Riassunto esame Psicometria , Prof. Primi Caterina, libro consigliato Introduzione alla psicometria, Caterina Primi

Teoria della Probabilità - Terminologia

- Esperimento casuale: un esperimento che dà luogo a differenti risultati se ripetuto più volte sotto le stesse condizioni

- Evento elementare: il risultato di un esperimento casuale

- Spazio campionario: l'insieme che contiene tutti i possibili esiti dell'esperimento

- Spazio campionario discreto (es. se lancio una moneta lo spazio campionario è costituito da due possibili eventi; se lancio un dado gli eventi possibili sono sei)

- Spazio campionario continuo (es. se registriamo il tempo necessario per l'apprendimento di un compito motorio lo spazio campionario sarà costituito dai numeri reali positivi)

- Evento: è un sottoinsieme dello spazio campionario

- Evento elementare (semplice): se è costituito da un solo elemento

- Evento composto: se è costituito da più elementi

- Evento certo: se coincide con lo spazio campionario

- Evento impossibile: se l'insieme è vuoto

1. Interpretazione classica della probabilità: probabilità a priori

La probabilità di un evento (A) è data dal rapporto tra il numero degli eventi favorevoli, o successi, (f) e il numero degli eventi ugualmente possibili (n)

1. Postulati della probabilità:

• La probabilità dell'evento certo e quindi dello spazio campionario Ω è sempre 1
• La probabilità dell'evento impossibile è uguale a 0
• La probabilità di un evento è sempre un numero unico maggiore o uguale a zero: P(E)≥0
• Dato uno spazio campionario e un evento A entro tale spazio, la probabilità associata ad esso è sempre compresa tra 0 e 1

1. La probabilità può essere espressa:

• Come una proporzione (sotto forma di frazione o numero decimale compreso tra 0 e 1)
• In termini percentuali (p x 100)

EVENTO A' (non A): insieme di eventi entro lo spazio campionario diversi da A

La somma della

probabilità degli eventi favorevoli e degli eventi sfavorevoli è sempre uguale a 1

• Probabilità frequentista (a posteriori o empirica)- La probabilità di un evento (A) è uguale alla frequenza (f) dei successi su n prove (con sufficientemente grande) ripetute nelle medesime condizioni; calcolo della probabilità come frequenza relativa dell’evento in una serie di osservazioni

- Per valutare la probabilità di eventi legati alla vita reale

- Si calcola la frequenza relativa dell’evento nella serie di dati (totale delle osservazioni)

- Il valore che si ottiene è un valore approssimativo della probabilità reale dell’evento

- Il valore sarà tanto più accurato quanto più è grande la serie dei dati che si prende in esame

- Se dopo aver ripetuto un esperimento casuale un numero n elevato di volte, l’evento A si verifica f volte. La probabilità è data dal limite a cui tende il

Rapporto tra successi e prove (proporzione di successi a lungo termine)

• Evento composto: dati due eventi (evento A ed evento B), possono verificarsi l'uno o l'altro: A o B (A∪B)⇨ Entrambi: A e B (A∩B)
• Eventi disgiunti: la probabilità di A∪B (verificarsi disgiunto di A e B) deve essere calcolata stabilendo se gli eventi sono
  • Mutuamente escludenti: A e B si dicono mutuamente escludenti (o incompatibili) se A∪B=∅ (il verificarsi dell'uno esclude il verificarsi dell'altro = non possono verificarsi contemporaneamente e non hanno elementi in comune)
  • Non mutuamente escludenti: A e B si dicono non mutuamente escludenti (o compatibili) se A∩B=∅ (il verificarsi dell'uno non esclude il verificarsi dell'altro = possono verificarsi contemporaneamente e hanno elementi in comune)
• La probabilità di A∩B (verificarsi congiunto di A e B) deve essere calcolata stabilendo se gli eventi sono

indipendenti o dipendenti- A e B si dicono indipendenti se il verificarsi di A non influenza il verificarsi di B (o non modifica la probabilità di B); sapere che A si è verificato non da informazioni sul verificarsi di B- A e B si dicono dipendenti se il verificarsi di A influenza il verificarsi di B; sapere che A si è verificato da informazioni sul verificarsi di B (o modifica la probabilità di B)

Probabilità condizionata: la probabilità di un evento B posto il verificarsi di un altro evento A, ovvero la probabilità di verificarsi di B sapendo che si è già verificato A

Se A e B sono indipendenti

DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ ECAMPIONARIE

DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ DISCRETA

DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ

I possibili risultati di un esperimento costituiscono uno spazio campionario di eventi a ciascun evento possiamo associare la probabilità del suo verificarsi

