Riassunto esame Termofluidodinamica, Prof. Zanino Roberto, libro consigliato Fundamentals of fluid mechanics , Munson

CAP6

ANALISI DIFFERENZIALE di UN FLUSSO

L'operare da equazioni differenziali su da descrive il moto dei fluidi.

Nel CAP 5 abbiamo considerato cu flitti e flussi cu una massa es., ora consideriamo cu infinitesimi.

Le equazioni differenziali nascono enne semplicità:

considero trate, cu esercizi = usos = lavorando dai bordi - INIZIO FLOW

CAMPO di velocità e accelerazione

V=ui+vj+wk

a= _dV/_dt + (∇V)·V = ^dU/_dt i + ^dV/_dt j + ^dW/_dt k + ^{U dU}/_dx + ^{V dU}/_dy + ^{W dU}/_dz i + ^{U dV}/_dx + ^{V dV}/_dy + ^{W dV}/_dz j + ^{U dW}/_dx + ^{V dW}/_dy + ^{W dW}/_dz k

a= U ^dU/_dt + ^dU/_dz + ^dW/_dz i + V ^dV/_dt + ^dW/_dy + ^dW/_dy j + V ^dW/_dt + ^dW/_dz + ^dW/_dz k

Tasso di dilatazione volumetrica

1 ^d(δV)/_δV ^δμ/_dt + ^δV/_δx + ^δV/_δy + ^δW/_δz = ∇·V

Indifferenzia quando e = curva NON si ha = Termo di dilatazione vel. = monotonia un flusso

Momento necessario e deformazione

Teorema di rotazione

w= wxi + wyj + wzk

w = 1/2 rot v = 1/2 ∇ xV

1/2 { ^δV/δy - ^δU/δz j - ^δV/δx k + δU/δy - δW/δy} ^2

{ wx = 1/2 ( ^δV/_δy - ^δU/_δx)

wy = 1/2 ( ^δW/_δz - ^δU/_δx)

wz = 1/2 ( ^δW/_δz - ^δV/_δx)

Vorticità

{ ^2W = ∇ xV } se ∇ x V || flusso di innarazione

(vorticità)

Tasso di deformazione angolare ( ^δV/_δt sabra,admin)

ỹ = ^δV/_δx + ^δU/_δy

Ricordiamo l'equazione di continuità

CONS. MASSA

Forma differenziale della conservazione della massa = equazione di continuità

Flusso stazionario

Fluido incomprimibile

Forma differenziale dell'eq. di continuità in coord. cilindriche

Funzione di corrente

Caso: fluido stazionario, incomprimibile. 2-D

Definiamo una funzione ψ che soddisfa (a)

Otteniamo un'unica funzione ψ(x,y) → le linee in un Ψ=cost sono streamline

L' EQUAZIONE di LAPLACE - è una PDE lineare - ammette diverse soluzioni.

ovunque am_go_endo x&otry;ane alla a&sub>rea 

β₁(x₁, y₁) → sono β₃ = β_o + β₂ εsol.

β₂(x, y, z) 

NO in 2 dimensioni: per un flusso irrotazionale possiamo usare sia la funzione di corrente

  sia la FUNZIONE POTENZIALE → entrambe soddisfano l'eq. di Laplace

la variazione del potenziale, ε:

dΦ = ∂Φ dx + ∂Φ dy = -u dx + v dy

     dΦ = cost

 dy   

 dx = -u 

         ALONG → linee equipotenziali

         Φ = cost

 sono ο linee.

 linee di Ψ=cost∘

  dΦ = cost

                        Flow net = linee equipotenziali +

           Streamlines = Ψ=cost

 la velocità è proporzionale alla distanza

 tra le linee Φ=cost

analizziamo Ψ e Φ in diversi tipi di flussi (semplici) x noi coprono soluzioni x

cosnt complexx.

FLUSSO UNIFORME

u = U   Φ = Ux + c

v = o

     Φ = Ux + c  Ψ = Uy

; genericosenso: flusso uniformo; con a&ogto; con x:

Φ = U (xcosα + ysinα)   Ψ = U (ycosα + xsinα)

Fluidi Viscosi

non trascuriamo gli attriti

Relazioni stress - velocità

• σ_xx = -p + 2μ (∂u/∂x)
• τ_xy = τ_yx = μ (∂u/∂y + ∂v/∂x)
• τ_xz = τ_zx = μ (∂u/∂z + ∂w/∂x)
• σ_yy = -p + 2μ (∂v/∂y)
• τ_yz = τ_zy = μ (∂v/∂z + ∂w/∂y)
• σ_zz = -p + 2μ (∂w/∂z)

Equazione di Navier-Stokes

Le condizioni che stiamo sopra trovati nelle l'equazione dell'moto di un fluidum

• (x direction) ρ (∂u/∂t + u∂u/∂x + v∂u/∂y + w∂u/∂z) = ∂p/∂x + ρg_x + μ (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²)
• (y direction) ρ (∂v/∂t + u∂v/∂x + v∂v/∂y + w∂v/∂z) = ∂p/∂y + ρg_y + μ (∂²v/∂x² + ∂²v/∂y² + ∂²v/∂z²)
• (z direction) ρ (∂w/∂t + u∂w/∂x + v∂w/∂y + w∂w/∂z) = ∂p/∂z + ρg_z + μ (∂²w/∂x² + ∂²w/∂y² + ∂²w/∂z²)

p: pressione

μ: viscosità

ρ( D_V/D_t ) = -∇p + μ ∇²v + ρg

1. Contrazione deviatorica
2. Viscosità
3. Simmetria

∇·v = 0 equazione continuità