Riassunto esame Statistica aziendale, Prof. Grassini Laura, libro consigliato Statistica per le decisioni aziendali, Biggeri, Bini, Coli, Grassini, Maltagliati

TFP:

Formula di Laspeyres: Yk = output

Xh = input

Ch = costo input

Pk = prezzo output

Formula di Paasche:​

Esempio:

Efficienza tecnica = confronto tra dato effettivo e standard di ottimalità. Facciamo riferimento

solo ai processi che impiegano più input ma producono solo un output (monoprodotto).

-​ output efficiency = efficienza tecnica dal lato dell'output

-​ input efficiency = efficienza tecnica dal lato dell’input

Funzione di produzione frontiera =

associa alla quantità di input, la

massima quantità di output (y*).

La funzione frontiera divide il piano in due parti:

-​ feasibility area = contiene le combinazioni (x, y)

consentite dalla tecnologia.

-​ unfeasibility area = combinazioni di output e input

che non sono realizzabili con quella tecnologia.

Proprietà:

-​ è definita nel piano cartesiano positivo

-​ è una funzione non decrescente rispetto alle quantità degli input

Un processo è efficiente se sta sopra alla frontiera, non è efficiente se sta sotto alla

frontiera. Rendimenti di scala:

-​ rendimenti costanti = Se

aumento ogni input del q%, l'output

aumenta del q% (aumenta in modo

proporzionale).

-​ rendimenti crescenti = Se

aumento ogni input del q%, l'output

aumenta del r% con r > q (aumenta

in modo più che proporzionale).

-​ rendimenti decrescenti = Se aumento ogni input del q%, l'output aumenta del r% con r

< q (aumenta in modo meno che proporzionale).

Output efficiency: Deve essere

compreso tra 0 e 1.

Input efficiency:​ Deve essere

compreso tra 0 e 1.

Quindi:

-​ output efficiency = 0,8 ->

produco l’80% della massima

quantità di output che potrei

produrre.

-​ variazione output = +25%

-> con la stessa quantità di input

posso aumentare la produzione

del 25%

-​ input efficiency = 0,8 ->

posso produrre gli stessi output

risparmiando il 20% di input

-​ variazione input = -20% ->

posso usare il 20% in meno di

input per produrre gli stessi output

Funzione Cobb-Douglas:​

Con 1 solo input:​

Con 2 input:​ Efficienza e produttività non sono la

stessa cosa: due processi efficienti (che

stanno sulla frontiera), possono avere

una differente produttività. Questo

accade se la funzione frontiera e a

rendimenti non costanti.

Slide 13 - Associazione

-​ associazione tra due variabili categoriche -> si usa la tabella di frequenza incrociata o

tabella di contingenza

-​ associazione tra una variabile categorica e una numerica -> si usa il boxplot della

variabile numerica in corrispondenza delle categorie della variabile categorica

-​ associazione tra due variabili numeriche -> si può calcolare il coefficiente di

correlazione e disegnare lo scatterplot

Associazione tra due variabili categoriche: Se vogliamo capire se l’abitudine

al fumo degli studenti dipenda da

quella dei genitori, conviene

calcolare le percentuali di riga.

Tali percentuali rappresentano le

distribuzioni condizionate.

Infatti, il numero dei genitori fumatori in famiglia, influisce sulla % degli studenti fumatori (dal

13,9% al 22,5%).

Associazione tra variabile numerica e categorica:

Boxplot dei valori della variabile numerica condizionati alla

variabile categorica. Vediamo che i due boxplot non sono

allineati. La spesa per il viaggio all’estero tende ad essere

superiore a quella per il viaggio in Italia.

Associazione tra due variabili numeriche:​

Si tratta di due variabili numeriche, quindi possiamo

rappresentarle in uno scatterplot (diagramma di

dispersione), ponendo in x il numero di stanze e in y la

spesa di energia.

Le pile di punti sono le distribuzioni della y

condizionatamente a ciascun valore di x. Vediamo che

la pila si sposta in alto all’aumentare della x.

Il modello di regressione lineare

esprime che una variabile numerica y

(variabile dipendente) in funzione di

una o più variabili numeriche x

(variabili indipendenti o regressori).

Slide 14 - Regressione lineare parte 1

Serve per capire come varia una variabile (variabile dipendente, y) al variare di una o più

variabili (variabile indipendente, x) individuando una funzione analitica che rappresenti tale

relazione.

-​ regressione semplice = una sola variabile indipendente

-​ regressione multipla = due o più variabili indipendenti

Obiettivi della regressione:

-​ descrittivo = Si vuole rappresentare tramite una funzione analitica l'andamento dei

valori di una variabile (y) al variare dei valori di un’altra (x) o di altre, descrivendo i dati

del campione a disposizione.

-​ esplicativo = Si cerca di spiegare, con una funzione analitica, come una o più variabili

indipendenti x spiegano l'andamento della variabile dipendente y e si vuole

generalizzare alla popolazione i risultati della stima ottenuta da un campione di dati (si

usa la teoria del test delle ipotesi).

-​ predittivo = Si vuole predire, con una funzione analitica, il valore che assumerà la

variabile dipendente (y), in corrispondenza di un predeterminato valore della x (o delle

x).

Quindi indichiamo con:

-​ y = variabile dipendente

-​ x = variabile indipendente Funzione lineare -> di cui beta0 =

intercetta e beta1 = pendenza (esprime la variazione di

y per incrementi unitari di x.

