Riassunto esame Statistica 2, Prof. Posa Donato, libro consigliato Fondamenti di statistica inferenziale, Donato Posa

Concezioni della probabilità

Secondo la concezione frequentista, la probabilità di un evento viene definita come la frequenza relativa con cui esso si verifica in una successione di prove, eseguite nelle stesse condizioni.

La probabilità di un evento A viene quindi definita come:

P(A) = lim(N_A / N)

dove N_A è il numero di volte in cui si verifica l'evento A nelle prove e N è il numero totale di prove.

Nella concezione geometrica, si considera un bersaglio S che è un sottoinsieme di uno spazio campione Ω. Se tutti i punti del bersaglio hanno la stessa probabilità di essere colpiti e le aree degli insiemi S e Ω sono note e finite, allora la probabilità di colpire un punto A del bersaglio, tirando con un arco verso il bersaglio, si ottiene come segue:

P(A) = area(A) / area(S)

Nella concezione soggettiva, la probabilità di un evento dipende dalle conoscenze, dalle opinioni o dalle credenze del soggetto che valuta l'evento. Ad esempio, nel gioco in cui si riceve 1 se si verifica un determinato evento dopo l'esecuzione di un esperimento casuale, la probabilità di tale evento dipende dalle aspettative e dalle percezioni del giocatore.

oppure 0 se tale evento non si verifica. Se il prezzo (un numero compreso tra 0 e 1) che si è disposti a pagare per partecipare a tale gioco non garantisce, in seguito ad una serie di tentativi, una vincita o una perdita certa, il gioco è definito ed il prezzo, denominato congruo, rappresenta la probabilità che si attribuisce all'evento considerato.

Teoria assiomatica

PROBABILITÀ A σ

Siano Ω lo spazio campionario di un esperimento casuale ed una σ-algebra di eventi di Ω. Si definisce probabilità una funzione che ad ogni evento A appartenente ad associa un numero reale, ovvero una funzione di insieme P: A → R, che soddisfa i seguenti assiomi:

1. P(Ω) = 1.
2. Se A ⊆ Ω, allora P(A) ≥ 0.
3. Se A₁, A₂, ..., Aₙ sono eventi a due a due disgiunti, allora P(A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Aₙ) = P(A₁) + P(A₂) + ... + P(Aₙ).

PROPRIETÀ DELLA PROBABILITÀ

1. a) ∅ = 0
2. b) ∀ ∈ ∁A , B A , A B , P A ≤ P B .
3. c) ( )C ( )
4. d) ∀ ∈ =1−PA A , P A A( )∀ ∈A A , P A ≤ 1
5. e) . C( )=P ( )+
6. f) ∀ ∈ )A , B A , P A A ∩ B P( A ∩ B( )=P ( ) ( )−P(∀ ∈ ∪ +A , B A , P A B A P B A ∩ B
7. g) ∀ , ,…, ,1 2 n i j¿ i=1B iP(¿)B B B ,… ∈ A
8. h) ∀ , ,…, .1 2 n + ∞∑+∞ B¿ ¿P ≤( )i i=1

Probabilità condizionata ed indipendenza

PROBABILITA’ CONDIZIONATA ¿A , P A B

Assegnato uno spazio di probabilità (Ω, , siano e due eventi A A appartenenti ad , con P(B) > 0. Viene denominato probabilità condizionata di A ¿B B, assegnato , e si indica con / , il rapporto tra la probabilità dell’evento ¿P( BA ∩B) intersezione e la probabilità dell’evento , ovvero P( A

B)A ¿B/ = .¿P P( B)A ¿B A

In altri termini, / indica la probabilità che si verifichi l'evento ,¿P Bsupposto che si sia verificato l'evento . ( ) ( )=PP A ∩ B B

In maniera equivalente si può scrivere:A ¿B* /¿Pquest'espressione fornisce una regola per il calcolo della probabilità dell'eventoregola del prodotto legge delle probabilità composte.intersezione, denominata o( )>P A 0

