Schema totale Analisi 1 con dimostrazioni spiegate e definizioni

Analisi 1

Calcolo Numerico

• Nei _Reali ci sono due operazioni: + e .
• + è gruppo commutativo
• Elemento neutro somma:
• 0 ∈ ℝ | x + 0 = x ∀x ∈ ℝ
• Inverso somma (opposto) ∈ ogni elemento ∈ ℝ
• ∀x ∈ ℝ ∃ y ∈ ℝ | x + (x) = 0
• Propr. associativa
• x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ ℝ
• Propr. commutativa
• x + y = y + x
• . è gruppo commutativo
• Elemento neutro:
• 1 ∈ ℝ | x · 1 = x ∀x ∈ ℝ
• Inverso prodotto (reciproco):
• ∀x ∈ ℝ x ≠0
• 1/x ∈ ℝ | x · 1/x = 1
• Propr. ass.
• x · (y · z) = (x · y) · z
• Propr. com.
• x · y = y · x

Rif. R. - Nuova gruppo: continuità con prof. distribuzione va

Gamma

• Teorema

CNS assunzione a-b=0

e che a=b=0

a-b=0 => a=0 => b=0

• Campo numeri reali o complessi
• Relazione ordine R

• R riflessiva

x⊆x

• D. transitiva

x⊆y e y⊆z => x⊆z

• P. anti simmetrica

x⊆y e y⊆x => x=y

• Rg campo totalmente ordinato

x,y∈R

Se x⊆y o y⊆x

→

x-z⊆y-z

x-z⊆y-z

A∪B={x|x∈A o x∈B} Unione

A∩B={x|x∈A & x∈B} Intersezione

A\B={x|x∈A e x∉B} Taglio

A_C=R\A|{x∈R|x∉A}] Complemento

Lezione

√2 ∈ ℝ

Principio di induzione

1. Initio
2. Se ∀n∈ℕ n=n₀ se proprietà è vera a passo n-giusto → allora continua a cosa n+1=esiste (inductions)
3. Proprietà vera ∀ n ∈ ℕ OTG Berdroua

∀ x > -1 , ∀ n ∈ ℕ U [2, n]

(1+x)ⁿ ≥ 1 + nx

1. (1+x)⁰ = 1 + 0x = 1=1 vero
2. x inerzione è vero
3. (1+x)ⁿ ≥ 1 + x(n+1) (1+x)ⁿ *(1+x) ≥ 1 + (n+1)x (1+x)ⁿ (1+x) = (1+x) . (1+nx) = 1 + nx + nx² ⇒ 1 + (n+1) x

C3 e estremi superiori

Maggiore o uguale

Se ∅ <= A <= R c'è c maggiore di α x ∀a ∀α ε A

Es A = { 1/n n ε N }

O ∃ A → A ∩ C A per ogni n ε N a sono maggiori x tutti x ε ℝ x ≥ 1

Insiemi e limiti superiori estremi

∅ ≺ A c R è sup C n x & anche ragionamento

Aggiungere che A altro maggiore: significa che∄ B ∃ a ε c A ∩ B = ∅

Non esistono in de ragionamento di A2 = { k c R | x ≥ 2 }

i n & k prop maggioranzax ∀1 non si pomanoSUP A = +∞

Minimamente o incondizionatamente

Se: A ≺ C R ε C C P ε un minorante E A & ε C A

A = { 1 - 1/n | n ε N }

OS 1 - 1/n ≺ A

Minimamente fanno x ≤ 0

minore e incondizionatamente ulteriore di altro: ragionamenties N è minimo

Se ∅ ≺ A c R non incondizionatamente ulterioreμ A = - ∞

Insiemi e massimo

∅ ≺ A c R è limitato se ha infa e spa

A c R ε intinza sdo -∄ b ∋ A ⊂ -I p A]_A

∀a ε A

Applic. Dis. Bernoulli

(1+x)ⁿ >= 1+n x

∀x x > -1

Per n ∈ ℕ n ≥ 2

Alcuni con 3 ≥ x = 2 x k

an = (1 - 1/n)ⁿ ; 1/n = 1/n

succ. di senso ↘

• TND Limit

an > an=2 n ∈ ℕ > 3 ∀n ∈ ℕ

bn = (1 + 1/n)^1/n+ e knows che = bn ≤ b1= a

an = (1 - 1/n)ⁿ + bn (1 + 1/n)^{n+ = an (1+n)}

2√son ₂ bna ^k bn ε ω

C5 Topologia

Funzione Modulo |.| (ED contin.) x ≤20

∀k ∈ ℝ e k1 e osserva a x assu oscura

Distanza Euclidea in ℝ

dati x,y ∈ ℝ Distanza euclidea è |x-y|

Intorno x0,ε

Fissato x0 ∈ ℝ , intorno a x0 è raggio δ >0, luogo dei punti di ℝ

che distano x0 per meno di δ

{ x ε ℝ | | x-x0 | ≤ δ y } = [ x0-δ, x0+δ ]

sono massimi intervalli centrati in x0 senza estremi

∄ ε & ε & x0 ε ℝ

10

A interno A, A^c punti medi in A

Cordona A, A^- punti aderenti a A

Frontiera A, A^f (=cordona-fronteiera A)

