Scienza delle costruzioni - dimostrazioni e necessario per orale

CINEMATICA del PUNTO

OP vettore posizione CR

P vettore traslato di P'P (Sp)

Con OP' CR

CINEMATICA del CORPO RIGIDO

Sc = Sb + Sc traslazione del corpo rigido, tutti i punti restano soggetti allo stesso spostamento

Il corpo rigido può subire anche rotazione attorno ad assi opportuni

Si es. asse ortogonale al piano del foglio (z)

Supponiamo PICCOLI SPOSTAMENTI e PICCOLE ROTAZIONI

• phi
• Sp = (CR - Rcosphi)i + Rxsinphi j

J = k Δt

Nuovo spazio o 3 rotazioni possibili →

moto rototraslatorio: Sp = So + J ^ OOP

componenti del vettore spostamento

componenti lungo i, j, k

Spostamenti piani

spostamento nel cui piano esistono n linee del corpo, lo spostamento più generale che un piano può conferire è 'spostamento rigido'.

1. spostamento lungo x:

• wx = w0 + pz (yp - y0 ) - qz (xp - x0) = 0

può anche essere nulla per

• up = u0 - pz (yp - y0 )
• vp = v0 - qz (xp - x0 )

Geometria delle masse

Sistema discreto di masse puntiformi

M = Σ mi = m1 + m2 + m3...

• xa = 1/M Σ mi xi
• ya = 1/M Σ mi yi

Sistema continuo

μ: densità di massa

M = ∫μdA = ∫μdV

ya = 1/M ∫μy dA

Momenti del I ordine - momenti statici

Sx = Σ mi yi

Sy = Σ mi xi

• Sx = ∫yμdA
• Sy = ∫μxdA

Momenti del II ordine - momenti d'inerzia + momento centrifugo

• Ix = Σ mi yi²
• Iy = Σ mi xi²
• Ixy = Σ mi xi yi
• Ix = ∫μy²dA
• Iy = ∫μx²dA
• Ixy = ∫μxy dA

Legge di Huygens - Steiner

(Trasposizione dei momenti)

n/n' Ix = Ix' + Ay0²

y/y' Iy = Iy' + Ax0²

• Ixy = Ixy' + Ax0y0

Dato un momento del II ordine baricentrico

momento del II ordine rispetto a un qualunque altro corpo, ad assi non baricentrici tra sè. Rispetto a un segmento, trasporre dal punto baricentrico al momento, si sommano al momento il centro rispetto al quadrato.

I due assi baricentri sono 0, quindi devo utilizzare quello

abile delle proprietà particolari

Analisi della deformazione

Ipotesi:

• Piccoli spostamenti e rotazioni

Come si integrare il condominio limitatamente materiale indeformabile?

Funzione che mappa da C₀ in C₁: ogni punto P nel campo corrente

L'attenzione su di esso è cruciale per considerare ogni suo aspetto

Limitazioni fisico-meccaniche della funzione spostamento

1. Funzione in senso matematico: a ogni punto P corrisponde un unico P_i.
2. Ad ogni P_i (immagine) corrisponde un unico punto P (contraimmagine).
3. Due punti vicini (quanto si vuole) nella C₀ devono avere immagini vicine nella configurazione corrente.
4. Se la deformazione è applicata parzialmente, risultano essere equilibrate.

L'immagine di un segmento deve essere una curva uscita senza cuspidi.

F deve rispettare simmetrie interne ed esterne presenti.

Congruenti

• Ordine
• Normale

F = f ( confronto aumentando di punti e parallelismo ad rette e piani)

PROPRIETÀ DILATATIONI E DIREZIONI PRINCIPALI DEI DEFORMATI

_{x, y, z}

• ε₁, ε₂, ε₃ = ε₁, ε₂, ε₃ ≠ 0

dim:

• m₁ S₁ = m₁ S₁ = ε₁ m₁
• m₂ S₂ = ε₂ m₁
• m₃ S₃ = ε₃ m₁

Quando

• le dir. Princip. sono distinte allora le dir. Princip. sono i
• ε₁, ε₂, ε₃ nel piano ε₃ m₁

PROPRIETÀ:

