Riassunto esame Algebra lineare e geometria, Prof. Gatto Letterio, libro consigliato Lezioni di algebra lineare e geometria, Gatto

Sistemi Lineari

Il problema che si vuole studiare è quello di determinare le controimmagini di un vettore dato di K^m attraverso l’applicazione lineare A: K^m→K^m definita da una matrice ∈ ^m×m.Ciò equivale a risolvere l’equazione a coefficienti matriciali e incognite vettoriali:

A ⋅ =

A = \(\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1m} \\ a_{21} & \cdots & a_{2m} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mm} \end{pmatrix}\), = \(\begin{pmatrix} x_{1} \\ \cdots \\ x_{m} \end{pmatrix}\), = \(\begin{pmatrix} b_{1} \\ \cdots \\ b_{m} \end{pmatrix}\)

\(\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1m}x_{m} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2m}x_{m} = b_{2} \\ \cdots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mm}x_{m} = b_{m} \end{cases}\)

Sia

ker(A) = { ∈ K^m | A⋅ = _0m}

cioè è l’insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo

Ker(A) è anche detto nucleo della matrice A

↓

A ⋅ = _0m

Il nucleo di un’applicazione lineare fornisce un’informazione fondamentale sulle trasformazioni lineari: dice infatti, quanti elementi dello spazio di partenza hanno come immagine lo zero dello spazio di arrivo

Sistemi Lineari

Il problema che si vuole studiare è quello di determinare le controimmagini di un vettore dato ^mb di ^mK attraverso l'applicazione lineare A:^mK → ^mK definita da una matrice A ∈ m×mK. Ciò equivale a risolvere l'equazione a coefficienti matriciali e incognite vettoriali:

A·_x = _b

A = ( a₁₁ a₁₂ ... a_1m a₂₁ a₂₂ ... a_2m ... ... ... ... a_m1 a_m2 ... a_mm ) _x = ( x₁ x₂ ... x_m)_b = ( b₁ b₂ ... b_m)

{ a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1mx_m = b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2mx_m = b₂ ... a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mmx_m = b_m}

Sia

ker(A) = { _x ∈ ^mK | A·_x = ₀ }

cioè è l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo

Ker(A) è anche detto nucleo della matrice A

A·_x = _0m

Il nucleo di un'applicazione lineare fornisce un'informazione fondamentale sulle trasformazioni lineari: dice infatti, quanti elementi dello spazio di partenza hanno come immagine lo zero dello spazio di arrivo

lo spazio delle soluzioni è quindi

A^-1() = ₀ + Ker(A) = {₀ + ̅ | ̅ ∈ Ker(A)}

Supponiamo infatti che ̅ ∈ Im(A), allora A^-1(̅) ≠ ∅.Se _0̅ ∈ A^-1(̅), cioè A_0̅ = ̅, allora _0̅ è dettasoluzione particolare dell'equazione

DIMENSIONE del NUCLEO di UNA MATRICE

Se A ∈ ^m×m, allora il nucleo di A, Ker(A), è un

sottospazio vettoriale di ^m, la cui dimensione è

dim Ker(A) = m - rK(A)

➡ rango della matrice

➡ num di incognite del sistema lineare

i cui coefficienti sono espressi da A

➡ cioè il numero di colonne!!

Teorema di Rouché - Capelli:

Il sistema lineare A̅ = ̅ ha soluzioni se e solo seil rango della matrice A coincide con il rango dellamatrice completa [A|̅]. In questo caso si ha che ladimensione dello spazio delle soluzioni è

dim A^-1(̅) = dim Ker(A) = m - r

➡ rango di A

E si dica che il sistema ha ∞^m-r soluzioni

POSIZIONI RETTA-PIANO:

dato il piano

• ax + by + cz + d = 0

e la retta

• a'x + b'y + c'z + d' = 0
• a''x + b''y + c''z + d'' = 0

A =

(A|b) =

• rk(A) − rk(A|b) = 3 → RETTA E PIANO SONO INCIDENTI
• rk(A) = rk(A|b) = 2 → LA RETTA GIACE SUL PIANO
• rk(A) ≠ rk(A|b) → RETTA E PIANO SONO PARALLELI

POSIZIONI RETTA-RETTA

r :

• ax + by + cz + d = 0
• a'x + b'y + c'z + d' = 0

s :

• a''x + b''y + c''z + d'' = 0
• a'''x + b'''y + c'''z + d''' = 0

A =

(A|b) =

rk(A)=rk(A|b̅)=2 → le RETTE sono parallele e coincidenti