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Preferenza per la varietà
AC q a54. Preferenza per la varietà A B, CDati due panieri e per i quali l'agente si dichiara indifferente, e un terzo paniere A B,ottenuto come combinazione lineare di eC xA x)B, x= + (1 – con 0 < < 1C A Ballora è preferito sia ad che aQuesto assioma ipotizza che qualunque paniere formato da x parti di A e il resto di B èsempre preferito ad A e a BPreferenza per la varietà Se AIB allora CPA e CPBq b A C B q aREGIONE DI INDIFFERENZAEsempio dell'utilizzo degli assiomi per la rappresentazione grafica:Il consumatore dichiara che AID, questo significa che tutti i panieri in IV sono indifferentiNo, infatti EPD per la non sazietà.ad A? q Panieri preferiti a Db (non sazietà)EIVDPanieri Bnon IApreferitiad A C IIIII qaIl vincolo di bilancio delimita l'insieme di panieri possibiliProponiamo al consumatore un qualsiasi paniere A e grazie agli assiomi dividiamo il pianocartesiano in quattro quadranti che hanno origine in A-
Regione di preferenza
Si riferisce al quadrante I -> qualunque paniere al suo interno è preferito ad A (contiene una quantità maggiore di almeno un bene, assiemo non sazietà)
6- Regione di non preferenza
Si riferisce al quadrante III -> qualunque paniere al suo interno deve essere non preferito ad A (contiene una quantità minore di almeno un bene)
Regola: qualunque paniere a nord-est del paniere dato è preferito, a sud-ovest non è preferito
- Regione di indifferenza
I panieri indifferenti ad A devono essere tali per cui la minor quantità di un bene è compensata dalla maggior quantità dell'altro -> si trovano nei quadranti II e IV
Non tutti i panieri nei quadranti II e IV possono essere simultaneamente indifferenti rispetto ad A -> assioma della transitività:
Se EPD e AID allora EPA.
Quindi in II e IV ci sono sia panieri indifferenti che panieri preferiti ad A
Ora applichiamo l'assioma della di
preferenza per la varietà: Otteniamo una forma ben definita della regione di indifferenza rispetto al paniere dato. APPLICHIAMO L'ASSIOMA DI PREFERENZA PER LA VARIETÀ Ipotesi: AID Costruiamo F: F = xA + (1 - x)D Introduciamo G: AIG dove si troverà? D FG A Avremo che AID, GIA, FPA, FPD e quindi GID, FPGG non è preferito rispetto ad F e quindi dobbiamo posizionarlo a sud-ovest di F -> deve trovarsi all'interno del rettangolo delimitato dall'intersezioni delle regioni di indifferenza per A e D e di non preferenza per F. Ripetendo questo esercizio più volte otterremmo che tutti i panieri indifferenti ad A e D si disporrebbero, come G, al di sotto del segmento AID. Introduciamo H combinazione lineare di A e D e L indifferente ad A e D. Quindi HPA HPD e HPL, AIG, DIG, HPG, GIL. Dove sarà L? D G H 7 L A "L'insieme di tutti i panieri indifferenti rispetto a un paniere dato giace su una curva curva di"Indifferenza convessa verso l'origine del piano cartesiano, detta "curva di indifferenza", individua il luogo geometrico corrispondente ai panieri indifferenti ad A.
Le curve di indifferenza più alte corrispondono a livelli di soddisfazione più elevati di quelli delle curve di indifferenza più basse.
Quindi, dato un paniere, la regione di preferenza è quella che giace a nord-est della curva d'indifferenza che contiene il paniere dato, la regione di non-preferenza è quella che giace a sud-ovest.
MAPPA DELLE CURVE DI INDIFFERENZA
URVA D'INDIFFERENZA
Preferenza crescente
Panieri preferiti
Panieri non preferiti
Il livello di soddisfazione associato a ciascuna curva è detto utilità e cresce man mano che ci spostiamo su una curva di indifferenza più elevata.
Le curve di indifferenza da un punto di vista geometrico hanno le seguenti caratteristiche comuni:
- Decrescenti
- Convesse verso l'origine
- In ordine crescente di preferenza in direzione nord-est
Il saggio marginale di sostituzione - SMS misura "Dato un paniere di partenza, il saggio marginale di sostituzione tra due beni quanto il consumatore è disposto a rinunciare di un bene per un'unità in più dell'altro. Il saggio marginale di sostituzione è la pendenza della retta tangente alla curva di indifferenza nel punto considerato."
Individuate le coordinate dei panieri A=(qa1,qb1) e B=(qa2,qb2), supponiamo che valga la relazione AIB; è possibile calcolare SMS tra i due beni.
