Riassunto esame Statistica, Prof. Posa Donato, libro consigliato Fondamenti di Statistica descrittiva, Donato Posa - Sandra De Iaco - Monica Palma

INDICI DI FORMA

• ASIMMETRIA
• CURTOSI

- ASIMMETRIA

d₁ = x̄ - Me

d₂ = x̄ - Mo

serie di dati

d₁ = x̄ - Me

d₂ = x̄ - Mo

distrib. di freq.

d_o = x̄ - Mo dove Mo ≈ x̄ - 3(x̄ - Me)

A₁ = x̄ - Me / σ

A₁ = x̄ - Mo / σ

α₃ = Σ ⁿ_i=1 (x_i - x̄)³ / nσ³

γ₁ = Σ ^s_i=1 (x_i - x̄)³ m_i / mσ³

distrib. di frequenza

°INDICE DI CURTOSI

γ₂ = Σ ^s_i=1 (x_i - x̄)⁴ m_i / mσ⁴ - 3

γ₂ = -2

INDICI DI FORMA

• ASIMMETRIA
• CURTOSI

- ASIMMETRIA

• d₁ = x̄ - Me
• d₂ = x̄ - Mo

serie di dati

• d₁ = x̄ - Me
• d₂ = x̄ - Mo

distrib. di freq.

d₂ ≃ x̄ - Mo dove Mo ≃ x̄ - 3(x - Me)

A₁ = x̄ - Me / σ

A₁ = x̄ - Mo / σ

γ_α = Σ_i=1 (x_i - x̄)³ / nσ³

distrib. di frequenza

γ₂ = Σ_i=1 (x_i - x̄)³ m_i / mσ³

INDICI ASSOLUTI

INDICI RELATIVI

permette di fare confronti

INDICE DI CURTOSI

γ₂ = Σ_i=1 (x_i - x̄)³ m_i / mσ³. 3

consente di valutare la proporzione delle frequenze corrispondenti alle modalità estreme

γ₂ = -2

DISTRIBUZ. STATISTICHE DOPPIE (consideriamo piu caratteri)

Definiamo carattere x e y, i=1, 2, ..., s e j=1, 2, ..., t

n_ij = freq. assolute congiunte

n_ij freq. relativa alle i-esima x e j-esima y

1. individuare MODALITÀ del carattere x e y

freq. assolute con cui la modalita' x si è presentata

2) DISTRIBUZ. MARGINALE carattere x e y

xi | mi_xi0 | 21 | 32 | 53 | 54 | 115 | 56 | 233

yi | mo_yi2 | 53 | 75 | 106 | 57 | 633

guarda le frequenze a quelle modalità

3) DISTRIB. PARZIALE

distrib. parz. del carattere Y condizionatoalle modalità del carattere X: x₂

yi | ni_yj2 | 03 | 05 | 26 | 17 | 03

DIPENDENZA TRA CARATTERI: se c'è dipendenza possiamo calcolare la regressione

INDIPENDENZA IN MEDIA di Y rispetto a X

Assumpta una distribuz. doppia di frequenze per 2 caratteri X ed Y, esiste indipendenza in media di Y rispetto ad X se e solo se:

errore _i: ^tΣ

i=1 : _yi:mij = m_io

, , t, 1, 2, , , m

calcolo indip. in media di Y rispetto a X

̄_y1 = ^tΣ ⁱ⁼¹

12:2 + 6 + 3 = 24

12 = 2,16

̄_y2 = ^tΣ ⁱ⁼¹

1+1+2+3+3 = 2

2,16

c'é indipendenza in media di Y rispetto X

Y rispetto e Y

x̄₁ = ^tΣ ⁱ⁼¹

2:2+6+2 = 25

8:3

x̄₂ = ^tΣ ⁱ⁼¹

2:6+6:3

12+12

x̄₃ = ^tΣ ⁱ⁼¹

5+4+4:2 = 2,6

ANALISI DELLA REGRESSIONE

L'analisi della regressione di 2 caratteri quantitativi si sviluppa di solito attraversa le seguenti fasi:

1. Scelta del modello, attraverso la funzione che più riesce a rappresentarela relazione di dipendenza, in media, del carattere dipendente da quello indipendente.
2. Calcolo dei coefficienti del modello, mediante il metodo dei minimi quadrati.
3. Calcolo di opportuni indici statistici per verificare la bontà del modello.

