Riassunto esame Statistica 2, Prof. Posa Donato, libro consigliato Fondamenti di statistica inferenziale, Donato Posa

CAPITOLO 1 – PRINCIPI DI INFERENZA STATISTICA

STATISTICA INFERENZIALE

La Statistica inferenziale è una disciplina che si compone di risultati teorici

fondamentali ed appropriate metodologie che consentono di utilizzare le osservazioni

relative ad un campione allo scopo di giungere a conclusioni valide per la popolazione

di riferimento. POPOLAZIONE E CAMPIONE

POPOLAZIONE

L’insieme, finito o infinito, numerabile o non numerabile, degli elementi su cui si

manifesta il fenomeno oggetto di studio viene denominato popolazione.

UNITA’ STATISTICA

Gli elementi che costituiscono una popolazione sono denominati unità statistiche.

CAMPIONE

Assegnata una popolazione, un qualsiasi raggruppamento estratto dalla popolazione

stessa viene denominato campione.

PIANO DI CAMPIONAMENTO

Viene denominato piano di campionamento un prospetto in cui si stabiliscono il criterio

di selezione del campione dalla popolazione, i vincoli economici, nonché i limiti spaziali

e temporali dell’indagine campionaria.

CAMPIONE RAPPRESENTATIVO

Un campione viene denominato rappresentativo se la tecnica con cui lo stesso

campione viene selezionato è casuale.

PARAMETRO

Una costante che descrive un particolare aspetto della caratteristica X di una

popolazione assegnata, viene denominata parametro ed indicata con la lettera greca

θ .

SPAZIO DEL PARAMETRO θ

L’insieme dei valori che un parametro può ragionevolmente assumere viene

θ

denominato spazio del parametro ed indicato con la lettera greca .

INFERENZA PARAMETRICA E NON PARAMETRICA

Gli obiettivi inferenziali possono riguardare:

1. il modello idoneo a descrivere la caratteristica X in esame;

2. i parametri incogniti del modello che descrive la caratteristica X in esame, la

cui forma funzionale non è nota;

3. i parametri incogniti del modello che descrive la caratteristica X in esame, la

cui forma funzionale è nota.

TECNICHE DI INFERENZA STATISTICA

Le principali tecniche di inferenza statistica si distinguono in:

stima dei parametri

 verifica delle ipotesi



TECNICHE DI STIMA DEI PARAMETRI x , x , … , x

STIMA PUNTUALE, se le osservazioni campionarie sono

 1 2 n

utilizzate per individuare un unico valore, che possa essere considerato idoneo a

stimare il parametro incognito; x , x , … , x

STIMA PER INTERVALLI, se sulla base dei dati campionari , si

 1 2 n

determina un intervallo di valori che, con una probabilità fissata, contenga il

parametro incognito.

CAPITOLO 2 – CALCOLO COMBINATORIO ED ESPERIMENTI CASUALI

Elementi di calcolo combinatorio

Es. codice Bancomat

5 = numero di combinazioni possibili con numeri che si ripetono

10

FATTORIALE -> introdotto da Kampf, ad es. 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120, n! = 1 * 2 * 3

* … * (n-1) * n

STRUMENTI DEL CALCOLO COMBINATORIO

1) Disposizioni: semplici e con ripetizione

2) Permutazioni: semplici e con ripetizione

3) Combinazioni: semplici

DISPOSIZIONI SEMPLICI E CON RIPETIZIONE

Disposizioni semplici

n n

Assegnati elementi distinti, viene denominato disposizione semplice di in

++¿ , k ≤n

∈

n , k N

k k

classe un gruppo ordinato formato da elementi distinti,

¿

¿

¿ n

selezionati tra gli assegnati. D

n k

Teorema: il n° delle disposizioni semplici di in classe , indicato con , si

n ,k

ottiene così: ++ ¿ , k ≤ n .

( ) ( ) ( ) ∈

=n +

D n−1 n−2 … n−k 1 , n , k N ¿

n ,k k

ovvero risulta essere pari al prodotto di numeri interi, consecutivi, decrescenti, il

n

primo dei quali è .

Disposizioni con ripetizione

n n

Assegnati elementi distinti, viene denominato disposizione con ripetizione di

++ ¿

∈

n , k N

k k

in classe un gruppo ordinato formato da elementi, selezionati tra

¿

¿

¿

n k

gli assegnati, in cui uno stesso elemento può comparire fino a volte.

n k

Teorema: il n° delle disposizioni con ripetizione di in classe , indicato con

D' , si ottiene così:

n , k ++¿

k ∈

=n

D' , n , k N ¿

n , k n k

ovvero risulta essere uguale alla potenza con base ed esponente pari a .

r

Teorema: Assegnati raggruppamenti, in cui il primo raggruppamento è formato

n n

da elementi distinti, il secondo da elementi distinti, fino all’r-esimo, formato

1 2

n

da elementi distinti, il prodotto

r

n n n

* * … * rappresenta il numero di gruppi che si possono ottenere

1 2 r r

selezionando un solo elemento da ciascuno degli raggruppamenti.