Inoltre, se risulta , allora per la proprietà commutativa dell'intersezione, laA Blegge delle probabilità composte di due eventi e può essere espressa anchenel seguente modo: B( ) ( ) ¿=P AP A ∩ B A * /¿P P( A ∩ B)B ¿A

da cui si ottiene: / = .¿P P( A)

Proprietà:

/¿A P( A)1. Ω) = ;¿PA ¿A

/ = 1;¿P P( A)A ¿B

se / = ;∁A B , P¿ P(B)A ¿B

se / = 1;∁B A , P¿A ¿B

se / =

allora vale la seguente relazione:
B₁ ∩ B₂ ∩ ... ∩ B_n = ∅

Teorema: LEGGE DELLE PROBABILITÀ COMPOSTE PER EVENTI INDIPENDENTI
Dato uno spazio di probabilità (Ω, , P), se gli eventi A₁, A₂, ..., A_n appartenenti ad Ω sono indipendenti, allora vale la seguente relazione:
P(A₁ ∩ A₂ ∩ ... ∩ A_n) = P(A₁) * P(A₂) * ... * P(A_n)

Proprietà:
1. Gli eventi ∅ ed Ω sono indipendenti da qualsiasi evento appartenente ad Ω, poiché risulta:
P(∅ ∩ A) = P(∅) * P(A) = 0
P(Ω ∩ A) = P(Ω) * P(A) = P(A)

2. Se gli eventi A e B sono indipendenti, allora esiste indipendenza tra A e C, tra B e C, ed anche tra A, B e C, ovvero:
P(A ∩ B ∩ C) = P(A) * P(B) * P(C)

PALCUNE REGOLE PRATICHE
Il procedimento logico mediante

1. Si definisce l'esperimento casuale e gli eventi semplici che costituiscono lo spazio campionario.
2. Si individua l'evento di cui si desidera calcolare la probabilità, esplicitandolo, se necessario, mediante l'unione, l'intersezione o la negazione di altri eventi. In particolare, se l'evento è caratterizzato dall'unione di altri eventi, occorre stabilire se questi ultimi sono incompatibili o compatibili; se l'evento è costituito dall'intersezione di altri eventi, occorre chiedersi se esiste indipendenza tra gli stessi; se l'evento può essere espresso mediante la negazione di altri eventi (o mediante la negazione della loro unione oppure della loro intersezione), occorre esplicitare tali eventi ed utilizzare le leggi di De Morgan, nel caso in cui risulti conveniente.
3. Si calcola la

probabilità dell’evento determinato nel punto 2. , applicando opportunamente i teoremi enunciati in precedenza.

Esperimenti casuali costituiti dall’esecuzione di una prova

Esempio: urna composta da 12 palline, 5 bianche e 7 nere.

Esperimento: estrazione in blocco di 3 palline.

( )=?

A P A

Dunque = 3 palline bianche,

Cn 5,3

A( )= = cioè il numero di casi favorevoli fratto il numero di casi possibili. ( ) =?

P BB = 1 pallina bianca e 2 nere,∗

CCn 5,1 7,2

B( )= =

P B Cn 12,3

( )=?

C P C= al massimo 1 pallina bianca,∗

C ∗CC Cn 5,0 7,3 5,1 7,2

C +( )= =

P C C Cn 12,3 12,3

Esperimenti casuali costituiti dall’esecuzione di più prove

Esempio: urna composta da 12 palline, 5 bianche e 7 nere.

Esperimento: estrazione in sequenza e con reimmissione di 3 palline.

CON REIMMISSIONE -> EVENTI INDIPENDENTI

A = 1^ pallina bianca, 2^ pallina bianca, 3^ pallina bianca

A=B ∩B ∩ B1 2 3 5 ∗512 ∗512( ) ( ) ( ) ( )( )=P =P ∗P

P = P A B ∩ B ∩ B B B B1 2 3 1 2 3 12

METODO ALTERNATIVO: n D ' 35A 5,3