Distribuzione di

probabilità: definita da tutti i possibili risultati e le corrispondenti probabilità

Distribuzioni teoriche non legate a un particolare esperimento

• Possano essere definite matematicamente
• Funzione di densità di probabilità f(y)

Distribuzioni di probabilità sottendono un'area uguale a 1 che costituisce lo spazio campionario

• Variabili discrete uguale a 1 = somma delle probabilità di tutti gli eventi discreti
• Variabili continue uguale a 1 l'area sottesa alla curva

Variabile casuale continua

• Le distribuzioni di probabilità si riferiscono alla distribuzione di una variabile nella popolazione
• Ci sono distribuzioni di probabilità che possono essere definite matematicamente e alcune di esse sono appropriate per dati psicologici (Distribuzione Normale, Distribuzione T di Student, Distribuzione F di Fischer)

Distribuzioni Normali o Gaussiane

Importanti per il ruolo che hanno nell'inferenza

statistica- Tutte le distribuzioni gaussiane hanno la stessa forma

- Infinita: va da -∞ a +∞

- Simmetrica (μ= Mo = Me)

- Unimodale

- Asintotica: si avvicina all’asse X senza mai toccarlo

- È definita dalla seguente equazione (funzione di densità della probabilità):

Dove:

media della popolazione μ

deviazione standard della popolazione σ

π= costante (=3.14)

e=- Le distribuzioni normali hanno medie e deviazioni standard diverse

- Le distribuzioni normali dipendono da due soli parametri = μ, σ

- Qualsiasi siano i parametri e l’area della porzione di curva μ σ, delimitata dalla media e una ascissa espressa in termini di deviazione standard è costante

µ+σ = 34.13% della distribuzione

µ+2σ = 47.73% della distribuzione

µ+3σ = 49.86% della distribuzione

- Porzioni della distribuzione comprese tra ± 1, 2, 3 deviazioni standard da (in %) μ

•Distribuzione

Normale Standardizzata- Data una distribuzione normale definita da una media μ e una deviazione standard σ, i valori di x in punti z si ottiene una distribuzione normale standardizzata con media uguale a 0 e deviazione standard uguale a 1. La standardizzazione è utile in quanto trasforma qualsiasi distribuzione normale - con una media μ e una deviazione standard σ - in una distribuzione normale con media 0 e deviazione standard uguale a 1. La standardizzazione consente di trovare le aree sottese alla distribuzione normale usando delle tavole. Per la curva normale standardizzata (μ = 0; σ = 1) sono stati tabulati i valori degli integrali per tutti i valori di z, ovvero di tutte le aree z comprese tra -∞ e +∞. Il valore che si ottiene è sempre compreso tra 0 e 1 (probabilità). Moltiplicando tale valore per 100 si ottiene la percentuale della distribuzione.

DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA

• Incertezza e Probabilità
• Se estraiamo due campioni casuali dalla stessa popolazione,

ciascuno costituito dallo stesso numero di osservazioni e calcoliamo la media di una qualche variabile, le sue medie saranno certamente diverse, nonostante che i campioni provengono dalla stessa popolazione

• Errori di campionamento

La variabilità della media campionaria è legata agli errori di campionamento: la media del campione fornisce una stima imperfetta della media della popolazione ed a causa della naturale variabilità tra le osservazioni, campioni diversi producono medie campionarie diverse; la variabilità campionaria dipende anche dall'errore di misurazione, dato che qualunque procedura di misurazione è imperfetta

• Variabilità campionaria

Quando la variabilità campionaria è molto grande, il campione è poco informativo a proposito del parametro della popolazione. Quando la variabilità campionaria è piccola invece la statistica del campione è informativa del parametro della popolazione

Anche se è impossibile che la statistica di un qualsiasi campione sia esattamente uguale al parametro della popolazione.

Distribuzione campionaria: Relazione tra i valori possibili di una data statistica (calcolata su un campione di dimensioni e la probabilità associata a ciascun valore per tutti i possibili campioni di dimensione estratti da una popolazione.

Distribuzione campionaria della media: Se si estraggono tutti i possibili campioni di ampiezza n da una popolazione che ha distribuzione normale (con media μ e deviazione standard σ), si calcola per ogni media.

Distribuzione campionaria della media (dCM): anch'essa normale, è caratterizzata da una media (μ) e una deviazione standard, detta errore standard (σM).

Valore atteso (media di una variabile casuale): Il valore atteso è la media di tutti i valori che X può assumere pesato dalla sua probabilità; rappresenta ciò che ci si aspetta come valore medio di X in una lunga serie di.