PERMUTAZIONI SEMPLICI E CON RIPETIZIONE -> in quanti modi elementi distinti

possono essere posti in sequenza. P

n

Corollario: Il numero delle permutazioni di elementi distinti, indicato con , si

n

ottiene come segue: ( )( )

=D =n

P n−1 n−2 … 2

* * 1

n n , n n

ovvero risulta essere pari al prodotto di numeri interi, consecutivi, decrescenti, il

n

primo dei quali è . n , n , … , n

n

Teorema: Assegnati elementi, se tra di essi ve ne sono 1 2 k

indistinguibili, ovvero uguali tra loro, il numero dei modi in cui possibile disporre gli

n elementi assegnati risulta essere:

++¿ ,

n! ∈

, n , n , n , … , n N ¿

1 2 k

n ! n ! … n !

1 2 k

k

∑ n ≤ n

con .

1

i=1

COMBINAZIONI SEMPLICI

Combinazioni semplici

n n

Assegnati elementi distinti, viene denominato combinazione semplice di in

++¿ , k ≤n

∈

n , k N

k

classe un gruppo non ordinato, o sottoinsieme, che si ottiene

¿

¿

¿

k n

selezionando elementi distinti dagli assegnati.

Proprietà: =C

C

1. n , k n−k

=1

C

2. n , n =n

C

3. n , 1 n k ,

Teorema: Il numero delle combinazioni semplici di in classe indicato con

C , risulta essere uguale al rapporto tra il numero delle disposizioni semplici di

n , k

n k k

in classe ed il numero delle permutazioni di elementi, ovvero

D ++¿ , k ≤n

n , k

= ,

C ∈

n , k N

n , k k! ¿

( ) ( ) ( )

=n +

D n−1 n−2 … n−k 1

con .

n ,k

Il legame tra il numero delle disposizioni semplici ed il numero delle combinazioni

=C

D k !

semplici si esprime come segue: x

n ,k n , k

C

E’ opportuno precisare che il numero coincide con il coefficiente binomiale di

n , k ( )

nk

n k ,

in classe indicato con il simbolo matematico , ovvero risulta:

( )

n

=

C n , k k

dove il coefficiente binomiale è definito come segue:

( ) n!

nk = ( )

k ! n−k !

n k n k

e si legge “ sopra ”, oppure “ in classe ”.

( )

n

=

C può essere facilmente verificata:

n , k k

( ) ( ) ( )

+1

n n−1 … n−k n−k ! ( )

n! n

= = =

C n , k ( ) ( )

k ! n−k ! k ! n−k ! k n , n n

n

Teorema: Assegnato un insieme di elementi distinti, siano , …,

1 2 r

=n

n n n .

numeri interi non negativi, tali che + + … + Il numero di modi in

1 2 r

r

cui l’insieme assegnato può essere ripartito in sottoinsiemi disgiunti costituiti,

n , n n

rispettivamente, da , …, elementi, si ottiene mediante il seguente

1 2 r

( )( ) ( )

( ) −n −n −n

n−n n−n n−n

n −2

1 1 2 1 2 r

prodotto: … .

n n n n

1 2 3 r−1

Esperimenti casuali

ESPERIMENTO CASUALE

Un esperimento è un processo mediante il quale si osserva il risultato di una o più

azioni o, in generale, di un fenomeno. Esso viene denominato casuale oppure

aleatorio, se l’esito o il risultato derivante dall’esecuzione dell’esperimento stesso non

è certo o noto a priori. Spazio campionario ed eventi

PUNTO CAMPIONARIO

Ogni possibile esito o risultato di un esperimento casuale viene denominato punto

ω

campionario, o evento semplice, e viene indicato con .

SPAZIO CAMPIONARIO

L’insieme o la collezione di tutti i possibili risultati alternativi di un esperimento

Ω

casuale, viene denominato spazio campionario e viene indicato con .

EVENTO Ω ,

Un evento è un sottoinsieme dello spazio campionario e viene solitamente

indicato con le lettere maiuscole dell’alfabeto latino, ad esempio A, B e C.

EVENTI INCOMPATIBILI E COMPATIBILI

Due o più eventi sono denominati incompatibili, se il verificarsi di uno di essi esclude il

verificarsi di tutti gli altri, altrimenti sono denominati compatibili.