AL VARIARE DELLA TERNA DI RIFERIMENTO

LA MIN DILATAZIONE LINEARE SI VERIFICANO LE DIREZIONI PRINCIPALI

CASO 1: ε₁ ≠ ε₂ ≠ ε₃ casi assunite

posso sempre individuare una ternina orthonormala

CASO 2: ε₁ + ε₂ + ε_–

qualeiasi: aurenlare casa acordinate a lunga acordinate

CASO 3: ε₁ = ε₂ = ε₃

sedaro direzioni principal, ma non fut segnamenti alcuni mall low priorma l' al

CASO 4: EUROPA ε₃ = 0 STATO PIANO _f DEFORMATORE

Zena neceone ε₁ + ε₂ ≈

CASO 5: SUPPONIO ε₁ ≠ ε₂ ≠ ε₃ = 0 STATO NON GRASSIRE

SE LA TERNA PRINCIPALE [ ]

DILATAZIONE VOLUMETRICA ΔV

• V_e
• V_f

ΔV =

1) Reciproca delle componenti di tensione

Intorno adiacente in cui vediamo 2 giaciture qualunque

m = {l e n}_m {l m x}

tnm = mTn = [n T m = T T T m (T T m m)]

tnm = m - t n

tnm = t nm = tn m = tn m = tn m

Se consideriamo t nm scambio

Se m 1 - c

Tnm sono nara.

Come tnm => tnm = tnm

T nm zone disegno per cmere : arrows converge divergono

2) Carattere tensoriale della tensione

Considero 3 ori ortogonale fra loro rispetto a ni xi

Conosciamo m

k tn mn z

[dtm] = [mTdtm nm]

[mn] 3:3

[n] [n] [n]

Elemento di cui 6 indpl

Tens. da pplo{" "}_compl {" "}_nn,

* Tensore idrostatico e deviatorio

Supponiamo di comporre il tensore a + b

Come sotto

tr accaduto 0

vanda: forma

[dev] [ekz krz]

[pnpc (s - s + s ):3]

Prstter che differire non cancella. Nesse coniugata

Tr s sono numeri medi in .

CIRCOLI DI MOHR - STATO PIANO DI TENSIONE

IMP. GRAFICA

DIGRESSIONE

CONVENZIONI DI SEGNO

sono positive se danno rotazione ORARIA dell'elemento nel piano

per 2/3 $3=0 x, y$ qualsiasi

Considero FASCIO DI PIANI con ome 3(f) cos' al variare della giacitura, f appartiene sempre al piano xy

Se n=3 o anche b=1 non avanza, i punti rappresentati dello stato tangenziale stanno su un cerchio fondamentale

I punti Q dati da n staranno su un cerchio fondamentale

Consideriamo un punto sogg: al stado tenso piano

Consideriamo la giacitura di normale x

• $\sigma_x$
• $\sigma_y$
• $\tau_{xy}=0$

A' e B' appartengono al CERCHIO

Lo sono DIAMETRALMENTE - A'B'=diametro

Caso monodimensionale - Dimensionale (S≠0)

S(x+n) ≠ S(x) + &xint; E(x)

1. No dissip
2. E cui deformazione irreversibile. Legge cumpli restitutiva
3. No def residuali. Stato stress unicamente correlato.

• dδι=Δεδ
• ΔF=Δτ_EΔx
• Fd =

Sono funzioni di stato, quindi diff esatti.

dpu = ρpu dx + ρpu dy + ρpu dΣt + ρpu dΣxy + ρpu dΣzx + Fcy dz + πεdΣyz + πεdΣzt

Esn - m 1 Gy = - zM

• dΔx = Δε
• σ ≠ σεi
• τ

LIMITAZIONI E SIGNIFICATO FISICO DELLECOSTANTI ELASTICHE

[H] def. 0 → [H]₁ def. +Tutti i minori principali hanno det. > 0

[H]₁₁

• 1/E > 0
• 1/2 (1 - 12) > 0
• 1/3 (1 + 2)(1 - 2) > 0
• 1/Gp > 0 → G > 0 → E/2(1+ ) > 0

• E > 0
• -1 < < 1
• < 1/2
• > -1

• E > 0
• -1 < < -1/2

limitat. MATEMATICHEcostanti

• aree costanti di lab
• E > 0
• 0 < < 1/2

limitat. FISICHE