Riassunto esame Fisica della materia (fisica atomica), Prof. Russo Valeria, libro consigliato Introduzione alla meccanica quantistica, David J. Griffiths

Fisica della materia

Fisica della materia

Lezione 16/3/21

Meccanica Analitica

(sviluppata per gestire sistemi classici dinamici sempre più complessi)

Noi cerchiamo le leggi della Natura che esprimono regolarità, utilizzando termini matematici: ossia le equazioni.

Riusciamo a predire con regolarità i fenomeni naturali imponendo dei vincoli, ossia le condizioni di contorno (boundary conditions) alle infinite soluzioni che la matematica offre.

Ci occupiamo fondamentalmente di fisica classica (comprendendo le due teorie di Einstein).

Le leggi della dinamica devono essere deterministiche e irreversibili (predire sia il passato che il futuro).

Ci deve essere una sorta di conservazione dell'informazione.

Il sistema è un insieme di oggetti che bisogna descrivere: ad esempio particelle, atomi, pianeti ecc., ma il sistema può anche essere costituito da campi.

SISTEMA particelle

campi scalare vettoriale (E,δ)

tensoriali

Il sistema può essere chiuso (tipo l'Universo) se c'è bilancio isolato che non ha influenza esterna. Il sistema è dinamico e evolve nel tempo.

STATO: tutto quello che devo sapere di un sistema per predire il suo futuro, dato una legge dinamica.

SPAZIO DEGLI STATI: insieme degli stati occupati dal sistema. Non è uno spazio ordinario, è uno spazio non fisico e 3D ma matematico.

Nella DINAMICA posizioni e velocità costituiscono uno stato.

STATO (x,v)

STATO INIZIALE (x₀, y₀, z₀, v_x0, v_y0, v_z0)

Stato all'istante t ( x(t), y(t), z(t), v_x(t), v_y(t), v_z(t) )

Conoscendo tutti gli stati: conosco la storia della particella e quindi otteniamo la traiettoria nello spazio degli stati.

In uno spazio 3D ci sono 6 informazioni da conoscere:

• S = g.d.l. ---> in 3D S = 3 informazioni = 2·S = 6
• N particelle ---> S = 3N informazioni = 2·S = 6N

Esiste un altro spazio analogo chiamato spazio delle fasi, che utilizza la quantità di moto (p) al posto di v

(x₁ p_x)

X

V ---> p = m · v

Si definiscono anche le velocità generalizzate

q = dq_i

dt

Vedremo poi che la quantità di moto è solo un caso particolare dei momenti coniugati cinetici.

Per non utilizzare le coordinate cartesiane si possono introdurre le coordinate generalizzate q_i, i = 1, ..., S

EQUAZIONI DEL MOTO: leggi che legano q_i, q_i e q_i.

Spazio degli stati = spazio delle coppie q_i, q_i --> formalismo Lagrangiano

SPA

Spazio delle fasi = spazio delle coppie q_i, p_i --> formalismo Hamiltoniano

Pi sono detti momenti cinetici coniugati, di cui la quantità di moto è un caso particolare.

MOTIVAZIONI PER UTILIZZARE LA MECCANICA ANALITICA

• Si definisce una sola funzione scalare da cui si può ricavare tutto.
• Esiste un principio universale detto PRINCIPIO DI MINIMA AZIONE. L'azione è definita come S ed ha radici da un principio filosofico-metafisico verso la fine del 1700. Per trovare i punti di massimo e minimo dell'azione utilizziamo l'analisi matematica:

  δS = 0

  δS e non dS perché deriva pesantemente

• Dal principio di minima azione si ricavano tutte le equazioni più importanti della fisica (Maxwell, Newton, Schrödinger ecc.)
• L'unità di misura di S è pari ad un'energia per un tempo

  [S] = [Energia] x [Tempo] ≃ [h]

• Strutture e formalismi: estendibili anche alla relatività e alla meccanica quantistica.
• Modelli estendibili ad N gradi di libertà.
• Modelli estendibili a ∞ gradi di libertà; difatti la teoria più avanzata della fisica