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A
det det
A colonne
le
vale
stesso
lo per
la da
matrice
A A
sia ottenuta
Prop una riga
moltiplicando
colonna
una
o per
det
det A
A che
Prop 2
A righe
abbia uguali
suppongo le
scambiando
da
matrice A
la ottenuta due
Sia A righe
uguali
A
A lo
vale stesso
det deta
A det 0
A le colonne
per
det
A
A abbia nulla
Prop colonna
una una
riga o
A 0
det A
esercizio di Scorrus
regola
det A matrici
calcolare 3
3
solo per
ÌÌ
di Sarrus
con regola 1
det A 4
3 3
2
2 0
0
riduz scala
forma
con a
1 dit 11 4
1 1 4
Teorema di Binet
A matrici
B Mxn
dat detB
det A
B
A detB
det
detta A
B 1
invertibile A
A
se detato
invertibile
A
A fa
det
Formula di Laplace
A matrice A i
non riga
a
Enna la
matrice
la cancellando
ottiene
che
Ais si
matrice
Definisco la ad A
i colonna
riga e
Ai matrice di ordine 1
n
quadrata
l'inversa
Formula di matrice
una
per sai
A colonna
det Ai a
1 1 è
la matrice
costruisse A
Si
da Laplace A
A afa datato
A det A
invertibile 0
E ai detlan 1
det
1
a 2
1
3
ai det det
1
1 Ana 7
1
A
Calcolare
1
a 93
a 1
A
ottiene
si
detA
la divisione
dopo per
Procedimento lungo
B
Sia AX n
n e
equaz incognite
I
A È
ais D
invertibile
A
det A
Se 0 AI
II I.I.fm
fa
ricordando A
A fa A B
B
A
Cramer
di
formula
If det A
dove D
i che sostituendo
ottiene
matrice si
determinante
Di
la B
i la
di A colonna dei
esima
riga con terzini
di
Matrici base
cambiamento
di lineare
W V di
Guai W
di
base um
v1 e
vn
matrice A di f win
qui
V di W
di
vi
base vn e
matrice A di f P cambiamento
di
matrice
5 P
ha A
A
si base in
di
1
P
SA
A cambiamento
di
matrice
s di base in W
W
V
particolare
Caso f
01 Un P cambiamento
di
S matrice
di
basi
vi
vi di base
P PAP
P A
A
A th Binet
det det
AP
det A
det
P
det P
A P Ifp de
A
det
I det A la
Def si dicono
A B
matrici
2 Simi rappresentano
e se
non lineare diverse
basi
stessa f rispetto
funzione a
Quindi P invertibile
BP matrice
A P
dove è una
simili
A B
Se
Oss sono
e det
che
det A del det
A
B Bi
detto
è se
non simili
A B siano
e poi che
Data in
base
la
V V modo
f scegliere on
come
la si
matrice A più semplice possibile
mattia
triangolare
diagonale
ancora
meglio
1 o
Autovalori AUTOVETTORI
e
base V
f
V
di
tn
01 Ann
f E Un
V1
Un
01 921
flor basediv
una
costituita f
da di
autovettori
Anon
flon
Def lineare
sia g
Un vettore di f
detto
è autovettore
o chiama autovalore
I
tv
ffo si
se diventa AV tv
to
f o autovalori
trovare
come
III è accettabile
E non
o
detta 0 della
X
così A
matrice
trovano autovalori
gli
si
Es A autovalori
Calcolare di A
gli
det XI
A o
det 0
6
8 a
a 6
7
è 2
56 81 71 54 0
È 2 1
ta
An gli A
di
AUTOVALORI
sono autovalori
Oss reali
esistono
non sempre
Ma autovalori
esistono complessi
sempre coincidenti
Oss soluz
Ci essere
possono unico 2
autovalore molteplicità
2
72
11 2 2
es
Def caratteristico
Se A
di
nel polinomio un
compare
che l'autosalone
del si dice
X
tipo
fattore a
ha M
molteplicità
a
Teorema matrici hanno lo
2 simili stesso
A B
e polinomio
stessi
caratteristico anche autovalori
gli
quindi
e
Autovettori
Av autovalone
o
È
XIV
AV XI
A o le soluzioni
I
A II nulle sono
non
che
autovettori corrispondono
gli
all'autovalore
è che contiene
vett
il
detto
Def AUTOSPAZIO sottosp
relativi all'autovalore
autovettori
gli di
La detta
autospazio
dim è
questo autovalore
dell
molteplicità geometrica
a
Gli autovalori da
41 1
2 e
sono
Calcolare centovettori
gli
autospazi
gli
A AI 2 9 1
1
1 1 soluzioni
infinite
soluz
Ins R2
2 Ha
E
autospatio relativo 11 2
