Scienza delle costruzioni - Continuo tridimensionale

SCORRIMENTO ANGOLARE

-

Unm 0

0

= - variazione di angolo che formano due direzioni

prima e dopo la deformazione

Come misuro ?

8

Dim : 1dxm//dxn)

dXm dxn coso

=

. d

ax'n ldxm'llaxn'I

2X'm cos

=

. 0 Nam

↳ 0

= -

(1 En)(dxm/(dxn)cos(0

Em)(1 Vnm)

+

= + -

* Is

1

Applico formula di addizione del coseno:

piccolo

U

>

- axm

OSinU/dxm/ldxn) dxn'

e +

r

cos Sin

cos

= = .

7

↓ = 1 Unm

men ↓

* pulT(I

↳ dxmT

semplifico (I Tu

+ +

1dxm/ -

↓ E)

(22

f +

IT piccoli

i potesi

A di

nelle

. Spostamenti

2mTEA

Unm = O

Sin

Quando n ed m coincidono con due assi coordinati il seno tra i due è 1 per cui

:

= =

Ve

Posso scrivere la matrice del tensore di deformazione infinitesima come :

(

E ( Ex 28xz

25xy

= A 0

Ex 2u Ez

+

+

=

EUyx =

Eruz

su teta

-

28xz Ez

4z ↓ grande

2 VARIAZIONE L

VOLUMETRICA

31/03/25

La deformazione pura (cioè quello a meno del moto rigido) in un qualunque punto è dato dal

prodotto tra il tensore di deformazione con la condizione dx

ut Ed

=

Per cui questa quantità è calcolata nel punto P. Si considera infatti di avere un intorno del punto P,

un qualunque punto Q che si trova a dx da P, quando P si sposta di una sua posizione u, allora Q

si sposta di una u(Q): y(a) y(p) dx

+ E

+

=

- Amatrice

matrice simmetrica

antisimmetrica

P

.

dxv

Questi tre componenti dello spostamento del punto Q possono essere visti come la traslazione

dell’intorno di modulo u(P), come la rotazione intorno a P (moto rigido), e come cambiamento della

forma. Di fatto l’interno sferico diventa un intorno sferico di u in cui Q si è spostato di una certa

posizione, dopodiché la sfera si deforma diventando ellissoide e alla fine la forma dell’intorno

elementare di P sarà un intorno ellissoidico.

Come si è deformato questo ellissoide?

Si considera la deformazione pura ossia il cambiamento di forma dell’intorno P, ma ciò non basta

poiché oltre questa si devono tenere in conto anche la traslazione e la rotazione per capire che

cosa è diventato alla fine il corpo complessivo

Nella deformazione pura esiste una direzione dx che si trasforma ,nel deformarsi, nella stessa

direzione dx? Ciò significa che se fisso il sistema di riferimento nel punto P e guardo una certa

posizione Q, per la deformazione pura il punto Q può diventare un punto Q’ che ha una certa

posizione rispetto a Q. Graficamente avremo:

Q Per cui Q diventa Q’. Tuttavia è possibile che Q’ continui a stare

sulla direzione PQ. Per cui Q’ anziché deformarsi andando da

qualche parte nello spazio, resta sulla direzione Q in modo che il

Q

P segmento dxdQ diventi un segmento PQ’ che è parallelo a PQ

i (per la deformazione pura). Ciò significa che:

u(a)/dx

I > 1dx

u(a) Edx

= =

modulo ex

del vettore nuovo

Divido per il modulo di dx e ottengo: Allungamento

~ del Pa

Segmento

1dx

u(a) Edx

= = /

1 | (

dx dx

X1

En =

= (quantità infinitesimal

direzione

della pa

versore

>

A questo punto si ha che è autovalore di mentre n è il suo autovettore

A E -

Nella matrice della deformazione avremo:

• gli autovettori che sono le direzioni auto deformate (si deformano restando loro

stesse; si tratta di direzioni che dopo la deformazione coincidono con la direzione

prima della deformazione) Vettori

> corrispondenti alterati

auto che loro

la lunghezza

se

vengono

non non per

• gli autovalori che sono i moduli del nuovo vettore che prima era lungo 1

(x)

Quindi si deve risolvere un sistema di equazioni lineari in cui ogni ogni equazione ha la seguente

forma:

Eq Eijhj-Anizo Forma

Indiciale (E

matriciale + E)

a 0

=

;

.

Quando esiste una soluzione n diversa da quella banale? Quando il determinante della matrice è

diverso da zero 71 +E)

det(E

+ 0

=> + 0

-

(E

Voglio sviluppare det 11) 0

=

- (

Esplicitandola avremo: det -1)

Er x dez d

- e

E12 0

=

x

E12 -

E13 223

Ne calcolo il determinante e avremo:

43 (E)

233)/2 (Ee22

(En 2232 2132 det

[22233)x

[1222

+ 222 + 0

[12233

+ =

+ +

- + -

- -

In modo compatto avremo: relativi al deformazione

della

problema

12

Iex2

3 Iz)

+

+ 0 Secolare

- = eq

> .

Il tensore deformazione contiene le sue componenti ( ) che corrispondono alle dilatazioni lineari

E

e agli scorrimenti angolari tra gli assi di riferimento; hanno quindi un significato meccanico poiché

specificano di quanto si allungano gli assi del sistema e quale angolo formeranno gli assi del

sistema dopo essere stati deformati. Per cui se cambio riferimento ognuno di questi numeri deve

cambiare.

