Riassunto esame Algebra lineare e geometria, Prof. Gatto Letterio, libro consigliato Lezioni di Algebra lineare e geometria, Gatto

Aggiornato il 16/03/2026

di Vittiorsi05

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Riassunto per l'esame di Algebra lineare e geometria, basato sul corso e sullo studio autonomo del libro consigliato da Prof. Gatto Letterio: Lezioni di Algebra lineare e geometria, Gatto. …

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria i

Dal corso del Prof. Gatto Letterio

Università Politecnico di Torino

A.A. 2024-2025

76 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

LE STRUTTURE ALGEBRICHE

Un GRUPPO è un insieme dotato di una particolare struttura algebrica. Il più semplice esempio di gruppo abeliano è (Z,+) che presenta le seguenti caratteristiche:

è associativo
possiede un elemento neutro
ogni numero intero possiede il suo opposto
la somma tra numeri interi è commutativa

Nel caso del prodotto esso invece è:

commutativo
associativo
ha l'1 come elemento neutro

ℚ, ℝ e ℂ sono anelli commutativi rispetto alla somma e al prodotto. E ogni elemento non nullo vi ammette un inverso. Per questa proprietà che hanno vengono detti CAMPI. Un campo è una struttura algebrica composta da un insieme non vuoto S e da due operazioni binarie interne dette somma (+) e prodotto (.) che soddisfano le stesse proprietà dei numeri reali.

PROPRIETÀ DI UN CAMPO:

la somma è associativa e commutativa, possiede un elemento neutro (lo 0) e ogni e ∈ K possiede un opposto additivo -e

Le strutture algebriche

Un GRUPPO è un insieme dotato di una particolare struttura algebrica. Il più semplice esempio di gruppo abeliano è (ℤ, +) che presenta le seguenti caratteristiche:

è associativo
possiede un elemento neutro
ogni numero intero possiede il suo opposto
la somma tra numeri interi è commutativa

Nel caso del prodotto esso invece è:

commutativo
associativo
ha l'1 come elemento neutro

Proprietà di un campo:

la somma è associativa e commutativa, possiede un elemento neutro (lo 0) e ogni e ∈ K possiede un opposto additivo -e

- il prodotto tra elementi di K è associativo e commutativo, possiede un elemento neutro (1) e ogni scalare a ∈ K non nullo possiede un inverso moltiplicativo a^-1

- il prodotto gode delle proprietà distributive rispetto alla somma

Gli elementi di un campo vengono detti SCALARI

Un sottoinsieme [] di un campo K, che sia a sua volta un campo rispetto alle operazioni indotte da K, si dice SOTTOCAMPO di K

SPAZI VETTORIALI

Sia K un campo. Uno spazio vettoriale su K, o un K-spazio vettoriale, è un gruppo abeliano V, sul quale si possa definire una nozione di combinazione lineare dei propri elementi e coefficienti in K. Generalizzando sia K un campo e X un insieme arbitrario

K^X = {l: X → K}

Il più semplice esempio di spazio vettoriale è quello delle n-uple ordinate di numeri reali elencati per colonna, ossia ℝ^m. È l'INSIEME DELLE COLONNE A M ENTRATE REALI, e formano un spazio vettoriale in quanto possono sommarsi sommando le componenti, e possono moltiplicarsi per un numero reale

Sull'insieme

ℝ^m : { ( u₁ u₂ ... u_m ) | u_i ∈ ℝ }

delle colonne a m entrate reali, si definisce una relazione di uguaglianza

( u₁ u₂ ... u_m ) = ( v₁ v₂ ... v_m ) ⟺ u₁ = v₁ , u₂ = v₂ , ..., u_m = v_m

una somma

( u₁ u₂ ... u_m ) + ( v₁ v₂ ... v_m ) = ( u₁ + v₁ u₂ + v₂ ... u_m + v_m )

e un prodotto di una colonna per uno scalare

λ ( u₁ u₂ ... u_m ) = ( λu₁ λu₂ ... λu_m )

la i-esima entrata del vettore

u_i = ( u₁ u₂ ... u_m ) ∈ ℝ^m

⟨⟩=⟨⟩ per ogni 1 ≤ i ≤ m

del COMBINAZIONE LINEARE

Se ⃗, ⃗ ∈ ℝᵐ e λ, μ ∈ ℝ, l'espressione λ⃗ + μ⃗ si dice combinazione lineare di ⃗, ⃗ con coefficienti λ e μ

ℝᵐ è un ℝ-spazio vettoriale rispetto alle nozioni di combinazione lineare date da

(λ⃗ + μ⃗)⟨⟩ = λ⃗⟨⟩ + μ⃗⟨⟩ per ogni 1 ≤ i ≤ m

del VETTORE nullo

È la colonna con entrate tutte nulle

⃗ = ⎛ 0 ⎞

⎜ . ⎟

⎝ 0 ⎠

del OPPOSTO DI UN VETTORE

L'opposto di un vettore ⃗ è il vettore

-⃗ = ⎛ -₁ ⎞

⎜ -₂ ⎟

⎝ -₃ ⎠

L'insieme R^m dotato delle operazioni somma e prodotto per uno scalare si dice spazio vettoriale delle colonne ad m entrate reali e i suoi elementi vettori (colonna).

R^m

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