a
1
Vif
2
es 1 4101
Arts
a 1
1
1 soluzioni
infinite
3
trovo
Ponendo v2
3
2 1
2 relativo
autovettore 1
12
v2 a
I
I
Riassumendo A
autovalori autovettori
I
1
1
A 2
3 3
A 1 li
ah 1 1
A S SD
ME RM
di
base canonica
f
A e matrice A
autovettori
da
base
ME formata
g cambiamento di
matrice base
ME
S id le colonne
cui autovettori dif
gli
sono
alla canonica
base
rispetto dice
Una matrice si
Def A DAGONALIZZABILE
matrice
simile
è a diagonale
se una solo
accade
Questo base
esiste
se una
se e
costituita autovettoni A
di
da
Teorema Anita A
autoval
Siamo in di
autovett
Siamo corrisp
V1 on
ti distinti
tutti
se Lin indipendenti
V1 Un
Teorema Anita A
autoval
Siamo in di
autovett
Siamo corrisp
V1 on
ti distinti
tutti
se Lin indipendenti
V1 Un
a A
1 è diagonalizzabile invertibile
Trovare s
D
matrice matrice
2 diagonale e
tali che SDS
A È
dei aaaa
at 1 A III I colonna
usando II riga
P'ace
Metà Li
11 det
a
1
I 3
4
1 7
A 2 0
41 3
soluz 73
1 2
2
distinti
autovalori
3 lin
autovettori
3 indip IR3
i autovett di A
base è
3 sono diagonaliz
una
È matrice
D diagonale
V1 V3
V2
S 1
1
E 11
1 I sol
infinite
a 1
3 2
2 3 1
03
E
1 che
controllare
Si AS SD
può
Th ha
si sempre
MOLTEPLICITÀ MOLTEPLICITÀ
GEOMETRICA ALGEBRICA
Th matrice
sia è solo
A
A man se
diagonalizzabile se
e loro
autovalori di
esistono delle
te la
in in A somma
sia
molteplicità algebrica n
Inoltre la deveessere
molteplicità
centorcione
ogni sua
per geometrica
alla molteplicità
sua
uguale geometrica
À
è
A
Def A
simmetrica se
antisimmetrica A A
A è se simatica
A IIIIIInatadaos
Th simmetrica
matrice di reali
ordine
A
sia n a coeff
esattamente autovalori
Allora reali
A n
possiede
matrice
Esponenziale A
matrice
A
se diagonale
i
A A
e
A diagonalizzabile I S
E
et 5
s 1
1
1
1 p
1
a
La I
soluz IN
è e
a
Calcolare e
det 12 1
5 17
12
52 2 10
a 31 12
a 0
2
autovalori 11 2 1
12
autovettori 71 2 1
1
1 2 2
1
Ha
soluz
Infinite
1 2
1
2 relativo
autovettore
V1 71 2
a 1
1
1
15
4 6 0
1 2 E e
2
3
2 0
2
1 3
2 1
2 autoreti fino
E
D s
s 1
ha s
Se
si e 1st 1
1
51 s
I se 6
X
3 3 2º 322 ex
2e 4
la soluz è f 602 I
In Ge
se
e
È Lezze scenetta
f
R
Es UC di
sottosp eq
1
dia U
a base
a 3
4 3
2 è
3
2 4 0
0
1 3
2 3 2 3
2 libere di variare
U Xi
2
dim e
È È nanocininimenti
a base U
di
Un ela sono
Sia CR contiene vettore
W il sott vett che il
E più
piccolo
vettori
i
1 1 te
t E
O
0,0 e tti 2 2
base W
W
di
cartesiane di
b eq 1 1
E In
V i vettori
vettori tutti
2
questi posso generare
del tipo t
0 1 2 11
rettori 10
W dai
è 3 1
1 0,0 0
1 2
0 1
1
generato
indip
lin
sono È
3
ring
Ef un indip
sono
base
i vettori
3 di W
sono
di W
cartesiane
Eg
È 4818
W parametri
α 8
β i
1 1
Vixi Zis ta
tz W
cartesiana di
eq
Un W
v1 1
2
W Xr 0 0
4
3 1
2 soluz
infinita a
1
è dimunws
vettore 0111417
Un
base di W
una
dim
O Ut W
W
dim dim 4
din UAW 1
3
2
Grassmann
di
formula
un I
msn.fi n
elimino Utw
base detonfesseff
di
ottenere una
un generatore per che indip
lin
verificare siamo
Ma
Chi was
we
lo base Utw
di
sono
se ER
Oppure LYIYI.tw
RG
Utw R
Utw
base base
di di
canonica
base che
LCR
d Dire esiste nullo sia
sottosp
se un non che
U W
in diretta sia con
III con
somma
0 dim
2 W 3
dim la loro
di dice
2
Una diretta
si intersezione
sottosp quando
somma
è nulla Ifw
dee
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Una vettore
L deve
di da
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essere un
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di
a W
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