Riassunto esame Algebra lineare e geometria, Prof. Gatto Letterio, libro consigliato Lezioni di Algebra lineare e geometria, Gatto

Applicazioni Lineari

Siano U e V due K-spazi vettoriali arbitrari. Un' applicazione lineare è una funzione F: U → V tale che

F(λ ₁ v ₁ + μ v ₂) = λ F(v ₁) + μ F(v ₂)

∀ v ₁, v ₂ ∈ U e ∀ λ, μ ∈ V

Notazione: L'insieme di tutte le applicazioni lineari da U a V si denota con Hom_K(U, V):

Hom_K(U, V) = {F: U → V | F è lineare}

Applicazioni Lineari tra Spazi di Colonne

Sia F ∈ Hom_K che va da K^m e |K^m. F: K^m → |K^m. Allora, per ogni v ∈ K^m si ha

F(v) = F(μ₁ e ₁ + μ₂ e ₂ + … + μ_m e _m) =

che per linearità è

= μ₁ F(e ₁) + μ₂ F(e ₂) + … + μ_m F(e _m)

Si può scrivere quindi F(v) = M_F v

dove M_F = (F(e ₁), F(e ₂), …, F(e _m)) è la matrice formate da m colonne. Quindi

(M_F v = μ₁ F(e ₁) + … + μ_m F(e _m))

Applicazioni lineari

Siano U e V due K-spazi vettoriali arbitrari. Un'applicazione lineare è una funzione F: U → V tale che

F(λv₁ + μv₂) = λF(v₁) + μF(v₂)

∀ v₁, v₂ ∈ U e ∀ λ, μ ∈ K.

Notazione: L'insieme di tutte le applicazioni lineari da U a V si denota con Hom_K(U, V):

Hom_K(U, V) = { F: U → V | F è lineare }

Applicazioni lineari tra spazi di colonne

Sia F ∈ Hom_K che va da K^m e K^m, F: K^m → K^m. Allora, per ogni v ∈ K^m si ha

F(v) = F(μ₁e₁ + μ₂e₂ + ... + μ_me_m)

che per linearità è

= μ₁F(e₁) + μ₂F(e₂) + ... + μ_mF(e_m)

Si può scrivere quindi F(v) = M_F.v

dove M_F = (F(e₁), F(e₂), ..., F(e_m)) è la matrice formata da m colonne. Quindi

M_F.v = μ₁F(e₁) + ... + μ_mF(e_m)

Una matrice A ∈ K^m×m induce un'applicazione lineare

A : K^m → K^m

̅ ⃗ ↦ A ̅ ⃗

Infatti, per ogni coppie ̅ ⃗, ̅ ⃗ ∈ K^m e ogni , ∈ K, infatti:

A( ̅ ⃗ + ̅ ⃗) = ∑_j=1^m( ̅ ⃗(j) + ̅ ⃗(j)) _j(A) =

= ∑_j=1^m ̅ ⃗(j) _j(A) + ∑_j=1^m ̅ ⃗(j) _j(A) =

= A ̅ ⃗ + A ̅ ⃗

Tutte le applicazioni lineari da K^m e K^m sono ottenute moltiplicando vettori di K^m per una matrice A ∈ K^m×m

Ad. Es.

Si consideri la funzione F : K⁴ → K³ definito da

_F ( x y ⃗)t =

( x+y -2 ⃗+3t 2x+y -2 t y -t)

può essere scritta come

( x y ⃗ t ) → ( 1 -2 3 0 2 1 -1 0 0 1 -4 ) ( x y ⃗ t )

Immagine e nucleo di un'applicazione lineare

Sia F ∈ Hom_K (U,V), l'insieme

Im F = { F( ⃗) ∈ V | ⃗ ∈ U }

è un sottoinsieme di V ed è detto immagine di F, è cioè l'insieme delle immagini di V di tutti i vettori di U.

Sia F ∈ Hom_K(U). L'insieme

ker(F) = { u ∈ U | F(u) = 0_V }

è un sottoinsieme di U chiamato nucleo dell'

Proposizione ∀ F ∈ Hom_K(U, V) il nucleo ker(F) è un sottospazio vettoriale di U, l'immagine Im(f) è un sottospazio vettoriale di V

ker(F) ∈ G(U) Im(F) ∈ G(V)

ahm ➔ siamo u₁, u₂ ∈ ker(F) Allora, ∀ λ, μ ∈ K, si ha:

λu₁ + μu₂ ∈ ker(F) perché ⇒

F(λu₁ + μu₂) = λF(u₁) + μF(u₂) = 0_V

⏐ 0_V

⏐ 0_V

Allora ker(F) è sottospazio di U

Per l'immagine, siamo v₁ e v₂ ∈ Im(F) Per definizione esistono due vettori u₁, u₂ ∈ U | F(u₁