MODELLO DI REGRESSIONE LINEARE O FUNZIONE DI REGRESSIONE

ŷ = b₀ + b₁x

b_o => intercetta della funz. lineareb₁ => coeff. angolare

ŷ => valore teoricoy_i => valore empirico

I parametri b_o e b₁ devono essere calcolati in maniera tale da rendere minima la seguente funzione

G(b₀, b₁) = Σ_i=1^m(ŷ_i - y_i)²

ovvero:

G(b₀, b₁) = Σ_i=1^m(b₀ + b₁x_i - y_i)²

*nelle regress. e modelli SUPERVISIONATI - permettono di fare previsioniNB.: SUPERVISIse ci classifica parlano di modelli non supervisionati

L'epifania dei minimi quadrati richiede che venga determinato il minimo delle funte:

Annuliamo le derivate parziali prime

La regressione implica il concetto di dipendenza in media (c'è, tiene i due carattere)

b₀ = ȳ - b₁ x

ŷ = b₀ + b₁ x

INDICE DI DETERMINAZIONE (varia tra 0 e 1)

L'ultima fase dell'analisi della regressione consiste nel valutare la bontà di adattamento della funzione di regressione individuata ai valori osservati.

L'indicatore che tale scopo è l'indice di determinazione R²

R² = Dev(R) = ∑ⁿ_i=1( ŷ_i - ȳ )²

Dev(Y) ∑ⁿ_i=1( Y_i - ȳ )²

ŷ = b₀ + b₁ x

R² = Dev(R) - ∑ⁿ_i=1( ŷ_i - ȳ )²

Dev(Y) ∑ⁿ_i=1( Y_i - ȳ )²

Dev(Y) = _t=1ⁿ∑(y_i - ȳ)² + _t=1^m∑(ŷ_i - ȳ)²

_{Dev(R) + Dev(E)}/_Dev(Y)

_Dev(R)/_Dev(Y) ↓ 1

ricapitolado indici di determinazione

l’adatt. delle fun. di regressione a descrivere la dipendenza lineare di Y da X può essere valutato mediante il rapporto tra lo Dev. di regress. e la dev. totale

R² = _Dev(R)/_Dev(Y) = _t=1^m∑(ŷ_i - ȳ)² / _t=1^m∑(y_i - ȳ)² con Dev(Y) ≠ 0

se Dev(Y) = 0:

R² = 1 , Dev(E) ¹ / _Dev(Y) bbbb _t=1^m∑(ŷ_i - y_i)² / _t=1^m∑(y_i - ȳ)²

l’indice R² soddisfa le proprietà 0 ≤ R² ≤ 1

Nel caso di una tabella a doppia entrata

R² = _Dev(R)/_Dev(Y) = _t=1^m∑(ŷ_i - ȳ)² / m_o / _t=1^m∑(y_i - ȳ)² / m_io

Ricapitolando fini della regressione

1. Diagramma di dispersione

   assegnati 2 caratteri quantitativi x e y, esiste concordanza se all'aumentare di un carattere, aumentano i valori osservati

2. Definiamo una funzione (di tipo lineare)

   y = d(x) + ε errore Deterministica: descrive esattamente ciò che stiamo osservando > errore, modelli meno precisi < errore, modelli più precisi ŷ = b₀ + b₁ x funzione di regressione OBIETTIVO: definire una funzione caratterizzata dai parametri b₀ e b₁ b₀ -> intercetta b₁ -> coeff. angolare

3. Stima parametri: b₀ e b₁ utilizzando minimi quadrati

   (per rendere minima la differenza/distanza tra i valori e la nostra rette) MODELLO: descrive in maniera semplice un fenomeno

ŷ - valore teorico.

y̅ - valore empirico.