Individuate le coordinate dei panieri A=(qa1,qb1) e B=(qa2,qb2), supponiamo che valga la relazione AIB; è possibile calcolare SMS tra i due beni.
possibile calcolare SMS tra i Nel passaggio da B a A il consumatore rinuncia a due beni.Nel passaggio da B a A il consumatore rinuncia a Δqb = qb2-qb1< 0 in cambio di Δqa = qa2 - qa1 > 0
Δq = q - q < 0 in cambio di Δq = q - q >0. Il SMS è il rapporto di b2 b1 a a2 a1
Il SMS è il rapporto di tali variazioni d’indifferenza
SMS = Δq / Δq <0
Il SMS è sempre un numero negativo
• Scelta del paniere ottimo
Sappiamo che dopo aver ordinato tutti i panieri possibili, verrà scelto quello che realizza la massima utilità rispetto al bisogno dato
Prima condizione: Il paniere ottimo deve appartenere alla retta di bilancio, in quanto ogni paniere al di sotto sarebbe non preferito (non sazietà).
Seconda condizione: Ogni paniere per il quale il SMS è diverso dal prezzo relativo dei beni è un paniere migliorabile (sub-ottimo).
In oltre, il paniere ottimo
è unico e giace nel punto di tangenza tra retta di bilancio e curva di indifferenza
Condizione di ottimo: un paniere è tale quando il SMS è uguale al prezzo relativo dei beni |SMS|= p / pa b
- Lungo il vincolo di bilancio misura il saggio al quale posso sostituire due beni tra loro
Un paniere ottimo è tale quando il SMS è uguale
- Lungo la curva di indifferenza misuro il saggio al quale voglio sostituire due beni tra loro al prezzo relativo dei beni.
SCELTA OTTIMA
Scelta ottima q b Paniere ottimo Nel punto di ottimo, il SMS èuguale alla pendenza del vincolo di bilancio, cioè al rapporto tra i prezzi dei beni ae b9 q a
La teoria del consumatore - 2
• Premesse
In questa sezione vedremo come sia possibile rappresentare la scelta ottima del consumatore da un punto di vista analitico come massimizzazione di una funzione di utilità-> una funzione che rappresenta mediante numeri reali positivi le preferenze
dell'agente economico rispetto alle conseguenze delle proprie azioni
L'obiettivo è dimostrare come dal processo di scelta ottima sia possibile fornire una descrizione matematica
- Funzione di utilità
La costruzione si basa su:
- assiomi di razionalità perfetta (già visti)
- Assiomi matematici
Gli assiomi matematici permettono di associare a ciascun paniere un indice di utilità u(A), costituito da un numero reale qualunque positivo, che rispetti la corrispondenza biunivoca tra ordinamento delle preferenze e indice di utilità, cioè:
A > B u(A) > u(B)
A = B u(A) = u(B)
Come abbiamo visto, nelle funzioni di utilità è richiesto solo il rispetto dell'ordinalità mentre non ha alcuna rilevanza la cardinalità
- Monotonicità
Si assume che a ogni conseguenza della scelta di un paniere, c(A), c(B), ..., sia possibile associare uno e un solo numero reale, arbitrario ma positivo, ui, uj, ..., detto indice
di utilità, tale per cui:APB u(A)>u(B) ⇔ AIB u(A)=u(B) ⇔ L'assioma della monotonicità è l'equivalente matematico di quello di non-sazietà, in quanto comporta che l'indice di utilità debba crescere al crescere della quantità dei beni nei panieri.
Aumentando la quantità di almeno un bene, a parità della quantità dell'altro, l'utilità aumenta.
2. Continuità
La funzione di utilità dovrebbe essere continua, per fare ciò occorre estendere i precedenti assiomi nel "continuo", cioè essi devono valere anche per variazioni molto piccole delle azioni e delle conseguenze.
Sulla base di questi assiomi siamo in grado di costruire una funzione di utilità u, definita sull'insieme dei numeri reali positivi, che rispetto alla quantità di ciascun bene risulta essere:
- Crescente
- Continua
- Monotona
- Concava
10- Utilità marginale decrescente
Si vuolerappresentare il fatto che l'utilità generata dal crescente consumo di un bene, utilità marginale, tenuti invariati tutti gli altri, produca un beneficio aggiuntivo (o cioè laderivata prima u'(x)) via via decrescente marginale decrescente. Questo principio dell'utilità viene attribuito ad una sorta di "saturazione" del fabbisogno di quel dato bene, o anche ad una "preferenza per la varietà" del consumo. Nel caso di un solo bene: - U(Q): Curve di indifferenza e saggio marginale di sostituzione. - Per ogni paniere nel piano cartesiano esiste un insieme di panieri indifferenti che giace su una curva detta curva d'indifferenza. - Il SMS è dato dal rapporto delle utilità marginali dei beni. - Le curve di indifferenza: - La pendenza della curva d'indifferenza dy/dx è negativa (infatti sappiamo che u'(x) e u'(y) sono positive). - Se la funzione di utilità è concava si può.dimostrare che la curva d'indifferenza è convessa- e curve di indifferenza corrispondono alle curve di livello della funzione di utilità U(x,y) La teoria del consumatore - 3 La relazione tra il prezzo di un bene o servizio e la quantità domandata dai consumatori prende il nome di curva di domanda. Premesse Studieremo come la curva di domanda possa essere ottenuta a partire dalla soluzione del problema di ottimo del consumatore analizzato nel capitolo precedente. Nel capitolo 5 abbiamo stabilito come determinare la
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