-​ se beta1 > 0 -> quando x aumenta, y aumenta, la

retta va verso l’alto e la relazione tra le variabili è

positiva.

-​ se beta1 < 0 -> quando x aumenta, y diminuisce,

la retta va verso il basso e la relazione tra le variabili è

negativa

-​ se beta1 = 0 -> il grafico è una retta orizzontale

Stima della retta: avviene con il metodo dei minimi quadrati

-​ b0 = stima di beta0

-​ b1 = stima di beta1

-​ y (con cappello) = valore predetto di y

-​ b1 = coefficiente di regressione

-​ numeratore = codevianza di x e y, il suo segno può essere negativo (relazione

discordante tra x e y) o positivo (relazione concordante tra x e y)

-​ denominatore = devianza () di x e ha segno positivo

Coefficiente di correlazione lineare: -​ è compreso tra -1 e 1

-​ se = -1 -> relazione lineare discordante (i

punti sono allineati su una retta decrescente)

-​ se = +1 -> relazione lineare concordante

(i punti sono allineati su una retta crescente)

-​ se = 0 -> assenza di legame lineare

RSS o devianza residua = la differenza tra il valore osservato (y) e il valore predetto (y^) è

detto residuo. RSS sintetizza gli errori di predizione della retta stimata. Le stime dei minimi

quadrati b0 e b1 sono quei valori che individuano la retta per la quale RSS è minima.

TSS o SST o devianza totale di y = variabilità dei valori della y intorno alla loro media.

ESS o devianza di regressione = variabilità dei valori predetti (y^) intorno alla loro media (y

tetto). Più è elevata, meglio la retta stimata approssima i punti.

R^2 o coefficiente di determinazione lineare = è compreso tra 0 e 1 perchè TSS > RSS e

RSS>ESS. E’ la proporzione della variabilità di y (di TSS) spiegata dalla retta. Descrive la forza

del legame lineare fra x e y.

Esempio: R^2 = 28,8% -> la devianza di regressione ESS è il 28,8% della devianza totale di y

(TSS).

-​ Se non ci sono errori di previsione (ciascun residuo è = 0), allora RSS = 0 e R^2=1.

-​ Se RSS = TSS allora R^2 = 0, non c’è alcuna relazione, quindi la retta è parallela

all’asse delle ascisse, cioè b1=0. R^2 = ESS / TSS

R^2 = 1-(RSS/TSS) = 0,8

RSS/TSS = 0,2

RSS = 0,2 TSS

il testo non fornisce né

ESS né TSS

TSS = ESS + RSS =

1080+800=1880

R^2 = ESS / TSS =

1080/1880 = 0,57

se x=0 significa che non c’è

nessuna persona in coda,

quindi aspetta 2 min

se x=0 significa che non ci

sono lavori stradali, quindi il

bus ritarda di b0 minuti

x=0 è illogico perché

significherebbe che non c’è

l’appartamento, mq=0

chiede l’unità di misura e non

il significato.

b0 = valore di y quando x=0,

quindi si utilizza l’unità di

misura di y, cioè migliaia di

euro

se aumento il prezzo di 1 euro:

y^=100-0,5(x+1) = 100-0,5x-0,5

cioè abbiamo una diminuzione delle

vendite pari a 0,5 quintali di gelato

se diminuisco il prezzo di 1 euro:

y^=100-0,5(x-1) = 100-0,5x+0,5

cioè abbiamo un aumento delle

vendite pari a 0,5 quintali di gelato

b1 = quintali / litri

se R^2=0, non c’è relazione

lineare, quindi la retta stimata è

parallela all’asse delle ascisse,

cioè b1=0

RSS = la somma dei quadrati

degli scarti residui. Il metodo dei

minimi quadrati vuole

minimizzare RSS, quindi si

prende il più basso tra i due.

la retta dei minimi quadrati

passa per il punto (x tetto, y

tetto), allora x=x tetto e y^=y

tetto.

si sostituisce 10 nella x e si

ottiene y^=14

sostituisco 2 nella x e ottengo

y^=15.

r = y-y^ = 10-15 = -5

Slide 15 - Regressione lineare parte 2

Inferenza su beta1… beta1 ci interessa perchè è il coefficiente angolare della retta, quindi è

responsabile del legame tra x e y.

-​ se beta1 è diverso da 0 allora c’è legame

-​ se beta1 è uguale a 0 allora non c’è legame

Perché inferenza? per generalizzare il risultato della stima di beta1 da un campione alla

popolazione.

-​ nella popolazione beta1 = 0 (non c’è relazione)

-​ nella popolazione beta1 diverso da 0 (c’è relazione)

Ma come facciamo a scegliere? si usa il test delle ipotesi, impostando H0: beta1 = 0.

Modello di regressione lineare:

In statistica dire che c’è una regressione lineare di y su x, equivale a dire:

b1 è uno dei valori che

può assumere B1 e

dipende da beta1 e

dall’azione dell’errore

La precisione di B1 (stimatore dei MQ di beta1) è data

dalla sua deviazione standard. Esprime la distanza media

dal valore vero beta1 delle possibili stime b1. Più è

grande DS e meno è preciso B1 per stimare beta1.

La variabilità di B1 dipende da:

-​ = la variabilità del disturbo

^2

(più è grande minore è la precisione

^2,

di B1)

-​ dimensione campionaria n: più è

grande n, più preciso è B1

-​ MSD (x): la variabilità dei valori di x

intorno alla loro media (più è grande, più è

preciso B1)

Noi non conosciamo DS