EVENTI NECESSARI

Due o più eventi sono denominati necessari se, in una prova, si verifica con certezza

almeno uno di essi.

EVENTI EQUIVALENTI Ω

Due o più eventi sono denominati equivalenti, se definiscono sottoinsiemi di

uguali tra loro. Operazioni tra eventi

UNIONE DI DUE O PIU’ EVENTI

Viene denominato unione di due o più eventi, l’evento che consiste nel verificarsi di

almeno uno degli eventi considerati.

INTERSEZIONE DI DUE O PIU’ EVENTI

Viene denominato intersezione di due o più eventi, l’evento che consiste nel verificarsi

di tutti gli eventi considerati.

DIFFERENZA TRA DUE EVENTI

Viene denominato differenza di un evento A rispetto ad un evento B, l’evento che

consiste nel verificarsi del primo e nel non verificarsi del secondo evento. Esso si

⊇

indica con A/B, oppure con A – B se A B.

NEGAZIONE DI UN EVENTO

Viene denominato negazione di un evento, l’evento che consiste nel non verificarsi

dell’evento assegnato. Spazio degli eventi e proprietà

SPAZIO DEGLI EVENTI A

Lo spazio degli eventi, indicato con , è una famiglia di sottoinsiemi dello spazio

Ω

campionario che soddisfa le seguenti proprietà:

∈

Ω A,

a) C

b) ,

∀ ∈ ∈

A A , A A

∀ ∈ ∈

¿ +∞

A , A , … , A ,… A ,¿ i=1 A A

c) .

1 2 n 1

Campionamento bernoulliano, esaustivo ed in blocco

CAMPIONAMENTO CASUALE BERNOULLIANO

Assegnata una popolazione, si ottiene un campione casuale bernoulliano di

n n

dimensione , se la selezione delle unità statistiche che lo compongono

avviene 1. in sequenza, ovvero con estrazioni successive;

2. con reimmissione dell’unità nella popolazione, dopo ogni estrazione.

n

Se si ricorre ad un campionamento casuale bernoulliano di unità da una

N

popolazione costituita da elementi, lo spazio campionario Ω è composto dalle

N n

disposizioni con ripetizioni di in classe e la sua cardinalità risulta essere:

n

=N

card (Ω) = .

D' N ,n

CAMPIONAMENTO CASUALE ESAUSTIVO

Assegnata una popolazione, si ottiene un campione casuale esaustivo di dimensione

n n

, se la selezione delle unità statistiche che lo compongono avviene

1. in sequenza, ovvero con estrazioni successive;

2. senza reimmissione dell’unità nella popolazione, dopo ogni estrazione.

n

Pertanto, se si ricorre ad un campionamento casuale esaustivo di unità da una

N

popolazione costituita da elementi, lo spazio campionario Ω è composto dalle

N n

disposizioni semplici di in classe e la sua cardinalità risulta essere:

( )

=N −1 (N−n+

D N … 1)

card (Ω) = .

N ,n

CAMPIONAMENTO CASUALE IN BLOCCO

Assegnata una popolazione, si ottiene un campione casuale in blocco di dimensione

n n

, se la selezione delle unità statistiche che lo compongono avviene

1. contemporaneamente, mediante un’unica estrazione;

2. oppure, in sequenza e senza reimmissione, purché non si attribuisca alcuna

importanza all’ordine con il quale le unità statistiche sono prescelte.

Ne segue che, due campioni casuali estratti in blocco sono considerati diversi se

differiscono tra loro per almeno un elemento, poiché, in tale procedura di

campionamento, o non è possibile definire un ordine tra gli elementi selezionati,

oppure l’ordine non è determinante a priori. Quindi, se si ricorre ad un campionamento

n N

casuale in blocco di unità da una popolazione costituita da elementi, lo

N n

spazio campionario Ω è composto dalle combinazioni semplici di in classe e

( )

N

=

C

la sua cardinalità risulta essere: card (Ω) = .

N , n n

CAPITOLO 3 – TEORIA DELLA PROBABILITA’

Probabilità di un evento

1. Concezione classica

2. Concezione frequentista

3. Concezione geometrica

4. Concezione soggettiva

CONCEZIONE CLASSICA

Secondo la concezione classica, assegnato un esperimento casuale, la probabilità di

A P( A)

un evento indicata con , viene definita mediante il rapporto tra il numero

n A n

dei casi favorevoli al verificarsi di ed il numero dei casi incompatibili ed

A

ugualmente possibili, per cui

n A

( )=

P A n

CONCEZIONE FREQUENTISTA A

Secondo la concezione frequentista, la probabilità di un evento viene definita

come la frequenza relativa con cui esso si verifica in una successione di prove,

eseguite nelle medesime condizioni.

