Riassunto esame Statistica economica, Prof. Grassini Laura, libro consigliato Biggeri L., Bini M., Coli A., Grassini L., Maltagliati M. (2017; II edizione) Statistica per le decisioni aziendali. Ed. Pearson, Milano., Grassini L.

Stima corretta di σ

Una stima corretta di σ è data da: σ = √(S^2 / (n-2)), dove:

• S^2 è la devianza residua
• n-2 è il numero di gradi di libertà associati alla devianza residua, dati dal numero delle osservazioni meno il numero dei coefficienti della retta (n - nr. coeff)

Stima dell'errore standard

L'errore standard S misura la variabilità dei valori osservati di Y intorno alla retta di regressione. L'ordine di grandezza di SYX dovrebbe sempre essere giudicato in relazione all'ordine di grandezza della variabile dipendente Y.

Errore standard dello stimatore di β

L'errore standard dello stimatore del coefficiente angolare (β) è stimato da: S(β) = √(S^2 / Σ(xi - x̄)^2), dove:

• S^2 è l'errore standard
• Σ(xi - x̄)^2 è la somma dei quadrati delle differenze tra i valori di x e la media di x

L'errore standard indica la variabilità dello stimatore dei MQ nello stimare il coefficiente angolare, variabilità dovuta solo a disturbi accidentali. S è una misura della variazione nella pendenza di rette di regressione da possibili differenti campioni.

Test sul coefficiente angolare - Test t

H₀: β = 0 (non c'è relazione tra le variabili)

regressione.Se è valido il modello di regressione lineare, ci si attende che i punti si distribuiscano attorno a una retta in modo casuale, senza mostrare tendenze evidenti. Se invece la rappresentazione grafica delle coppie (x , r ) rivela, ad esempio, una successione dapprima di valori positivi, poi di valori negativi e, infine, ancora una serie di valori positivi, il modello lineare appare inadeguato ed occorre passare a modelli alternativi (es. una funzione parabolica). (Lineare – varianza costante – indipendenti fanno ritenere che la retta sia valida)Per verificare la linearità: Per verificare la omoschedasticità (varianza costante):

CAPITOLO 5

Introduzione, x , …, x processo , y , …, yx    y 1 2 H 1 2 Kquantità imput quantità output

Sono concetti legati alla teoria della produzione. Principale differenza: produttività: coinvolge le quantità effettive di

1. output e input (misura derivante da dati effettivi).
2. efficienza tecnica: misura derivante dal confronto di dati effettivi con uno standard di ottimalità (ricavabile attraverso ipotesi e stime):
   • efficienza tecnica dal lato output
   • efficienza tecnica dal lato dell'input
3. Produttività e produttività totale dei fattori (TFP):

   Cos'è la produttività per un processo che impiega un solo input e produce un solo output:

   quantità di output prodotta (y) = produttività = quantità di input impiegata per produrre y

   L'unità di misura della produttività dipende dall'unità di misura di y e di x; cioè, a meno che y e x non siano espressi nella stessa unità di misura, la produttività non è un numero puro.

4. La produttività con più input e/o più output:

   Quando si hanno più input e/o più output, si distingue fra:

   • produttività parziale (P): y

/x− i ky: quantità dell'output

iix: quantità dell'input k utilizzata

produttività totale dei fattori (TFP-Total Factor Productivity): ovvero una misura della produttività che coinvolge tutti gli output e tutti gli input. È un concetto più complesso e più difficile da misurare.

Produttività parziale e TFP coincidono quando abbiamo un solo input e un solo output.

Esempio: calcolo di produttività parziale con 3 input e 2 output (totale: 3x2=6 produttività parziali)

Produttività parziale rispetto al fattore cuoio:

• y scarpe 120 = 1.5 n. scarpe per 1 q. di cuoio x cuoio 80
• y borse 10 = 0.125 n. borse per 1 q. di cuoio x cuoio 80

Produttività parziale: Come dice il termine, ci fornisce una visione parziale della performance del processo produttivo. Possiamo usarla confrontando processi omogenei rispetto alla tecnologia (stessa combinazione dei fattori produttivi e output prodotto).

oppur per lo stesso processo nel tempo. Anche se grossolana, viene comunque usata in ambito macroeconomico.

Produttività nominale del lavoro: valore aggiunto/numero di addetti (migliaia euro):

Si tratta di un esempio di produttività parziale perché tiene conto solo del fattore lavoro (addetti). Significa solo che ci sono differenze strutturali e non che gli addetti del settore chimico sono più bravi di quelli del settore tessile.

L'analisi della produttività è interessante soprattutto in un'ottica di confronto. In particolare, siamo interessati a confronti nel tempo.

Variazione della produttività con 1 solo input e 1 solo output:

y t produttività al tempo t: P = t x t y - 1t

Produttività al tempo t-1: P = t-1 x t-1

L'indice di produttività misura la variazione della produttività → numeratore: numero indice q.tà output al tempo t in base t-1 denominatore: numero indice q.tà input al tempo t-1

tempo t in base t-1

Se l'espressione è >1 significa che gli output sono aumentati(o diminuiti) in proporzione maggiore(minore) rispetto all'aumento(alla diminuzione) dell'input.

Variazione della produttività con più input e/o più output:

Possiamo seguire due strade:

1. Misurare la variazione delle produttività parziali indice di produttività

Esempio: produttività dell'input "operai" per l'output "scarpe" fra tempo 1 e 2: (200/5)/(120/4)=(200/120)/(5/4) =1.33 (aumento del 33%)

2. Misurare la variazione della produttività totale dei fattori (TFP) indice di TFP

Esempio: con K output e H input

Variazione della TFP fra il tempo 0 e il tempo t:

Soluzione - indici sintetici delle quantità:

Per aggregare gli indici elementari delle quantità degli output (numeratore dell'indice di TFP) e degli input (denominatore dell'indice di TFP) si usa un numero indice

processo P: Interpretazione: y / y * = 0.8 ho prodotto l'80% di quello che posso produrre con la stessa unità di input. p p= 0.8 posso produrre la stessa quantità di  p output con l'80% della quantità di input attualmente impiegata.

Proprietà analitica importante: La funzione frontiera è una funzione non decrescente delle quantità degli input; dal punto di vista teorico esiste un'eccezione: la input congestion, ovvero l'impiego di troppe quantità di input.

Rendimenti di scala: Quando la frontiera è una retta invece siamo in presenza di rendimenti costanti.

Costanti: aumentando (diminuendo) l'input del c%, l'output aumenta (diminuisce) del c% (proporzionalmente).

Crescenti: aumentando (diminuendo) l'input del c% , l'output aumenta (diminuisce) del b% con b>c (più che proporzionalmente).

Decrescenti: aumentando (diminuendo) l'input del c%, l'output aumenta

(diminuisce) del b % con b<c (meno che proporzionalmente).Nell’approccio «parametrico» la funzione frontiera viene rappresentata da una funzioneanalitica. Una funzione spesso utilizzata è laforma analitica Cobb-Douglas.Forma Cobb-Douglas con 1 input:αy* = ax a>0, α>0La funzione passa per l’origine (0;0) Ѐ monotona crescente (a>0, >0)Il parametro stabilisce i rendimenti di scalaSe x aumenta da x