Riassunto esame Fisica 2, Prof. Albergo Sebastiano, libro consigliato Introduction to electrodynamics (IV edizione), D.J. Griffiths

E

E sotto

sopra ε 0

cioè la componente ha una discontinuità pari a quando il campo at-

σ/ε

perpendicolare 0

traversa una superficie. ⃗

Consideriamo ora sempre la stessa distribuzione e calcoliamo la circuitazione di lungo

E

un percorso rettangolare di base l parallela alla superficie e altezza trascurabile ϵ.

Sappiamo che il campo è conservativo cioè:

⃗

⃗ ·

H =0

E dl

In particolare, i contributi lungo i lati perpendicolari alla superficie sono nulli in quanto

→ 0, cioè abbiamo:

ϵ ∥

∥ − = 0

E E

sotto

sopra ∥

∥

da cui segue (39)

=

E E

sotto

sopra

cioè la componente è continua quando si attraversa una superficie.

tangeziale

Per quanto riguarda il potenziale, questo è continuo su ogni contorno, infatti

b

Z ⃗

⃗

− − ·

= (40)

V V E dl

sopra sotto a

⃗ →

ma se 0 allora si ha

dl = (41)

V V

sopra sotto ⃗

Tuttavia, il di V eredita la discontinuità di E:

gradiente σ

⃗ ⃗

∇V − ∇V −

= n̂

sopra sotto ε 0 (42)

∂V ∂V σ

sopra sotto

− −

=

∂n ∂n ε 0

dove il termine ∂V ⃗

∇V ·

= (43)

n̂

∂n

denota la DERIVATA NORMALE di V. 15

1.5.4 Divergenza

Consideriamo una superficie Σ divisa in due tramite la superficie di contatto S.

Il flusso attraverso Σ sarà:

⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

· · ·

H H H

= + =

E n̂dΣ E dΣ E dΣ

1 2

Σ Σ

1 2

⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

· · · ·

R R R R

= + ˆ + ˆ + =

E dΣ E n dS E n dS E dΣ

1 1 2 2

S S

Σ Σ

1 2

⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

· · − · ·

R R R R

= + ˆ ˆ + =

E dΣ E n dS E n dS E dΣ

1 1 1 2

S S

Σ Σ

1 2

da cui troviamo: N I ⃗

⃗ ⃗

X ·

Φ( = (44)

E) E dΣ

k

Σ

k

k=1

→ ∞

ma per le superfici diventano sempre più piccole, tendendo ad annullarsi, allora

N

dividiamo tutto per un infinitesimo di ordine superiore, come il volume delimitato da Σ .

τ k k

Allora possiamo definire la DIVERGENZA:

Φ k ⃗

= (45)

lim div E

τ

→0

τ k k

Da cui segue: N

I I ⃗

⃗ ⃗

⃗ X ·

· =

= E dΣ

E dΣ k

Σ Σ

k

k=1

N τ I

k ⃗

⃗

X · (46)

= =

E dΣ k

τ Σ

k k

k=1

N ⃗

X

= τ div E

k

k=1

→ ∞

ma per la sommatoria diventa un integrale e il volume un infinitesimo, allora

N τ k

troviamo: Z

I ⃗ ⃗

⃗ · (47)

= div Edτ

E dΣ τ

Σ

il quale è detto TEOREMA DELLA DIVERGENZA.

La divergenza è un’espressione della tendenza delle linee di campo a defluire o confluire

verso un punto dello spazio; in questo senso, abbiamo che il campo diverge da una carica

positiva mentre converge in una negativa. Allora abbiamo che:

- divergenza>0 esprime la presenza di una sorgente

- divergenza<0 esprime la presenza di un pozzo

- divergenza=0 significa che non ci sono nè sorgenti nè pozzi (campo solenoidale)

Divergenza in coordinate cartesiane

Consideriamo un cubo infinitesimo con carica = . Il flusso attraverso le basi parallele

dq ρdτ

al piano xy sarà:

 ⃗ · −E

(−ẑ)dxdy =

E dxdy ∂E

 z z

′

⇒ −

= (E )dxdy = (48)

dΦ E dxdydz

z z

z

⃗ ′

′ ∂z

· (ẑ)dxdy =

E E dxdy

 z

allo stesso modo troviamo: ∂E x

=

dΦ dxdydz

x ∂x (49)

∂E y

=

dΦ dxdydz

y ∂y

16

allora avremo !

∂E ∂E ∂E

x y z

= + +

dΦ dτ

∂x ∂y ∂z (50)

!

∂E ∂E ∂E

dΦ x y z

⃗ = + +

= lim

div E dτ ∂x ∂y ∂z

→0

τ

Possiamo scrivere tutto in modo più compatto definendo l’OPERATORE NABLA

∂V ∂ ∂

⃗

∇ = + + (51)

x̂ ŷ ẑ

∂x ∂y ∂z

da cui segue ⃗ ⃗ ⃗

∇ ·

= (52)

div E E

Possiamo ora riscrivere il teorema di Gauss applicando il teorema della divergenza, infatti:

q

I

⃗ ⃗ ·

Φ( = =

E) E n̂dS ε

S 0 (53)

ρ

Z Z

⃗ ⃗

∇ · =

Edτ dτ

ε

τ τ 0

siccome vale per tutti i volumi allora devono essere uguali gli integrandi, cioè

τ ρ

⃗ ⃗

∇ · = (54)

E ε 0

che è la forma del teorema di Gauss.

locale

Osserviamo che il campo elettrico ha divergenza non nulla solo nei punti in cui è presente

una densità di carica. 2

r̂/r

1.5.5 Divergenza di

Consideriamo un campo vettoriale del tipo 1 (55)

= r̂

⃗v 2

r

che è e quindi le sue linee di campo divergono dalla sorgente, cioè ci aspettiamo una

radiale

divergenza sicuramente non nulla. 1

Tuttavia se calcoliamo la divergenza si ha : !