N A

( )= ,

P A lim N

N→∞ N

N

essendo il numero di prove da realizzare nelle medesime condizioni ed il

A

A N

numero di volte in cui si verifica l’evento nelle prove.

CONCEZIONE GEOMETRICA 2 A S

Esempio: Assegnato un bersaglio , sia un sottoinsieme di . Se tutti i

∁

S R

punti del bersaglio presentano la stessa probabilità di essere colpiti e le aree degli

A S P( A)

insiemi ed sono note e finite, allora la probabilità di colpire un

A S

punto di , tirando con un arco verso il bersaglio , si ottiene come segue:

area( A)

( )=

P A area( S)

CONCEZIONE SOGGETTIVA

Esempio: Si consideri il gioco che consiste nel ricevere 1 se, in seguito all’esecuzione

A

di un esperimento casuale, si verifica un determinato evento , oppure 0 se tale

evento non si verifica. Se il prezzo (un numero compreso tra 0 e 1) che si è disposti a

pagare per partecipare a tale gioco non garantisce, in seguito ad una serie di tentativi,

equo

una vincita o una perdita certa, il gioco è definito ed il prezzo, denominato

congruo, rappresenta la probabilità che si attribuisce all’evento considerato.

Teoria assiomatica

PROBABILITA’ A σ

Siano Ω lo spazio campionario di un esperimento casuale ed una -algebra di

A

eventi di Ω. Si definisce probabilità una funzione che ad ogni evento

A

appartenente ad associa un numero reale, ovvero una funzione di insieme

P: A → R , che soddisfa i seguenti assiomi:

( )=1.

P Ω

1. ( )

A P A ≥ 0

2. ∀ A ∈ , , + ¿ ,i ≠ j

B B B , ∈ A,

3. ∀ , ,…, … ,

∈

=∅

1 2 n B ∩ B ,i , j N ¿

i j

¿ i=1

B i

P(¿) +∞

∑

+∞ B

¿ = ¿

P ( )

i =1

i

PROPRIETA’ DELLA PROBABILITA’

( )

∅ =0

P

a) . ( ) ( )

∀ ∈ ∁

A , B A , A B , P A ≤ P B .

b) ( )

C ( )

c) .

∀ ∈ =1−P

A A , P A A

( )

∀ ∈

A A , P A ≤ 1

d) . C

( )=P ( )+

e) .

∀ ∈ )

A , B A , P A A ∩ B P( A ∩ B

( )=P ( ) ( )−P(

∀ ∈ ∪ +

A , B A , P A B A P B A ∩ B)

f) . =∅

B B B B ∩ B ,i , j=1,2, … , n ,i ≠ j

∈ A,

g) ∀ , ,…, ,

1 2 n i j

¿ i=1

B i

P(¿)

B B B ,… ∈ A,

h) ∀ , ,…, .

1 2 n + ∞

∑

+∞ B

¿ ¿

P ≤

( )

i i=1

Probabilità condizionata ed indipendenza

PROBABILITA’ CONDIZIONATA ¿

A , P A B

Assegnato uno spazio di probabilità (Ω, , siano e due eventi

A A

appartenenti ad , con P(B) > 0. Viene denominato probabilità condizionata di

A ¿

B B

, assegnato , e si indica con / , il rapporto tra la probabilità dell’evento

¿

P

( B

A ∩B)

intersezione e la probabilità dell’evento , ovvero

P( A ∩ B)

A ¿

B

/ = .

¿

P P( B)

A ¿

B A

In altri termini, / indica la probabilità che si verifichi l’evento ,

¿

P B

supposto che si sia verificato l’evento . ( ) ( )

=P

P A ∩ B B

In maniera equivalente si può scrivere:

A ¿

B

* /

¿

P

quest’espressione fornisce una regola per il calcolo della probabilità dell’evento

regola del prodotto legge delle probabilità composte.

intersezione, denominata o

( )>

P A 0

Inoltre, se risulta , allora per la proprietà commutativa dell’intersezione, la

A B

legge delle probabilità composte di due eventi e può essere espressa anche

nel seguente modo: B

( ) ( ) ¿

=P A

P A ∩ B A * /

¿

P P( A ∩ B)

B ¿

A

da cui si ottiene: / = .

¿

P P( A)

Proprietà:

/¿

A P( A)

1. Ω) = ;

¿

P

A ¿

A

2. / = 1;

¿

P P( A)

A ¿

B

3. se / = ;

∁

A B , P¿ P(B)