A^f = A^- \ A^o

∅ non ce non ce & R=A (e tutti gli: | suoi punti sono interni)

A^- è chiuso

A^c A chiuso ⇒ A⊃A^c(A̅)

A^c E chiuso

A^- = A^-\A^a = ∅

A^- = se A̅ ≠ ∅

Teorema (sub dim)

• A⊆R non vuoto allora:
• A è chiuso ⟺ A⊃A^c(A̅)
• A^c(A̅) è aperto

Teorema

Ogni insieme non vuoto A⊆R

Ogni insieme introso S Ano:

2 punti ≠ per descrizione

• O punto fisico
• O punto di accumulazione

Nel caso (1) è quindi un punto di A

Nel caso (2) appartiene in A se

A ⊃ un aperto chiuso (dalla rel)

Limiti e limite per eccesso

(an) _{n ∈ ℕ} ⊂ ℝ a → L ∈ ℝ

Successione convergente

(an) ⊂ ℝ converge se e solo se ∃ ℓ ∈ ℝ lim an = l

∀ ε > 0 ∃n = n(ε) ∈ ℕ | ∀n ∈ ℕ n ≥ n̅

(an - l) < ε

O ∀ ε > 0 ∃ k = k(ε) ∈ ℕ | ∀ n ∈ A-N n ≥ k

| an - l | = | an - a | < ε

Divergente

(an) ⊂ ℝ divergente ^∞ se lim an = ∞

∀ ε > 0 ∃n = n(η) ∈ ℕ | ∀η ∈ ℕ n ≥ n̅

an > η

Oscillante

(an) ⊂ ℝ oscillante & ∃ lim an

- se x₀ ∈ Acc(A) ∩ ℝ ⇒ ci sono infinite successioni (xn) | lim

... = x₀ definitium infinito successioni (xn) | lim an n → ∞

- ... ∃ia ∈ CR - OR e x₀ ∈ a(An)_[n] ∈ (xn) ∈ A converge a _X0

lim x₀ = lim x₀!

TEOREMA

Def Calpe

... ∃ia ∈ CR-OR, x₀ ∈ Acc(A) ⇒ &fracE; ∃ ℝ sono equivalenti

- per ogni (xn) ∈ A tale che lim n = x_0 sia lim x → ∞

- lim x₀x₀ =ℓ

loga n asd

• se a > 1 allora lim loga n = +oo
• se 0 < a < 1 allora lim loga n = -oo n monot desc.
• se a = 1 allora n^y y = loga n y n elemento

∀ n > a^n ∈ N loga n > n

Teorema limite succ. monotone

lim n→+oo loga n = sup loga n = +oo _n→+oo

o≤a≥1

loga osacd

• se o≤a≥1 allora lim loga n = -oo
• - kaeac, aller loga n → monot dec
• se o≤a≥1 allora inf n loga n = -oo _n→+oo

Teorema limite succ. monotone

lim n→+oo loga n = inf loga n = -oo _n→+oo

Funzioni crescente o non crescente (stre)

• se ∃! (a,b)∈R con a ≤ b (stre) allora o ∈ un funzione monotonia caste
• veloce ∈ (a,b) ∃ lim x→x₀ fa = sup fa _x∈(a,b)
• veloce ∈ [b,a] ∃ lim x→x₀ fb = inf fb _x∈(b,a)

C: distanza p con O

r: raggio formato

argomento principale dell'angolo compreso in (-π, π]

Se α maggiore di 0, ρ non è definito.

Da forma trigonometrica a cartesiana

Due numeri complessi si associano trigonometricamente (ρ, θ)

con forma cartesiana x+iy

Re(z) = ρcosθ

Im(z) = ρsinθ

z = ρ(cosθ + isinθ)

Carte somma di trigonometria

z = x + iy

ρ = |z| = √x² + y²

θ = ?!

Se e solo se 0 Im=0

Im > 0 Re = 0 θ = 0

Im < 0 Re = 0 θ = π

Re > 0 Im=0 θ = π/2

Im > 0 Re = 0 θ = -π/2

Utilizzo arctan (-π/2, π/2)

Ponendo x ≠ 0 tanθ = y/x vero per

θ = arctan y/x

Perché arctan è inviluppo a tan (-π/2, π/2)

Se x>0 e y≈0 -> θ = arctan y/x

Se x0 -> θ = π + arctan y/x

Se x