Risposte a domande di teoria di Elettrotecnica ed elettronica applicata 22/23

TEORIA ELETTRO

1) KCL

LEGGE DI KIRCHHOFF DELLE CORRENTI DATO UNA SUPERFICIE CHIUSA, LA SOMMA ALGEBRICA DI TUTTE LE CORRENTI CHE LO ATTRAVERSANO È NULLA.

DIMOSTRAZIONE

HP DI MAXWELL:

\oint \mathbf{J} \cdot d\mathbf{S} = 0 \Rightarrow \oint \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J} \, dV = \oint \mathbf{J} \cdot d\mathbf{S}

USIAMO STOKES SUL TERMINE A SINISTRA:

\oint \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J} \, dV = \oint \mathbf{J} \cdot d\mathbf{S}

DEFINIAMO LA SOMMA SUI CONDUTTORI CHE ATTRAVERSANO S:

\sum_h \oint \mathbf{J} \cdot d\mathbf{S}_i = 0

MA SI HA CHE

A = \oint \mathbf{J} \cdot d\mathbf{S} \Rightarrow \sum_h \mathbf{J}_{i_S} = 0

2) KVL

DATA UN CAMMINO CHIUSO, LA SOMMA ALGEBRICA DI TUTTE LE TENSIONI È NULLA

\sum_{K} \mathcal{E}_{k} = 0

DIMOSTRAZIONE

HP DI MAXWELL-BOLTON:

\mathbf{\nabla} \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = 0

\oint (\nabla \times \mathbf{E}) \cdot d\mathbf{S} = \oint \mathbf{E} \cdot d\ell = 0

PER GOLOESS IL TERMINE È:

\oint_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{\ell} = 0

DIVIDIAMO IN N LOOP CONDUCTOR:

\sum_{h} \oint_{SK} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{\ell} = 0

MA SI HA CHE:

\mathcal{E}_{m,K} = \oint_{\Sigma_{K}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{\ell} \Rightarrow \sum_{h} \mathcal{E}_{m,K} = 0

LEGGI DI MAXWELL

\mathbf{\nabla} \times \mathbf{H} = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} + \mathbf{J} \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{D} = \rho \mathbf{\nabla} \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B} = 0

3) 2a Legge di Ohm

Resistore ideale ha questa relazione V-I:

V = R i

Con resistenza — _l∕_A— ∅

Dimostrazione:

Materiale con ∅ costante sezione A longitud.

⊕ = ∅ E

→ ∫a ^l ⊕ dl = ∫a ^l ∅ E dl

Supponiamo ⊕ costanti: ∅ _l = ∅ ∫a _p E dl

Da definizione di tensione: ∅ ∫a E dl = ∅ (V_a - V_p)

→ ∅ ⊕ = ∅(V_a - V_p) = ∅ V

Esprimiamo ora la corrente:

ί = ∫ands = JA → J = ί∕A

Sostituiamo:   ί_i = ∅ V → V =   ί_i

4) Potenza di Bipolo

In un bipolo noti le variabili (u(t),i(t)) la potenza è:

p(n)(t) = u(n)(t)i(n)(t)

Le potenze dei bipoli >0 se uscenti <0 se entranti

• Convenzione generatori

Generano potenza in quanto û è ίsono concordi → p > 0

• Convenzione utilizzatori

Dissipano potenza in quanto û èίsono discordi → p < 0

(resistore, induttore, condensatore)

5) Partitore di Tensione

Determina la tensione ai capi dei singoli resistori in parallelo, notaquella a monte del parallelo stesso

Resistori in parallelo

Dimostrazione:

Legge di Ohm: V = R ί con V

→ V_AB = V_I - ^R1∕_R1+R2

2) Diagramma di Bode

Approccio sistematico e efficace dei sistemi a asincrona attiva verso lo loro funzione di trasferimento H(s).

Il diagramma di Bode (del modulo) ci consente l'informazione usando una scala bilogaritmica:

• Asse ascisse: logaritmo della pulsazione: ω = log ω
• Asse ordinate: modulo della funzione in decibel: H(ω)|dB = 20 log₁₀|H(ω)|

Noi studiamo il diagramma asintotico, cioè gli asintoti non la funzione reale.

Esempio

H(s) = (s + a)/(s + b)²(s² + 2ns + c)

Primo tratto orizzontale per ω < a:

• H(ω)|dB = 20 log₁₀a
• H(∞)|dB

Il picco di risonanza del polo complesso:

H(c)|dB = -20 log₁₀2h

3) Sistema completo per reti elettriche

Equazioni topologiche

• KCL: [AI]Σ=Σ
• KVL: [AV]_TV = 0

[AI] matrice d'adiacenze dei collegamenti per correnti

[AV]_T matrice delle tensioni

Equazioni costitutive

• Generatori di tensione: [AIV] ⊆
• Generatori di corrente: [S] - [I] + [S_A]
• Resistori: [R][AI]I = [A₂V]

[AIV] = tensioni imposte dai generatori

[A₂I] = correnti imposte dai generatori

[R] = matrice di conduzione/velocità delle resistenze

Dimostrazione

Sia rete lineare con N nodi e L lati. Scriviamo il sis:

• [A_C] [O] [O] [A_M]
• [O] [I] [O] [V]
• [A_A1] [O] [A_E] [I]
• [O] [1] [O] [O]

= [O] [A_S]

[E_O]

Gli unici termini non nulli nel termine noto sono quelli relativi ai generatori, quindi essi sono le uniche incognite che influenzano il calcolo delle variabili di rete. In tutti gli altri casi, il coefficiente della matrice (A_M) viene moltiplicato per 0.

Chiamiamo X_m la m-esima variabile di rete. Sia h il k-esimo termine noto e om_h il termine in posizione m-m nella matrice "A_A1". Scegliamo lo sviluppo:

Xmm = NAh amngn

Escludendo i termini nulli e dividendo lo svolgimento tra gen.-tems./correnti:

Xm = NAk=1 λkEk + NAg=1 μgIg

2-1) Thevenin e Norton con piloti

• Pilota NO, Pilotato NO → Caso normale
• Pilota SI, Pilotato NO → Caso complicato
• Pilota NO, Pilotato SI
• Pilota SI, Pilotato SI

Thevenin: Pilotato senza pilota

Data una porta P_k di rete accessibile a 2 morsetti contenente N pilota, ma non N piloti, l'equivalente Thevenin di tale pilota è una serie tra un generatore pilotato e una resistenza equivalente.

• Req ottenuta spengendo tutti i generatori
• V₀ : tensione a vuoto, rovina sia in gen. indipendenti e sia in piloti

Thevenin: Pilota e pilotato

Data una porta P_k di rete accessibile a 2 morsetti contenente N pilota e N piloti, l'equivalente Thevenin di tale pilota è una serie tra un generatore indipendente ed una resistenza equivalente.

• V0 : tensione a vuoto, rovina sia in gen. indipendenti che in piloti
• Req ottenuta spengendo i gen. indipendenti con:
• Req = VTIT (generatrice di test)