Riassunto esame Statistica 1, Prof. Posa Donato, libro consigliato Fondamenti di statistica descrittiva, Donato Posa

Valore Medio

Siano i valori osservati per un carattere quantitativo X. Sia f: -> R,R1 2 n ∈ ? ?x , x , ..., x x , x , ..., x Rnovvero una funzione tale che ( -> f(.∈ R1 2 n 1 2 n

Si definisce valore medio quel valore, indicato con M, che soddisfa la seguenteuguaglianza:

( )f(x1, x2, ..., xn) = ( )f(M, M, ..., M) = e che rispetta la condizione di Cauchy.

Media Aritmetica

Siano i valori osservati per un carattere quantitativo X e sia

( ) = (x1 + x2 + ... + xn) / n la funzione "somma delle osservazioni".

La media aritmetica, indicata con , è quel valore che soddisfa la seguenteuguaglianza:

(x1 + x2 + ... + xn) / n = M

e che rispetta la condizione di Cauchy: (1) (n)1n∑n xi = ∑n i=1 Mi = 1/n ∑n xi

Media Aritmetica Ponderata (per distribuzione di frequenza)

∑ xi ni=1 = M

Media Geometrica

x > 0, Siano i = 1, 2, ...,

n , i valori osservati per un carattere quantitativo X e siai( ) =x *x *...*xf x x ..., x la funzione "prodotto delle osservazioni".

1 , 2 , n 1 2 n M

La media geometrica, indicata con , è quel valore che soddisfa la seguente uguaglianza:

x *...*x =M *M *...*Mx 1 2 n 0 0 0 x xM≤ ≤

e che rispetta la condizione di Cauchy: (1) (n)

0n n∏ ∏ n( prodottodi n termini) xdunque, utilizzando il simbolo : = --->M 0ii=1 i=1√ nn ∏=M x0 ii=1

MEDIA GEOMETRICA PONDERATA (per distribuzione di frequenza):

√ sn ∏=M x0 i n ii=1

MEDIA ARMONICA>x 0,

Siano i = 1, 2, ..., n , i valori osservati per un carattere quantitativo X e siai 1 1 1( ) = +f x x ..., x ...++ la funzione "somma dei reciproci delle1 , 2 , n x x x1 2 nosservazioni".

MLa media armonica è quel valore che soddisfa la seguente uguaglianza:

-11 1 1 1 1 1+ + +...+...++ =x x x M M M-1 -1

1. −11 2 nx xM≤ ≤e che rispetta la condizione di Cauchy: (1) (n)−1nn 11∑ nMdunque: = ---> = 1n ∑−1Mx −1i=1 i xi=1 i MMEDIA ARMONICA PONDERATA (per distribuzione di frequenza): =−1ns 1∑ nixi=1 iMEDIA DI POTENZE>x 0,Siano i = 1, 2, ..., n , i valori osservati per un carattere quantitativo X e siai( ) r r r=¿f x x ..., x ∈r R ,r≠ 0+ + ... + ,x x x la funzione "somma delle1 , 2 , n 1 2 npotenze r-esime delle oss." MLa media di potenze è quel valore che soddisfa la seguente uguaglianza:rr r r r r r+ + ... + = + + ... +x x x M M M1 2 n r r rx xM≤ ≤e che rispetta la condizione di Cauchy: (1) (n)rrx in1 ∑ ¿n∑ r r nxdunque: = --->Mn i=1ri ¿i=1 ¿=¿M r rx ni is1 ∑ ¿nMEDIA DI POTENZE PONDERATA (per distribuzione di frequenza): i=1¿¿=¿M rPROPRIETA' DELLA MEDIA ARITMETICASCARTI DALLA MEDIA ARITMETICA MSi definiscono scarti o scostamenti

Dalla media aritmetica si indicano con il simbolo ε xi = 1, 2, ..., n, le differenze tra ogni valore osservato e il valore medio ε:

1. SOMMA ALGEBRICA DEGLI SCARTI

La somma algebrica degli scarti dalla media aritmetica è nulla: ∑ εi = 0

2. SOMMA DEI QUADRATI DEGLI SCARTI

La somma dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica è minore o uguale della somma dei quadrati degli scarti da un qualunque altro numero reale: ∑ (εi)^2 ≤ ∑ (xi - M)^2 ∀ ∈ R