1 1

∂

⃗ 2

∇ · =0 (56)

= r

⃗v 2 2

r ∂r r

Inoltre, se calcoliamo il flusso del campo attraverso una sfera di raggio R troviamo:

!

1

I Z

⃗ 2

· ·

= (R =

⃗v dS r̂ senθdθdϕr̂)

2

R ! !

π 2π (57)

Z Z

= =

senθdθ dϕ

0 0

−

= (cos0 = 4π

cosπ)2π

∂ ∂ ∂v

1 1 1 ϕ

⃗

1 2

∇ · ⃗v v

Dalla divergenza in coordinate sferiche = (r ) + (senθv ) + )

r θ

2

r ∂r rsenθ ∂θ rsenθ ∂ϕ

17

Quindi l’integrale sulla superficie è finito ma quello sul volume è nullo.

Il problema nasce dal fatto che abbiamo considerato la divergenza del campo nulla anche nel

punto r=0, cioè sulla sorgente. L’integrale sulla superficie non dipende dalla distanza dalla

sorgente, ma solo dall’angolo solido sotto cui la superficie vede la sorgente, allora significa

che tutto il contributo viene proprio dal punto r=0. In particolare, la divergenza sparisce

ovunque tranne che all’origine, ma il suo integrale è In matematica, un oggetto che

finito.

si comporta in questo modo è il DELTA DI DIRAC, così definito:

funzionale

 ̸

0 se =

x x

 0

− ) = (58)

δ(x x 0 ∞ se =

x x 0



e dunque risulta +∞

Z − )dx = 1 (59)

δ(x x 0

−∞

Se f(x) è una funzione continua, il prodotto (x)δ(x) è ovunque nullo tranne che in ; allora

f x 0

risulta: +∞ +∞

Z Z

− −

(x)δ(x )dx = (x ) )dx = (x ) (60)

f x f δ(x x f

0 0 0 0

−∞ −∞

Utilizzando la delta di Dirac possiamo scrivere

tridimensionale

⃗ 3

∇ · = 4πδ (⃗r ) (61)

⃗v

1.5.6 Rotore

Consideriamo un percorso chiuso C che dividiamo in due circuiti e tramite il tratto B in

C C

1 2

comune. ⃗

La circuitazione del campo lungo C è:

E

⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

· · ·

H H H

= +

E dl E dl E dl

C C

1 2 N I ⃗

⃗

X ·

Γ= E dl

C k

k=1

Anche in questo caso non rischiamo di contare un pezzo

due volte, infatti i contributi di B si annullano (opposti).

Analogamente al ragionamento fatto per la divergenza, dobbiamo dividere tutto per un

infinitesimo di ordine maggiore, in questo la superficie che ha per contorno . Tuttavia

S C

k k

una stessa curva può sottendere diverse aree con diversi vettori normali, allora dovremo

definire un limite per ogni direzione k di il quale rappresenterà la componente k di un

n̂,

detto ROTORE del campo

vettore, Γ

k ⃗ ·

= ˆ (62)

lim rot E n

k

S

→0

S k k

Segue: N

I ⃗

⃗ ⃗

X

· · → ∞

= [rot ]S = per

E dl E n̂ N

k k

C (63)

k=1

Z ⃗ ·

= rot E n̂dS

S 18

Abbiamo ottenuto il TEOREMA DI STOKES:

I Z

⃗

⃗ ⃗

· ·

= (64)

E dl rot E n̂dS

C S

Rotore in coordinate cartesiane

Consideriamo una superficie rettangolare parallela al piano xy e calcoliamo la circuitazione

lungo il suo contorno. ⃗ ⃗

· ·

Γ = Γ =

E x̂dx E ŷdy

AB BC

1 2

⃗ ⃗

· ·

Γ = (−x̂)dx Γ = (−ŷ)dy

E E

CD DA a

3

Γ = (Γ + Γ ) + (Γ + Γ ) =

AB CD BC DA

∂E

∂E y

x

− + =

= dydx dxdy

∂y ∂x

!

∂E ∂E

y x

−

= dS

∂x ∂y

Si ha: Γ

⃗ ⃗ · =

(rot = = lim

E) rot E n̂

z z dS

dS→0 (65)

∂E ∂E

y x

−

= ∂x ∂y

Analogamente troviamo: ∂E ∂E

z y

⃗ −

(rot =

E)

x ∂y ∂z (66)

∂E ∂E

x z

⃗ −

(rot =

E)

y ∂z ∂x

Dalla definizione di prodotto vettoriale risulta:

x̂ ŷ ẑ

∂ ∂ ∂

⃗ ⃗

∇ × = =

E ∂x ∂y ∂z (67)

E E E

x y z

! ! !

∂E ∂E ∂E ∂E ∂E ∂E

y x x z y x

− − −

= + +

x̂ ŷ ẑ

∂x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂y

Dal confronto tra le due espressioni troviamo

⃗ ⃗ ⃗

∇ ×

= (68)

rot E E

Abbiamo detto che la circuitazione del campo elettrico è nulla, allora si ha:

I Z

⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

· · ⇒ ∇ ×

= = 0 =0 (69)

E dl rot E n̂dS E

C S

In particolare, il rotore è nullo per ogni campo conservativo.

1.5.7 Equazioni di Maxwell per l’elettrostat