L'applicazione dei minimi quadrati richiede che venga determinato il min. della funzione G(b₀,b₁), ossia:

min_(b0,b1) min_(b0,b1) [∑_i=1ⁿ (b₀ + b₁x_i - y_i)²]

La ricerca del suddetto minimo si ottiene annullando le derivate parziali prime rispetto ai parametri b₀ e b₁, ovvero:

{

• ∂G(b₀,b₁)/∂b₀ = 0 → ∑_i=1ⁿ 2(b₀ + b₁x_i - y_i) = 0
• ∂G(b₀,b₁)/∂b₁ = 0 → ∑_i=1ⁿ 2(b₀ + b₁x_i - y_i)x_i = 0

m b₀ + n b₂ x̅ = m ȳ

m b₀ + b₂ ∑_i=1^m x_i² = ∑_i=1^m x_i y_i

{

• b₁ = ∑_i=1^m x_i y_i - m x̅ ȳ / ∑_i=1^m (x_i - x̅)²
• b₀ = ȳ - b₁ x̅

b₁ è da info relative al nostro modello 1 - ∞ , + ∞

se b₂ POSITIVO: concordanza coeff. angolare positivo: all'aumentare di x, y aumenta proporzionalmente.

se b₂ NEGATIVO: discordanza x diminuisce in media al carattere y

se NULLO: retta parallela all'asse delle ascisse: NON ESISTE LEGAME DI DIPENDENZA IN MEDIA tra x e y, il che non significa che ci sia indipendenza tra i 2 caratteri.

Se esiste indipendenza, ricaviamo b₂ = nullo.

CONCORDANZA DISCORDANZA

assegnati 2 caratteri quantitativi, esiste concordanza quando la retta ha un andamento crescente.

se R² = 1, la dispersione dei valori stimati rispetto alla retta è nulla: val. stimati = val. osservati

L'ultima fase è nella "bontà di adattamento" della finestra di regressione

R² =

   ⁸

    ∑_i=i (ŷ_i-ȳ)²

   ⁱ⁼¹

   -----------------

   ⁸

    ∑_i=1 (y_i-ȳ)²

R² = ⁸∑_i=i (ŷ_i - ȳ)² = 78,061 ≈ 0,830

   ∑_i=1 (y_i - ȳ)²                 96

Valori R² prossimi ad 1 indicano una elevata attitudine delle finestra di regressione a riprodurre la relazione di dipendenza lineare di Y da X.

In questo caso il valore R² esisterebbe una buona capacità della finestra di regressione ŷ = 2,180 + 0,964 x a spiegare la dipendenza del carattere Y da X

Codevianza

Assegnati 2 caratteri quantitativi X e Y si definisce covarianza tra X ed Y e si indica con Covar(X,Y), la somma dei prodotti degli scarti dei valori corrispondenti di X ed Y

Covar(X,Y) = Σ_i=1ⁿ (x_i - - x) (y_i - - y) :

Σ_i=1ⁿ x_iy_i - n - x - y

• Covar >0 se c'è concordanza tra X e Y
• Covar <0 se c'è discordanza tra X e Y
• Covar nulla se non esiste né concord. e né discord tra X ed Y

Per distribuz doppia di freq

Covar(X,Y) = Σ_i=1^r Σ_j=1^t x_iy_jn_i,j - n - x - y

Quindi

Covar(X,Y) = Σ_i=1ⁿ x_iy_i - n - x - y distribuz doppia unitaria

Covar(X,Y) = Σ_i=1^r Σ_j=1^t x_iy_jn_i,j - n - x - y per tabelle doppie entrate con modalità distinte

oppure

Covar(X,Y) = Σ_i=1^r Σ_j=1^t (x_i - - x)(y_j - - y) n_i,j

COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE di Pearson

Assegnati 2 caratteri quantitativi X ed Y, si definisce coeff. di correlaz. lineare tra X e Y e si indica con r il rapporto tra

r = Cov(X,Y)

con Dev(X) Dev(Y) ≠ 0

per distribuzione doppia di frequenze:

r = Cov(X,Y)

con Dev(X) Dev(Y) ≠ 0

PROPRIETà COEFF. DI CORRELAZ. LINEARE

Il coeff. di correlaz. lineare può assumere qualunque valore nell'intervallo [-1,1]

• r = -1 esiste una perfetta relaz. lineare decrescente tra i caratteri
• r = 0 non esiste una relaz. // ossia né concord. né discord.