3. PROPRIETA' TRASLATIVA

Assegnati i valori xi = 1, 2, ..., n, osservati per il carattere X, si definiscono i valori yi, i = 1, 2, ..., n, come segue:

yi = xi + b ∈ R

b = COSTANTE DI TRASLAZIONE, dove b = yi - xi

La media aritmetica dei valori yi, i = 1, 2, ..., n, risulta essere:

Mi = 1/n ∑ yi

x = M + bM¹14. PROPRIETÀ DI OMOGENEITÀ

x, Assegnati i valori i = 1, 2, ..., n, osservati per il carattere X, si definiscono i valori iy, i = 1, 2, ..., n, come segue:

iy = ax ∈ R, a ≠ 0 a = FATTORE DI SCALA, dove . = i

La media aritmetica dei valori, i = 1, 2, ..., n, risulta essere:

Mi1y = aM

15. PROPRIETÀ ASSOCIATIVA

Sia X un carattere quantitativo osservato su gruppi di numerosità 1, 2, ..., r rispettivamente.

Siano le medie aritmetiche corrispondenti agli gruppi del collettivo osservato. M₁, M₂, ..., M_r

La media aritmetica di tutto il collettivo è pari alla media aritmetica delle medie dei singoli gruppi, ponderate con le rispettive numerosità:

(1 * n₁ + 2 * n₂ + ... + r * n_r) / (n₁ + n₂ + ... + n_r) = M

6. FUNZIONE CRESCENTE DELLE OSSERVAZIONI

Siano i = 1, 2, ..., n, le osservazioni di un carattere quantitativo X disposte in ordine crescente:

x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n

xordine non decrescente: .(1) (2) ( (k) (n)j)M j

Se si indica con la media aritmetica calcolata fino al -esimo valore e con1( j)M k j<kla media aritmetica calcolata fino al -esimo valore, con , risulta:1(k)M ≤ M j<k,(k)1( j) 1 =MM =2,j=1,2, … , n−1, k 3,.. , n

La seguente uguaglianza ,( ) ( )1 j 1 k=x =…=x =…=x =…=xxsi verifica se e solo se ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 j k n

PROPRIETA' DELLA MEDIA GEOMETRICA

1. PROPRIETA' DI OMOGENEITA'x ,Assegnati i valori i = 1, 2, ..., n , osservati per il carattere X, si definiscono i valoriiy y a x a> 0, i = 1, 2, ..., n , come segue: .=i i iy yLa media geometrica dei valori , i = 1, 2, ..., n , risulta essere :M i0y x=aM M0 0

2. PROPRIETA' DELLA MEDIA GEOMETRICA DI RAPPORTILa media geometrica di una serie di rapporti è uguale al rapporto tra la mediageometrica dei dividendi e la media geometrica dei divisori. a ix = >0, >0x , a b ,i=1, 2,… , n , definiti come segue

Assegnati i valori i = 1, 2, ..., n, la media geometrica risulta essere:

√(i₁ * i₂ * ... * i_n)

Assegnati i valori a₁, a₂, ..., a_n, la media armonica risulta essere:

n / (a₁^-1 + a₂^-1 + ... + a_n^-1)

PROPRIETÀ DELLA MEDIA ARMONICA

1. PROPRIETÀ DI OMOGENEITÀ

Assegnati i valori x₁, x₂, ..., x_n osservati per il carattere X, si definiscono i valori y₁, y₂, ..., y_n come segue:

y_i = a * x_i

La media armonica dei valori y₁, y₂, ..., y_n risulta essere:

M_y = n / (a * M_x)

2. PROPRIETÀ DELLA MEDIA DI POTENZE

1. PROPRIETÀ DI OMOGENEITÀ

Assegnati i valori x₁, x₂, ..., x_n osservati per un carattere quantitativo X, si definiscono i valori y₁, y₂, ..., y_n come segue:

y_i = a * x_i^r

La media di potenze dei valori y₁, y₂, ..., y_n risulta essere:

M_y = n / (a * M_x^r)

2. COMPORTAMENTO ASINTOTICO

Siano x₁ e x_n rispettivamente il valore minimo ed il valore massimo osservati; si dimostra