I sono le dilatazioni delle direzioni auto coniugate, cioè delle direzioni degli autovettori, le quali

A

direzioni sono i numeri n; tuttavia la sua lunghezza è indipendente dal riferimento. Poiché A

rappresenta la lunghezza dell’auto vettore, non dipende dal riferimento.

Di conseguenza l’equazione secolare deve ammettere soluzioni che non dipendono dal

riferimento; cioè le devono essere uguali in qualunque riferimento

X

Per cui quand’è che un polinomio ha le stesse radici di un altro polinomio?

Scrivo il polinomio in funzione delle sue radici:

k(x X3)

x2)(X

Xe)(X Polinomio

< 1

coefficiente

di

- -

-

Il coefficiente del termine di terzo grado in questo caso è 1 (infatti aggiungo k all’inizio).

I coefficienti dei polinomi con zero, ossia x1, x2, x3 sono tutti proporzionali.

Per cui tutti i polinomi hanno coefficienti proporzionali e hanno la stessa radice o soluzione

Pur cambiando riferimento, per avere sempre gli stessi devono cambiare

X It I 2 I3

, ,

,

proporzionalmente quando cambio riferimento.

3

Inoltre in tutti i riferimenti moltiplica sempre -1. Per cui l’unica proporzionalità che possono

avere gli altri coefficienti è 1. Poiché possono solo essere loro stessi in tutti i riferimenti

Per cui chiameremo invarianti di deformazione. Notiamo come non può essere

In I2 I3

,

altrimenti poiché l’invariante I1 che è la somma dei tre elementi sulla diagonale, ha anche un

significato meccanico poiché coincide con la divergenza di u ed è il dv/v cioè la variazione

volumetrica specifica dell’intorno.

La (e

è dal scalare)

indipendente riferimento

volumetrica

variazione uno

Possiamo dire che: A

• l’invariante I1 è la prima potenza di , infatti moltiplica una seconda potenza, per cui lo si

=

chiamerà invariante lineare

• L’invariante I2 è un termine di secondo grado in che moltiplica , per cui sarà un invariante

↓

- E

u

quadrico

• L’invariante I3 è un termine di terzo grado ossia un invariante cubico

-

-

Per cui:

• l’invariante lineare è la variazione di volume

• l’invariante cubico è una cosa strana

• l’invariante quadrico ha qualcosa che ricorda un modulo e governa la grossezza del tensore

di deformazione e si chiama intensità del tensore di deformazione o ancora intensità della

tensione tangenziale. Questo viene in genere usato come norma del tensore ( soprattutto ai

fini della sicurezza per capire se il materiale si rompe o meno)

Per cui ho che le deformazioni principali sono autovalori e le direzioni principali sono autovettori.

Questi ultimi sono gli assi delle sfere che si deformano diventando gli assi dell’ ellissoide

deformato. Sono gli unici tre assi che risultano ortogonali anche dopo la deformazione. Questo

ci dice che se scriviamo il tensore nel suo riferimento principale diventa diagonale, infatti la

E

sfera si trasforma in un ellissoide ma con i tre assi che restano ortogonali (assi principali

dell’ellissoide)

Proprietà dell’ellisse

• I piani tangenti all’ellissoide non sono ortogonali al raggio nel punto di tangenza

Nella il

sfera piano

tangente

è ortogonale Ego

al

& raggio

M

I diametri dell’ellisse conservano l’ortogonalita tra la tangente e il raggio e sono gli unici due che

conservano tale proprietà per la quale sono definiti principali e le direzioni sono coniugate cioè la

tangente alla direzione 1 è parallela alla 2. Contrariamente a quanto accade nella sfera in cui le

direzioni sono coniugate

Pertanto la ricerca degli autovalori consiste nel cercare questi assi e vedere come i diametri si

sono deformati in lunghezza rispetto alle loro posizioni originali. Non a caso le tre radici

dell’equazione sono le dilatazioni dei tre assi, ossia dei tre diametri dell’ellisse che si allungano e si

accorciano senza cambiare l’inclinazione.

I 2 12

P Ha 1 radice reale e 2 coniugate.

13

+ + .

0

=

- -

' Ma le possono essere coniugate? siccome queste sono le dilatazioni principali se

fossero coniugate si avrebbero più direzioni che dilatano in modo immaginario. Tuttavia dalla

geometria sappiamo che gli autovalori sono reali se la matrice è hermitiana:

• se la matrice è reale, allora “hermetiano” vuol dire simmetrico

• se è nel campo complesso allora significa che la trasposta è la coniugata

• Ciò è evidente poiché se risolvo l’equazione ottengo (Non so come sono), calcolo

+1 12 43

,

,

,

allora n, prendo la metto nella matrice e risolvo l’equazione

↓ (E X-E)11 0

- =

è

I unitario

quello

non

>

- (ne

hex nz)

n2x e

> n2

=

.

, ,

,

m

hanno modulo 1

mix 23 12

+ +

Come dimostro che sono reali?

Il numero è reale se è nulla la sua parte immaginaria, cioè quando , cioè quando il numero

A A

= -

complesso coincide con il suo coniugato (A A reale)

allora è

= A

Dimostro ora che la matrice è simmetrica, cioè che il prodotto scalare degli autovettori è reale.

Sappiamo che: ( xe[n)a 0

=

- a

Moltiplico

V per

2 TE

1111 11T