0+3.5+5.5+6.5 4.

7 8 9 10 11

=

mm 5 5

5 5

e devono essere centrate negli anni dal terzo al nono.

Media mobile a k termini con k pari. Le medie mobili centrate



Media mobile a 4 termini +Y +Y +Y

Y 1 2 3 4

=

M 2 4

3

+ + +Y

Y Y Y

2 3 4 5

=

M 3 4

4

La media mobile a 4 termini centrata è data da:

+

M M

2 3

=

M 3 4

3 2

La media mobile centrata a termini pari è una media mobile ponderata

Nella scelta del valore di K (ampiezza della media mobile), dobbiamo fare

alcune considerazioni:

− con k elevato la media mobile contribuisce a eliminare le oscillazioni

erratiche e fa perdere molti valori all’inizio e alla fine della serie.

− con un k che corrisponde al periodo stagionale la media mobile

elimina la stagionalità (es. serie mensile k=12)

− con un k troppo elevato rispetto al periodo stagionale la media mobile

introduce oscillazioni fittizie Media Mobile a 12

termini

Media mobile a 8

termini

Media mobile a 18

termini

Riassumendo:



Le medie mobili, sia semplici che ponderate, servono a lisciare la serie

Media mobile semplice:

∑ Y t

( ) = =ampiezza

mm k , t con K della media mobile

K +1

K esimo termine

− Per k dispari la media mobile si centra sul (es. se

2 3+ 1 =2

l’ampiezza della media mobile è 3, la media si centra sul °

2

termine) K +1 esimo termine

− Per K pari la media mobile si centra sul (es. se

2

l’ampiezza della media mobile è 6, la media si centra sul

6 +1=4 ¿

° termine

2

La media mobile semplice presenta un limite perché tutti i termini

della media hanno lo stesso peso

L’alternativa alla m.m semplice è la media mobile ponderata (media mobile

di una media mobile)

Media mobile

t media mobile t W

V t

t ponderata

semplice V

Y 1

1 t−1

t−1 +V +V

V

+Y +Y

Y +1

t−1 t t

V

−1 +1

t t t

Y =

2 W

=

2 V t

t t

t 3

3 V

Y 3

3 +1

t

+1

t 1 ∗1

3

( )= ( )

∗ +Y +Y + +Y +Y +Y + +Y =¿

mm 3∗3 Y Y Y

−1 +1 +2

t−2 t t t−1 t t t t+1 t

3 Y

¿ 1

¿ (1,2,3,1)