Riassunto esame Fisica della materia (fisica atomica), Prof. Russo Valeria, libro consigliato Introduzione alla meccanica quantistica, David J. Griffiths

Fisica della materia

Lezione 16/3/21

Meccanica Analitica

... sviluppata per gestire sistemi classici discutendo sempre più complessi.

Noi cerchiamo le leggi della natura che esprimono regolarità, utilizzando termini matematici. ... Le equazioni ...

bisogna porre dei problemi e risolverli; si formulano infatti imponendo dei vincoli, ossia le condizioni al contorno (boundary conditions) alle infinite soluzioni che la matematica offre.

Ci occupiamo inizialmente di fisica classica (compattando le due teorie di Einstein).

Le leggi della dinamica devono essere deterministiche ... reversibili ... (prevedere sia il passato che il futuro).

Ci deve essere un sorta di conservazione dell'informazione.

Il sistema è un insieme di oggetti che bisogna descrivere: ad esempio particelle, atomi, pianeti ecc., ma il sistema può anche essere costituito da campi.

• Sistema
  • particelle
  • campi
    • scalari
    • vettoriali (E, B)
    • tensoriali

Il sistema può essere chiuso (tipo l'Universo) se è totalmente isolato e non ha influenze esterne. Il sistema è dinamico e evolve nel tempo.

Stato: tutto quello che devo sapere in un sistema per predire il suo futuro, data una legge dinamica.

Spazio degli stati: l'insieme degli stati occupati dal sistema. Non è un spazio ordinario, è uno spazio non fisico e 3D ma matematico.

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La L è uno scalare invariato cioè vuol dire che anche cambiando il sistema di riferimento la L resta la stessa, è ha la dimensione di un'energia.

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Le equazioni di Lagrange NON cambiano se ad L si aggiunge una funzione F se F non è una funzione qualisasi ma se F = d/dt f(q, t)

Se & L’ = L + F è L’(q.q) = (Equi Lagrang)1₂ = (Equi Lagragge)₁₂

Le l in non sono immiguali ma le E.L. si.

DIMOSTRAZIONE EQUAZIONI DI LAGRANGE.

H₀ = s₀ = 1 => 1 funzione q₁

q(t) deve soddisfare il principio di minima azione perchè deve essere soluzione delle Equi di LaGrague

Ragioniamo con una L con variamo poiche sono gli estremi:

δq(t₁) = δq(t₂) = 0

δS = ∫_t1^t2 δL dt = ∫_t1^t2 (∂L/∂q δq + ∂l/∂q δq) dt

Principio di minima azione M=q δq = δ/dt (a_g)

δS = ∫_t1^t2 (∂L/∂q δq) dt - (a) [∂/∂t (∂l/∂q.δq)]^t2_t2

L t2₁ -> ∂/∂q = 0 poiche agli estremi N = δL/δq

δS = ∫_t1^t2 (∂L/∂q - ∂/∂t (∂L/∂q)) δq dt = 0

= 0 =>

∂L/∂q = ∂/∂t (∂L/∂q)

Equiz di Eulero-Lagrange

Lezione 2 - 20/01/2023

DEF: Fissate delle grandezze fondamentali dette momenti cinematici coniugati, si indica con la lettera pi e sono tali quando sono le costanti generalizzate. Il momento coniugato alla coordinata qi è:

Formule:

Osservazione: Se qi non dipende esplicitamente da una coordinata qk dichiarato ∂L/∂qk = 0 allora se pk = costante allora il momento meccanico è costante ed è detta integrale del moto, si dice che è una coordinata ciclica

Forze conservative:

• Estendiamo le forze non conservative

Anche il formalismo lagrangiano ha un’applicazione nell’approccio della fisica alla Feynman.

LEZIONE 24/03/2021

INTERAZIONE DI UNA CARICA CON UN CAMPO ELETTROMAGNETICO

Definiamo le coordinate r, le velocità v e le quantità di moto p.

Vogliamo descrivere lo spancio della carica in un campo EM.Si può scrivere una forza di Lorentz generalizzata:

_Fc = (q[E + v x B])

Vogliamo risolvere il problema utilizzando la meccanica analitica:Ci sono due strade: Lagrangiana ed Hamiltoniana.

Ci serve sapere l'energia cinetica.Un campo EM sia che dipende dal tempo (E(t), B(t)).Il problema si può risolvere anche con l'eq. di Newton

Eq. di Newton: m dv/dt = _Fc <=> Eq. di Lagrange

Vogliamo però risolvere il problema con la meccanica analitica:

_L = f(q_i, q_j, t) = T - V (q_i, t)

d/dt (∂_{T - V}/∂_v) - ∂_{(T - V)}/∂_r = 0

T non dipende da rT = 1/2 m v²

d/dt (∂_T/∂_v) = ∂_V/∂_r

-> = d/dt ∂_U/∂_v = F_x

T: ricavo U che poi ci permetterà di trovare la Lagrangiana.

Durante l'interazione, l'elettrone andrebbe descritta quantisticamentementre se il campo è abbastanza intenso si descriveresemiclassicamente, senza quantizzare il campo. è il numero di fotoni è sufficientemente alto si parla di E e B classici.

Meccanica quantistica

ħ = 10^-33 J · S

La meccanica classica è un limite per ħ → 0 della meccanica quantistica.

Se l'azione del sistema è molto grande rispetto ad ħ → meccanica classica.

Se ħ/H ≪ 5 → meccanica quantistica

Descrizione degli esperimenti che ci danno risultati inspiegabili per la fisica classica.

• Esperimento della doppia fenditura:

• Aspettative meccanica classica (Palline da Ping-Pong)

• Risultati spiegati dalla meccanica quantistica

Nel 2003 Zeilinger spara fullereni sullo schermo (↑) mandati uno alla volta. Mandando tante molecole uno fino si trova la distribuzione simile a quella simulata in figura, noto che ci sono dei punti in cui sono praticamente 0 molecole. Le particelle hanno quindi un comportamento ondulatoria. La distribuzione che si ottiene è quindi la distribuzione di eventi singoli. L'esperimento è molto simile all'esperimento di Young fatto con le onde e quindi con grandezze continue (onde) e non con eventi singoli (particelle).

Questo ci porta a dire che le particelle si comportano da onde. L'altro esperimento è stato quello di diffrazione sui piani da cristallo, effettuato nel 1920. Si dimostra che le particelle assumono comportamento ondulatorio, esistono tuttavia esperimenti in cui le particelle assumono comportamento corpuscolar.

Si introduce il concetto di dualismo. Bohr sviluppa il concetto di complementarità: il modello ondulatorio e corpuscolare sono complementari che il comportamento della particella dipende dall'esperimento effettuato. Nella meccanica classica si può conoscere la traiettoria del corpo studiato, in quantistica posso solo conoscere la distribuzione delle probabilità: non posso sapere dove andrà la prima o l'ultima particella. Il concetto di traiettoria si perde e ottiene probabilità. Se si fa l'esperimento B2 o l'esperimento con una delle fenditure riesce a sapere se le particelle passa da B1 o da B2 e riteniamo valida la distribuzione classica di probabilità. Abbiamo notato che la minima variazione al sistema la presenza di rivelatore fa sì che l'esperimento cambi. Non è così intuitivo pensare che gli esperimenti siano diversi.