Schema riassuntivo di Calcolo delle probabilità sulle diverse variabili

- Media: E[X] = p .

- Varianza: Var(X) = p(1 - p) .

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3. Binomiale

- Definizione: La distribuzione binomiale descrive il numero di

successi in n prove indipendenti di un esperimento di Bernoulli.

- Quando usarla: Quando esegui n esperimenti identici, indipendenti

tra loro, con la stessa probabilità di successo p in ciascuno.

- Esempio: Lanciare una moneta n = 10 volte e contare il numero di

volte che esce testa. Se X è il numero di successi (testa), allora X \sim

{Binomiale}(n = 10, p = 0.5) .

- Probabilità: P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} , dove k è il

numero di successi e \binom{n}{k} è il coefficiente binomiale.

- Media: E[X] = np .

- Varianza: Var(X) = np(1 - p) .

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4. Poisson

- Definizione: La distribuzione di Poisson descrive il numero di eventi

che si verificano in un dato intervallo di tempo o spazio, quando tali

eventi accadono indipendentemente e con una media fissa.

- Quando usarla: Quando hai eventi rari che accadono in un certo

intervallo di tempo/spazio e vuoi contare quanti ne accadono. La

Poisson è utile come approssimazione della Binomiale quando n è

grande e p è piccolo.

- Esempio: Il numero di chiamate ricevute da un centralino in un'ora.

Se la media è \lambda = 5 chiamate all'ora, X \sim

{Poisson}(\lambda = 5) .

- Probabilità: P(X = k) = lambda^k e^{-\lambda}}{k!} , dove

\lambda è il numero medio di eventi e k il numero di eventi osservati.

- Media: E[X] = \lambda .

- Varianza: Var(X) = \lambda .

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5. Geometrica

- Definizione: La distribuzione geometrica descrive il numero di prove

necessarie per ottenere il primo successo in una sequenza di

esperimenti di Bernoulli.

- Quando usarla: Quando vuoi contare quante prove sono necessarie

per ottenere il primo successo (con una probabilità di successo p in

ciascuna prova).

- Esempio: Quante volte devo lanciare una moneta truccata affinché

esca testa? Se p = 0.3 , X \sim {Geometrica}(p = 0.3) .

- Probabilità: P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p , dove k è il numero di prove

necessarie per ottenere il primo successo.

- Media: E[X] = {1}{p} .

- Varianza: Var(X) = {1 - p}{p^2} .

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6. Ipergeometrica

- Definizione: La distribuzione ipergeometrica descrive il numero di

successi ottenuti in un campionamento senza reinserimento da una

popolazione finita.

- Quando usarla: Quando fai un campionamento senza

reinserimento da un insieme di oggetti e vuoi contare il numero di

successi (oggetti con una certa caratteristica).

- Esempio: Hai un'urna con 5 palline rosse e 5 palline blu. Se estrai 3

palline senza rimetterle nell'urna, quanti successi (palline rosse) ottieni?

Se il numero di successi è X , allora X \sim {Ipergeometrica}(N = 10, K =

5, n = 3) , dove N è il numero totale di palline, K il numero di palline

rosse e n il numero di palline estratte.

- Probabilità: P(X = k) = binom{K}{k} \binom{N - K}{n -

k}}binom{N}{n}} , dove N è la popolazione totale, K è il numero di

successi nella popolazione, e n è il numero di estrazioni.

- Media: E[X] = n \cdot {K}{N} .

- Varianza: Var(X) = n \cdot {K}{N} \cdot {N - K}{N} \cdot {N - n}{N

- 1} .

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Riassunto su come distinguere le distribuzioni:

1. Uniforme discreta: Tutti i valori hanno la stessa probabilità. Es: Lancio

di un dado.

2. Bernoulli: Esperimento con due soli risultati (successo/fallimento). Es:

Singolo lancio di una moneta.

3. Binomiale: Somma di più esperimenti Bernoulli indipendenti. Es:

Numero di teste in n lanci di una moneta.

4. Poisson: Eventi rari su un intervallo di tempo/spazio. Es: Numero di

incidenti in un giorno.

5. Geometrica: Numero di prove fino al primo successo. Es: Numero di

lanci fino a ottenere la prima testa.